Uji kekonvergenan, lengkapnya adalah uji kekonvergenan ke-n untuk kedivergenan (bahasa Inggris: "nth-term test for divergence") dalam matematika adalah uji sederhana untuk menguji apakah suatu deret tak terhingga bersifat divergen atau tidak, pada elemen ke-n.[1]

  • Jika atau jika limit tidak ada, maka bersifat divergen (tidak bertemu di satu titik tertentu).

Banyak penulis tidak menamai uji ini atau memberi nama yang lebih pendek.[2]

Penggunaan

sunting

Tidak seperti uji kekonvergenan, uji suku tidak dapat membuktikan sendiri bahwa suatu deret itu konvergen. Khususnya, kebalikan uji ini tidak benar. Sebaliknya, yang dapat dikatakan hanya:

  • Jika   maka   dapat bersifat atau tidak bersifat konvergen. Dengan kata lain, jika   uji tersebut tidak mempunyai kesimpulan.

Deret harmonik merupakan contoh klasik deret divergen di mana elemen-elemennya mempunyai limit nol..[3] Kelas yang lebih umum dari deret-p,

 

memberi contoh hasil yang mungkin didapat dari uji ini:

  • Jika p ≤ 0, maka uji suku mengidentifikasi bahwa deret itu divergen.
  • Jika 0 < p ≤ 1, maka uji suku itu tidak mempunyai kesimpulan, tetapi deret itu divergen berdasarkan uji integral untuk kekonvergenan
  • Jika 1 < p, maka uji suku itu tidak mempunyai kesimpulan, tetapi deret itu konvergen berdasarkan.

Uji ini biasanya dibuktikan dalam bentuk kontrapositif:

  • Jika   konvergen, maka  

Manipulasi limit

sunting

Jika sn merupakan jumlah parsial deret itu, maka asumsi bahwa deret itu konvergen berarti bahwa

 

untuk sejumlah bilangan s. Maka[4]

 

Kriteria Cauchy

sunting

Asumsi bahwa suatu deret adalah konvergen berarti sudah lolos uji kekonvergenan Cauchy untuk setiap   terdapat bilangan N sedemikian rupa sehingga

 

berlaku untuk semua n > N dan p ≥ 1. Menetapkan nilai p = 1 memulihkan definisi pernyataan itu[5]

 

Ruang lingkup

sunting

Versi paling sederhana dari uji suku berlaku untuk deret tak terhingga bilangan real. Kedua bukti di atas, berdasarkan kriteria Cauchy atau kelinearan limit, juga berlaku untuk ruang vektor bernorma yang lain.[6]

Lihat pula

sunting

Referensi

sunting
  1. ^ Kaczor p.336
  2. ^ Misalnya, Rudin (hal. 60) hanya menyatakan bentuk kontrapositif dan tidak menamainya. Brabenec (hal. 156) menyebutnya hanya nth term test ("uji suku ke-n). Stewart (hal.709) menyebutnya Test for Divergence ("Uji untuk Divergensi").
  3. ^ Rudin p.60
  4. ^ Brabenec p.156; Stewart p.709
  5. ^ Rudin (pp.59-60) menggunakan ide bukti ini, dimulai dengan suatu pernyataan berbeda dari kriteria Cauchy.
  6. ^ Hansen p.55; Șuhubi p.375

Pustaka

sunting