1 − 2 + 3 − 4 + ⋯

Dalam matematika, 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ adalah deret tak hingga yang suku-sukunya merupakan bilangan bulat positif yang berurutan. Di samping itu, setiap bilangan bulat tersebut diberi tanda plus dan minus secara bergantian sehingga membentuk deret selang-seling. Dengan menggunakan notasi penjumlahan sigma, jumlah m suku pertama deret tersebut dapat dinyatakan sebagai $$\sum _{n=1}^{m}n(-1)^{n-1}.$$

15.000 jumlah parsial pertama dari 0 + 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯

Deret di atas ialah divergen. Dengan kata lain, barisan dari deret tersebut, (1, −1, 2, −2, 3, ...), tidak menuju batas yang pasti. Meskipun demikian, pada pertengahan abad ke-18, Leonhard Euler menemui sebuah kejanggalan: $$1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{4}}.$$

Penjelasan yang tepat mengenai kejanggalan ini baru dapat diperoleh beberapa waktu kemudian. Detailnya, per tahun 1890, beberapa matematikawan, seperti Ernesto Cesàro, Émile Borel, mulai menyelidiki metode penjumlahan yang dapat menentukan nilai deret-deret divergen. Hal yang diselidiki termasuk pembaharuan baru atas metode Euler. Sebagian besar metode penjumlahan ini menetapkan nilai atas deret 1 − 2 + 3 − 4 + ... sebagai 14. Salah satu metode yang tidak dapat menentukan nilai deret tersebut ialah penjumlahan Cesàro. Oleh karena itu, diperlukan metode yang sedikit lebih baik, seperti penjumlahan Abel.

Deret 1 − 2 + 3 − 4 + ... berkaitan erat dengan deret Grandi. Oleh karena itu, Euler mengelompokkan keduanya sebagai kasus khusus dari deret yang lebih umum, 1 − 2ⁿ + 3ⁿ − 4ⁿ + .... Dalam hal ini, n = 1 ialah deret terkait dan n = 0 ialah deret Grandi. Penelitian Euler mengenai deret ini memperluas karyanya pada masalah Basel. Kemudian, penelitiannya mengarah pada persamaan fungsional yang sekarang dikenal sebagai fungsi eta Dirichlet dan fungsi zeta Riemann.

Kedivergenan

Menurut uji suku, suku-suku (1, −2, 3, −4, ...) pada deret tersebut tidak mendekati 0. Oleh karena itu, deret tersebut dinyatakan sebagai divergen. Kedivergenan juga dapat ditunjukkan secara langsung dari definisi deret konvergen. Detailnya, suatu deret tak hingga dikatakan konvergen jika dan hanya jika barisan dari jumlah parsialnya konvergen pada sebuah limit. Dalam hal ini, limitnya adalah nilai deret tak hingga tersebut. Untuk menunjukannya, jumlah parsial dari 1 − 2 + 3 − 4 + ... adalah:

1,

1 − 2 = −1,
1 − 2 + 3 = 2,
1 − 2 + 3 − 4 = −2,
1 − 2 + 3 − 4 + 5 = 3,
1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = −3,

...

Barisan dari penjumlahan parsial menunjukkan bahwa deret tersebut tidak konvergen ke suatu bilangan tertentu. Dengan kata lain, untuk setiap limit x, terdapat suatu titik yang semua penjumlahan parsialnya berturut-turut berada di luar interval [x−1, x+1]. Dengan demikian, 1 − 2 + 3 − 4 + ... divergen.

Jumlah parsial tersebut mencakup setiap bilangan bulat tepat satu kali. Bahkan, angka nol (0) ikut apabila menghitung jumlah parsial yang kosong. Oleh karena itu, hal ini menetapkan sifat ketercacahan dari himpunan bilangan bulat $\mathbb {Z}$.

