Uji turunan

(Dialihkan dari Turunan ketiga)

Dalam kalkulus, uji turunan menggunakan turunan dari fungsi untuk menemukan titik-titik kritis fungsi dan menentukan apakah setiap titik tersebut adalah titik maksimum lokal, titik minimum lokal, atau titik pelana. Uji turunan juga dapat memberikan informasi mengenai kecekungan fungsi.

Kegunaan turunan untuk menemukan titik-titik kritis dibuktikan secara matematis oleh teorema Fermat titik stasioner.

Uji turunan pertama

sunting

Uji turunan pertama menguji sifat-sifat kemonotonan dari fungsi (apakah fungsi menaik atau menurun), dengan berfokus pada suatu titik tertentu dalam domain fungsi tersebut. Jika nilai fungsi "berganti" dari menaik menjadi menurun pada titik tertentu, maka fungsi mencapai suatu nilai tertinggi pada titik itu. Dengan cara yang serupa, jika nilai fungsi "berganti" dari menurun ke menaik pada titik tersebut, maka fungsi mencapai sebuah nilai terendah pada titik itu. Jika nilai fungsi tidak pernah "berganti", selalu menaik atau menurun, maka tidak ada nilai tertinggi atau terendah yang dicapai oleh fungsi.

Seseorang dapat menentukan kemonotonan sebuah fungsi tanpa menggunakan kalkulus. Namun, kalkulus biasanya berguna karena terdapat syarat cukup yang menjamin sifat-sifat kemonotonan di atas, dan syarat-syarat ini berlaku untuk sebagian besar fungsi yang umum ditemui.

Pernyataan yang formal tentang sifat-sifat kemonotonan

sunting

Dinyatakan secara formal, misalkan   adalah fungsi kontinu bernilai real dari sebuah variabel real, dan terdefinisi pada beberapa selang terbuka yang mengandung titik  .

  • Jika terdapat sebuah bilangan positif   sehingga   menaik dengan lemah pada   dan menurun dengan lemah pada  , maka   memiliki sebuah maksimum lokal di  . Pernyataan ini juga bekerja sebaliknya: jika   adalah sebuah maksimum lokal, maka   menaik dengan lemah pada   dan menurun dengan lemah pada  .
  • Jika terdapat sebuah bilangan positif   sehingga   menaik dengan tegas pada   dan juga menaik dengan tegas pada  , maka   menaik dengan tegas pada   dan tidak mempunyai sebuah maksimum atau minimum lokal di  .

Pernyataan ini merupakan sebuah konsekuensi langsung dari cara ekstrem lokal didefinisikan. Yakni, jika   adalah sebuah titik maksimum lokal, maka terdapat   sehingga   untuk nilai   pada selang  , yang mengartikan bahwa   harus menaik dari   ke   dan harus menurun dari   ke  , karena   kontinu.

Perhatikan untuk dua kasus yang pertama,   tidak diperlukan menaik atau menurun dengan tegas di sekitar nilai  , sedangkan untuk dua kasus terakhir,   diperlukan menaik atau menurun dengan tegas. Alasannya terletak pada definisi maksimum dan minimum lokal, yang tidak memerlukan pertidaksamaan yang tegas: misalnya setiap nilai pada fungsi konstanta dianggap sebuah maksimum lokal sekaligus minimum lokal.

Pernyataan yang formal untuk uji turunan pertama

sunting

Uji turunan pertama bergantung pada "uji menaik–menurun", yang pada akhirnya merupakan sebuah konsekuensi dari teorema nilai purata. Ini adalah sebuah konsekuensi langsung dari cara turunan didefinisikan dan hubungannya untuk menurunkan dan menaikkan sebuah fungsi secara lokal, digabungkan dengan bagian sebelumnya.

Misalkan   adalah sebuah fungsi bernilai real dari sebuah variabel real dan didefinisikan pada beberapa interval yang berisi titik kritis  . Selanjutnya misalkan   kontinu pada   dan dapat didiferensialkan pada beberapa selang terbuka yang berisi  , kecuali mungkin pada titik   sendiri.

  • Jika terdapat sebuah bilangan positif  , sehingga untuk setiap   di   kita memiliki  , dan untuk setiap   di   kita memiliki  , maka   mempunyai sebuah maksimum lokal di  .
  • Jika terdapat sebuah bilangan positif  , sehingga untuk setiap   di   kita memiliki  , maka   menaik dengan tegas di   dan tidak mempunyai sebuah maksimum lokal atau sebuah minimum lokal di interval ini.
  • Jika tidak ada syarat di atas yang dipenuhi, maka uji turunan pertama gagal (hal ini mungkin terjadi, karena terdapat fungsi yang tidak memenuhi dari tiga kondisi pertama, yaitu  ).

Lagi, sesuai dengan ulasan di bagian sifat-sifat kemonotonan, perhatikan bahwa dua kasus pertama, pertidaksamaan tidak diperlukan tegas, sedangkan dalam dua kasus selanjutnya, pertidaksamaan yang tegas dibutuhkan.

Aplikasi

sunting

Uji turunan pertama berguna dalam penyelesaian masalah optimisasi dalam fisika, ekonomi, dan teknik. Disertai dengan penggunaan teorema nilai ekstrem, uji ini dapat digunakan untuk mencari maksimum atau minimum mutlak dari fungsi bernilai real yang didefinisikan pada suatu interval yang terbuka dan terbatas. Terlebih lagi, dengan disertai informasi lainnya seperti kecekungan, titik belok, dan asimtotik, uji ini dapat digunakan untuk menggambar grafik dari fungsi.