Heuristik untuk penjumlahan

Stabilitas dan linearitas

Karena suku 1, −2, 3, −4, 5, −6, ... mengikuti pola yang sederhana, deret 1 − 2 + 3 − 4 + ... dapat dimanipulasi dengan memindahkan penambahan suku demi suku sedemikian rupa sehingga memperoleh sebuah nilai. Singkatnya, jika deret tersebut dapat ditulis menjadi s = 1 − 2 + 3 − 4 + ... untuk setiap bilangan s, manipulasi pada deret tersebut memperoleh nilai s = ¼:

$${\begin{alignedat}{5}4s&=&&(1-2+3-\cdots )\ \ &&{}+(1-2+3-4+\cdots )&&{}+(1-2+3-4+\cdots )&&{}+(1-2+3-4+\cdots )\\&=&&(1-2+3-\cdots )&&+1{}+(-2+3-4+\cdots )\ \ &&{}+1+(-2+3-4+\cdots )\ \ &&{}+1-2+(3-4+\cdots )\\&=\ 1+{}&&(1-2+3-\cdots )&&{}+(-2+3-4+\cdots )&&{}+(-2+3-4+\cdots )&&{}+(3-4+5-\cdots )\\&=\ 1+{}[\ &&(1-2-2+3)&&{}+(-2+3+3-4)&&{}+(3-4-4+5)&&{}+\cdots \ ]\\&=\ 1+{}[\ &&0+0+0+\cdots \ ]\\4s&=\ 1\end{alignedat}}$$

Dengan menambahkan 4 salinan deret 1 − 2 + 3 − 4 + ···, hanya dengan menukar penjumlahan suku demi suku, menghasilkan nilai 1. Masing-masing ruas kiri dan ruas kanan menunjukkan dua salinan deret 1 − 2 + 3 − 4 + ··· yang ditambahkan dengan deret 1 − 1 + 1 − 1 + ···.

Jadi $s={\frac {1}{4}}$.

Meskipun 1 − 2 + 3 − 4 + ... tidak dapat dijumlahkan sesuai pada umumnya, persamaan s = 1 − 2 + 3 − 4 + ... = ¼ dapat dikatakan sebagai jawaban paling logis jika deret seperti itu harus diberi nilai. Dalam hal ini, definisi yang lebih luas dari "penjumlahan" deret divergen disebut sebagai metode penjumlahan atau metode keterjumlahan. Di samping itu, ada banyak metode yang berbeda untuk menentukan nilai deret 1 − 2 + 3 − 4 + .... Biasanya, metode-metode tersebut harus memiliki beberapa sifat dari metode penjumlahan biasa. Di luar hal ini, apabila diteliti lagi, manipulasi yang dijelaskan di atas sebenarnya membuktikan suatu hal. Pada konteks ini, untuk setiap metode keterjumlahan yang bersifat linear dan stabil dan untuk setiap jumlah dari deret 1 − 2 + 3 − 4 + ..., jumlah deret tersebut bernilai ¼. Lebih lanjut, $${\begin{alignedat}{5}2s&=&&(1-2+3-4+\cdots )\ \ &&{}+(1-2+3-4+5-\cdots )\\&=&&1{}+(-2+3-4+\cdots )\ \ &&{}+1-2+(3-4+5-\cdots )\\&=\ 0+{}&&(-2+3-4+\cdots )&&{}+(3-4+5-\cdots )\\&=\ 0+{}[\ &&(-2+3)\quad {}+(3-4)&&{}+(-4+5)\quad +\cdots \ ]\\2s&=\ &&1-1+1-1+\cdots \end{alignedat}}$$

metode tersebut pasti menjumlahkan deret Grandi, yaitu 1 − 1 + 1 − 1 + ... = ½.

Hasil kali Cauchy

Pada tahun 1891, Ernesto Cesàro menyatakan bahwa deret divergen dapat dijelaskan dengan teliti melalui kalkulus. Dalam hal ini, ia memperlihatkan bahwa, "Seseorang telah menulis (1 − 1 + 1 − 1 + ...)² = 1 − 2 + 3 − 4 + ... dan menyatakan kedua sisinya sama dengan ¼." Menurut Cesàro, persamaan ini merupakan penerapan dari teorema yang ia telah terbitkan pada tahun sebelumnya. Teorema ini merupakan yang pertama dalam sejarah mengenai penjumlahan deret divergen (lihat disini untuk penjelasan metode penjumlahan). Secara matematis, kunci utama dari metode penjumlahan yang disinggung oleh Cesàro ada pada konsep perkalian Cauchy. Jelasnya, 1 − 2 + 3 − 4 + .... dapat dinyatakan sebagai perkalian (konvolusi diskret) atas 1 − 1 + 1 − 1 + ... dengan 1 − 1 + 1 − 1 + ....

Dalam praktiknya, perkalian Cauchy antara dua deret tak terhingga dapat dilakukan walaupun kedua deret tersebut divergen. Pada kasus untuk a_n = b_n = (−1)ⁿ, suku-suku hasil kali Cauchy dituliskan melalui deret diagonal terhingga $${\begin{aligned}c_{n}&=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}(-1)^{n-k}\\&=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n}=(-1)^{n}(n+1).\end{aligned}}$$

Maka deret hasil kalinya menjadi $$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(n+1)=1-2+3-4+\cdots .$$

Jadi, metode penjumlahan yang merupakan hasil kali Cauchy dari dua deret 1 − 1 + 1 − 1 + ... (deret 1 − 1 + 1 − 1 + ... bernilai 1/2) akan menghasilkan nilai 1/4 untuk deret 1 − 2 + 3 − 4 + .... Melalui hasil dari penjelasan pada bagian sebelumnya, metode ini menyiratkan sebuah kesetaraan dengan keterjumlahan 1 − 1 + 1 − 1 + ... dan 1 − 2 + 3 − 4 + ... dengan menggunakan metode yang bersifat linear, stabil, dan merupakan hasil kali Cauchy.

Teorema Cesàro merupakan contoh yang licik. Deret 1 − 1 + 1 − 1 + ... dapat dijumlahkan Cesàro-summable dalam arti yang paling lemah, disebut (C, 1)-summable, sedangkan 1 − 2 + 3 − 4 + ... memerlukan bentuk teorema Cesàro yang lebih kuat, yang dikenal dengan sebutan (C, 2)-summable. Karena semua bentuk teorema Cesàro bersifar linear dan stabil, nilai dari penjumlahannya dihitung seperti cara di atas.

Metode khusus

Cesàro dan Hölder

Data tentang (H, 2) jumlah ¼

Untuk mencari jumlah (C, 1) Cesàro dari 1 − 2 + 3 − 4 + ..., jika ada, kita perlu menghitung rata-rata aritmetika dari jumlah parsial deret tersebut. Jumlah sebagiannya adalah:

1, −1, 2, −2, 3, −3, ...,

dan cara aritmatika dari jumlah parsial ini adalah:

1, 0, ⅔, 0, ⅗, 0, 4⁄7, ....

Urutan mean ini tidak konvergen, jadi 1 − 2 + 3 − 4 + ... tidak dapat dijumlahkan oleh Cesàro.

Ada dua generalisasi penjumlahan Cesàro yang terkenal: yang secara konseptual lebih sederhana adalah barisan metode (H, n) untuk bilangan asli n. Jumlah (H, 1) adalah penjumlahan Cesàro, dan metode yang lebih tinggi mengulangi penghitungan mean. Di atas mean genap konvergen ke ½, sedangkan mean ganjil semuanya sama dengan 0, sehingga mean dari mean konvergen ke rata-rata 0 dan ½ yaitu ¼. Jadi 1 − 2 + 3 − 4 + ... adalah (H, 2) dapat dijumlahkan menjadi ¼.

Huruf "H" adalah singkatan dari Otto Hölder, yang pertama kali membuktikan pada tahun 1882 apa yang sekarang dianggap oleh para ahli matematika sebagai hubungan antara penjumlahan Abel dan penjumlahan (H, n); 1 − 2 + 3 − 4 + ... adalah contoh pertamanya. Fakta bahwa ¼ adalah (H, 2) jumlah dari 1 − 2 + 3 − 4 + ... menjamin bahwa itu adalah jumlah Abel juga; ini juga akan dibuktikan langsung di bawah ini.

Generalisasi penjumlahan Cesàro yang umum dirumuskan adalah urutan metode (C, n). Terbukti penjumlahan (C, n) dan penjumlahan (H, n) selalu memberikan hasil yang sama, namun mempunyai latar belakang sejarah yang berbeda. Pada tahun 1887, Cesàro nyaris menyatakan definisi penjumlahan (C, n), namun ia hanya memberikan sedikit contoh. Secara khusus, dia menjumlahkan 1 − 2 + 3 − 4 + ..., menjadi ¼ dengan metode yang dapat diulangi menjadi (C, n) tetapi tidak dibenarkan pada saat itu. Dia secara formal mendefinisikan metode (C, n) pada tahun 1890 untuk menyatakan teoremanya bahwa produk Cauchy dari deret yang dapat dijumlahkan (C, n) dan deret yang dapat dijumlahkan (C, m) adalah (C, m + n + 1)-dapat diringkas.