Uji turunan kedua (variabel tunggal)

sunting

Setelah menemukan titik-titik kritis dari fungsi, uji turunan kedua menggunakan nilai dari turunan kedua pada titik-titik itu untuk menentukan apakah titik tersebut adalah sebuah maksimum lokal atau sebuah minimum lokal. Jika fungsi   dapat diturunkan dua kali pada suatu titik kritis   (yaitu, sebuah titik dengan  ), maka:

  • Jika  , maka   memiliki sebuah maksimum lokal pada  .
  • Jika  , maka   mempunyai sebuah minimum lokal pada  .
  • Jika  , maka hasil uji ini tidak meyakinkan.

Untuk kasus terakhir, teorema Taylor dapat digunakan untuk menentukan perilaku   di sekitar nilai   dengan menggunakan turunan tingkat tinggi.

Bukti dari uji turunan kedua

sunting

Misalkan kita mempunyai   (bukti untuk   analog). Dengan asumsi,  . Maka

 

Dengan demikian, untuk   yang cukup kecil kita mendapatkan

 ,

yang mengartikan   jika   (secara intuitif,   menurun karena mendekati   dari kiri), dan bahwa   jika   (secara intuitif,   menurun karena mendekati   dari kanan). Sekarang, dengan uji turunan pertama,   mempunyai sebuah maksimum lokal di  .

Uji kecekungan

sunting

Sebuah penggunaan turunan kedua yang terkait namun berbeda adalah untuk menentukan apakah fungsi cekung ke atas atau cekung ke bawah di sebuah titik. Namun uji ini tidak menyediakan informasi mengenai titik belok. Khususnya, sebuah fungsi   yang diturunkan dua kali cekung ke atas jika   dan cekung ke bawah jika  . Perhatikan bahwa jika  , maka   memiliki nol turunan kedua, namun bukan sebuah titik belok, jadi turunan kedua sendiri tidak memberikan informasi yang cukup untuk menentukan apakah sebuah titik yang diberikan merupakan sebuah titik belok.

Uji turunan tingkat tinggi

sunting

Uji turunan tingkat tinggi atau uji turunan umum dapat menentukan apakah sebuah titik kritis fungsi adalah maksimum, minimum, atau titik belok untuk variasi fungsi yang lebih banyak daripada uji turunan orde-kedua. Seperti yang ditunjukkan di bawah, uji turunan kedua secara matematis identik ke kasus khusus untuk   dalam uji turunan tingkat tinggi.

Misalkan   sebagai fungsi bernilai real, dan dapat diturunkan secukupnya pada suatu interval  . Misalkan pula  , dan   sebagai sebuah bilangan asli. Juga misalkan semua turunan (termasuk turunan ke- ) dari   di   bernilai nol, sedangkan turunan ke-( ) bernilai tak nol.

  dan  .

Terdapat empat kemungkinan, dua kasus pertama mengartikan   adalah sebuah titik ekstrem, sedangkan dua kasus selanjutnya mengartikn   adalah sebuah titik pelana (lokal):

  • Jika   ganjil dan  , maka   adalah sebuah maksimum lokal
  • Jika   ganjil dan  , maka   adalah sebuah minimum lokal
  • Jika   genap dan  , maka   adalah sebuah titik belok yang menurun sempurna.
  • Jika   genap dan  , maka   adalah sebuah titik belok yang menaik sempuna.

Karena   harus berupa ganjil atau genap, uji analitik ini akan mengelompokkan semua titik stasioner  ; selama turunan pada akhirnya bernilai tidak sama dengan nol.

Contoh

sunting

Katakan, kita akan mengerjakan uji turunan umum pada fungsi   pada titik  . Untuk melakukan ini, kita menghitung turunan dari fungsi dan kemudian mengevaluasinya pada titik-titik yang diinginkan hingga memiliki nilai bukan nol.

 

Seperti yang ditunjukkan di atas, pada titik  , fungsi   memiliki semua turunan di titik 0 bernilai sama dengan 0, kecuali untuk turunan ke-6, yang hasilnya positif. Dengan demikian,  , dan oleh uji tersebut, fungsi   memiliki sebuah minimum lokal di 0.

Kasus multivariabel

sunting

Untuk sebuah fungsi yang lebih dari satu variabel, uji turunan kedua diperumum menjadi sebuah uji berdasarkan nilai-nilai eigen dari matriks Hesse fungsi pada titik kritis. Khususnya, mengasumsikan bahwa semua turunan parsial orde-kedua   kontinu pada sebuah lingkungan titik kritis  , dan jika nilai-nilai eigen dari Hesse di   semuanya bernilai positif, maka   adalah sebuah minimum lokal. Sedangkan jika nilai-nilai eigen dari Hesse di   semuanya bernilai negatif, maka   adalah sebuah maksimum lokal. Namun jika beberapa nilai eigen bernilai positif dan beberapa bernilai negatif, maka titik tersebut adalah sebuah titik pelana. Pada kasus matriks Hesse merupakan matriks singular, maka uji turunan kedua tidak meyakinkan.

Lihat pula

sunting

Bacaan lebih lanjut

sunting

Pranala luar

sunting