Penjumlahan Habel

Beberapa bagian dari 1 − 2x + 3x² + ...; 1/(1 + x)²; dan batas pada 1

Dalam laporan tahun 1749, Leonhard Euler mengakui bahwa rangkaian tersebut berbeda tetapi tetap bersiap untuk menjumlahkannya:

... ketika dikatakan bahwa jumlah deret 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 dst. adalah ¼, hal itu pasti tampak paradoks. Karena dengan menjumlahkan 100 suku pada deret ini, kita mendapatkan −50, namun jumlah 101 suku menghasilkan +51, yang sangat berbeda dari ¼ dan menjadi lebih besar lagi jika jumlah sukunya ditambah. Tetapi saya telah memperhatikan di waktu sebelumnya, bahwa kata jumlah perlu diberi arti yang lebih luas ...

Euler beberapa kali mengusulkan generalisasi kata "jumlah". Dalam kasus 1 − 2 + 3 − 4 + ..., gagasannya mirip dengan apa yang sekarang dikenal sebagai penjumlahan Abel:

... tidak diragukan lagi bahwa jumlah deret 1 − 2 + 3 − 4 + 5 dst. adalah ¼; karena muncul dari perluasan rumus 1⁄(1+1)², yang nilainya tidak dapat disangkal ¼. Idenya menjadi lebih jelas dengan mempertimbangkan deret umum 1 − 2x + 3x² − 4x³ + 5x⁴ − 6x⁵ + &c. yang muncul saat memperluas ekspresi 1⁄(1+x)², yang mana deret ini memang sama setelah kita menetapkan x = 1.

Ada banyak cara untuk melihat bahwa, setidaknya untuk nilai absolut |x| < 1, Euler benar dalam hal tersebut $$1-2x+3x^{2}-4x^{3}+\cdots ={\frac {1}{(1+x)^{2}}}.$$ Kita dapat menggunakan perluasan Taylor pada ruas kanan, atau menerapkan proses pembagian panjang formal untuk polinomial. Mulai dari ruas kiri, kita dapat mengikuti heuristik umum di atas dan mencoba mengalikan dengan (1 + x) dua kali atau mengkuadratkan deret geometri 1 − x + x² − .... Euler juga sepertinya menyarankan untuk membedakan suku deret terakhir berdasarkan istilah.

Dalam pandangan modern, fungsi pembangkit 1 − 2x + 3x² − 4x³ + ... tidak mendefinisikan suatu fungsi pada x = 1, sehingga nilai tersebut tidak dapat disubstitusikan begitu saja ke dalam ekspresi yang dihasilkan. Karena fungsinya terdefinisi untuk semua |x| < 1, kita masih dapat mengambil limitnya ketika x mendekati 1, dan ini adalah definisi dari jumlah Abel: $$\lim _{x\rightarrow 1^{-}}\sum _{n=1}^{\infty }n(-x)^{n-1}=\lim _{x\rightarrow 1^{-}}{\frac {1}{(1+x)^{2}}}={\frac {1}{4}}.$$

Euler dan Borel

Penjumlahan Euler menjadi ½ − ¼. Nilai positif ditampilkan dalam warna putih, nilai negatif ditampilkan dalam warna coklat, dan pergeseran serta pembatalan ditampilkan dalam warna hijau.

Euler menerapkan teknik lain pada deret tersebut: transformasi Euler, salah satu penemuannya sendiri. Untuk menghitung transformasi Euler, dimulai dengan barisan suku positif yang membentuk deret bolak-balik—dalam hal ini 1, 2, 3, 4, .... Elemen pertama barisan ini diberi label a₀.

Selanjutnya diperlukan barisan selisih maju antara 1, 2, 3, 4, ...; ini hanya 1, 1, 1, 1, .... Elemen pertama barisan ini diberi label Δa₀. Transformasi Euler juga bergantung pada selisih selisih, dan iterasi yang lebih tinggi, namun semua selisih maju antara 1, 1, 1, 1, ... adalah 0. Transformasi Euler dari 1 − 2 + 3 − 4 + ... adalah kemudian didefinisikan sebagai $${\frac {1}{2}}a_{0}-{\frac {1}{4}}\Delta a_{0}+{\frac {1}{8}}\Delta ^{2}a_{0}-\cdots ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}.$$

Dalam terminologi modern, dikatakan bahwa 1 − 2 + 3 − 4 + ... adalah Euler dapat dijumlahkan menjadi ¼..

Penjumlahan Euler juga menyiratkan penjumlahan Borel, dengan nilai penjumlahan yang sama, seperti pada umumnya.

Pemisahan timbangan

Saichev dan Woyczyński sampai pada 1 − 2 + 3 − 4 + ... = ¼ dengan hanya menerapkan dua prinsip fisik: relaksasi yang sangat kecil dan pemisahan timbangan. Tepatnya, prinsip-prinsip ini mengarahkan mereka untuk mendefinisikan kelompok besar "metode penjumlahan φ", yang semuanya menjumlahkan rangkaiannya menjadi ¼:

• Jika φ(x) adalah suatu fungsi yang turunan pertama dan kedua kontinu dan dapat diintegralkan pada (0, ∞), sehingga φ(0) = 1 dan limit dari φ(x) dan xφ(x) di +∞ keduanya adalah 0, lalu $$\lim _{\delta \rightarrow 0}\sum _{m=0}^{\infty }(-1)^{m}(m+1)\varphi (\delta m)={\frac {1}{4}}.$$

Hasil ini menggeneralisasi penjumlahan Abel, yang diperoleh dengan membiarkan φ(x) = exp(−x). Pernyataan umum dapat dibuktikan dengan memasangkan suku-suku dalam deret tersebut pada m dan mengubah persamaan tersebut menjadi integral Riemann. Untuk langkah terakhir, pembuktian yang sesuai untuk 1 − 1 + 1 − 1 + ... menerapkan teorema nilai purata, tetapi di sini diperlukan bentuk teorema Taylor Lagrange yang lebih kuat.

Generalisasi

Kutipan dari hal. 233 dari E212 — Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum. Euler menjumlahkan deret serupa, ca 1755.

Hasil kali Cauchy rangkap tiga dari 1 − 1 + 1 − 1 + ... adalah 1 − 3 + 6 − 10 + ..., deret bilangan segitiga berselang-seling; jumlah Abel dan Eulernya adalah ⅛. Hasil kali Cauchy empat kali lipat dari 1 − 1 + 1 − 1 + ... adalah 1 − 4 + 10 − 20 + ..., deret bilangan tetrahedral yang berselang-seling, yang jumlah Abelnya adalah 1⁄16.

Generalisasi lain dari 1 − 2 + 3 − 4 + ... dalam arah yang sedikit berbeda adalah deret 1 − 2ⁿ + 3ⁿ − 4ⁿ + ... untuk nilai n lainnya. Untuk bilangan bulat positif n, deret ini mempunyai jumlah Abel sebagai berikut: $$1-2^{n}+3^{n}-\cdots ={\frac {2^{n+1}-1}{n+1}}B_{n+1}$$ dimana B_n adalah bilangan Bernoulli. Bahkan untuk n, ini direduksi menjadi $$1-2^{2k}+3^{2k}-\cdots =0,$$ yang dapat diartikan menyatakan bahwa nilai genap negatif dari fungsi zeta Riemann adalah nol. Jumlah ini menjadi bahan ejekan khusus oleh Niels Henrik Abel pada tahun 1826:

Seri divergen sepenuhnya merupakan pekerjaan iblis, dan sayang sekali jika ada yang berani menemukan bukti apa pun mengenainya. Seseorang dapat memperoleh apa yang diinginkannya jika ia menggunakannya, dan hal-hal itulah yang telah menciptakan begitu banyak ketidakbahagiaan dan begitu banyak paradoks. Adakah yang bisa memikirkan hal yang lebih mengerikan daripada mengatakan hal itu

0 = 1 − 2²ⁿ + 3²ⁿ − 4²ⁿ + etc.

dimana n adalah bilangan positif. Ini sesuatu untuk ditertawakan, teman-teman.

Guru Cesàro, Eugène Charles Catalan, juga meremehkan deret divergen. Di bawah pengaruh Catalan, Cesàro awalnya menyebut "rumus konvensional" untuk 1 − 2ⁿ + 3ⁿ − 4ⁿ + ... sebagai "persamaan yang tidak masuk akal", dan pada tahun 1883 Cesàro mengungkapkan pandangan umum pada saat itu bahwa rumus tersebut salah tetapi tetap saja entah bagaimana berguna secara formal. Terakhir, dalam Sur la multiplication des séries tahun 1890, Cesàro mengambil pendekatan modern yang dimulai dari definisi.

Deret tersebut juga dipelajari untuk nilai non-integer n; ini membentuk fungsi eta Dirichlet. Bagian dari motivasi Euler mempelajari deret yang berkaitan dengan 1 − 2 + 3 − 4 + ... adalah persamaan fungsional fungsi eta, yang mengarah langsung ke persamaan fungsional fungsi zeta Riemann. Euler telah menjadi terkenal karena menemukan nilai-nilai fungsi ini pada bilangan bulat genap positif (termasuk masalah Basel), dan dia juga mencoba menemukan nilai-nilai pada bilangan bulat ganjil positif (termasuk konstanta Apéry), sebuah masalah yang masih sulit dipahami hingga saat ini. Fungsi eta khususnya lebih mudah ditangani dengan metode Euler karena deret Dirichletnya dapat dijumlahkan Abel di mana saja; deret Dirichlet fungsi zeta jauh lebih sulit untuk dijumlahkan jika ia menyimpang. Misalnya, pasangan dari 1 − 2 + 3 − 4 + ... dalam fungsi zeta adalah deret tak bolak-balik 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯, yang memiliki penerapan mendalam dalam fisika modern namun membutuhkan lebih banyak kekuatan metode untuk menjumlahkan.

Lihat juga

• 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
• 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯
• 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯

Daftar pustaka

• Alabdulmohsin, Ibrahim M. (2018). "Analytic summability theory". Summability Calculus. Springer International Publishing. hlm. 65–91. doi:10.1007/978-3-319-74648-7_4. ISBN 978-3-319-74647-0. 
• Beals, Richard (2004). Analysis: An Introduction. Cambridge UP. ISBN 978-0-521-60047-7. 
• Davis, Harry F. (Mei 1989). Fourier Series and Orthogonal Functions. Dover. ISBN 978-0-486-65973-2. 
• Euler, Leonhard; Willis, Lucas; Osler, Thomas J. (2006). "Translation with notes of Euler's paper: Remarks on a beautiful relation between direct as well as reciprocal power series". The Euler Archive. Diakses tanggal 2007-03-22.  Originally published as Euler, Leonhard (1768). "Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques". Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin. 17: 83–106. 
• Ferraro, Giovanni (Juni 1999). "The First Modern Definition of the Sum of a Divergent Series: An Aspect of the Rise of 20th Century Mathematics". Archive for History of Exact Sciences. 54 (2): 101–135. doi:10.1007/s004070050036. 
• Grattan-Guinness, Ivor (1970). The development of the foundations of mathematical analysis from Euler to Riemann. MIT Press. ISBN 978-0-262-07034-8. 
• Hardy, G. H. (1949). Divergent Series. Clarendon Press. xvi+396. ISBN 978-0-8218-2649-2. LCCN 49005496. MR 0030620. OCLC 808787.  2nd Ed. published by Chelsea Pub. Co., 1991. LCCN 91-75377. ISBN 0-8284-0334-1.
• Kline, Morris (November 1983). "Euler and Infinite Series". Mathematics Magazine. 56 (5): 307–314. CiteSeerX 10.1.1.639.6923 . doi:10.2307/2690371. JSTOR 2690371. 
• Knopp, Konrad (1990). Theory and Application of Infinite Series. New York: Dover Publications. ISBN 0486661652. LCCN 89071388. 
• Lavine, Shaughan (1994). Understanding the Infinite. Harvard UP. ISBN 978-0-674-92096-5. 
• Markusevič, Aleksej Ivanovič (1967). Series: fundamental concepts with historical exposition (edisi ke-English translation of 3rd revised edition (1961) in Russian). Delhi, India: Hindustan Pub. Corp. hlm. 176. LCCN sa68017528. OCLC 729238507.  Author also known as A. I. Markushevich and Alekseï Ivanovitch Markouchevitch. Also published in Boston, Mass by Heath with OCLC 474456247. Additionally, OCLC 208730, OCLC 487226828.
• Saichev, A. I.; Woyczyński, W. A. (1996). Distributions in the Physical and Engineering Sciences, Volume 1. Birkhaüser. ISBN 978-0-8176-3924-2. 
• Shawyer, Bruce; Watson, Bruce (1994). Borel's Methods of Summability: Theory and Application. Oxford Mathematical Monographs. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York. ISBN 0-19-853585-6. MR 1320266. 
• Tucciarone, John (Januari 1973). "The development of the theory of summable divergent series from 1880 to 1925". Archive for History of Exact Sciences. 10 (1–2): 1–40. doi:10.1007/BF00343405. 
• Vretblad, Anders (2003). Fourier Analysis and Its Applications. Springer. ISBN 978-0-387-00836-3. 
• Weidlich, John E. (Juni 1950). Summability methods for divergent series. Stanford M.S. theses. OCLC 38624384.