Topologi

Topologi (dari bahasa Yunani τόπος, "tempat", dan λόγος, "ilmu") merupakan cabang matematika yang bersangkutan dengan tata ruang yang tidak berubah dalam deformasi dwikontinu (yaitu ruang yang dapat ditekuk, dilipat, disusut, direntangkan, dan dipilin, tetapi tidak diperkenankan untuk dipotong, dirobek, ditusuk atau dilekatkan). Karena sifat ini, topologi disebut pula geometri karet.^[1] Ia muncul melalui pengembangan konsep dari geometri dan teori himpunan, seperti ruang, dimensi, bentuk, dan transformasi.

Ide yang sekarang diklasifikasikan kedalam topologi telah dinyatakan semenjak 1736, dan pada akhir abad ke-19 sebuah ilmu yang jelas terpisah dikembangkan. Ilmu ini disebut dalam bahasa Latin sebagai geometria situs ( "geometri dari tempat") atau analisis situs (Yunani-Latin untuk "pengkajian tempat "), dan kemudian memperoleh nama mutakhir topologi. Di tengah-tengah abad ke-20, topologi telah menjadi salah satu cabang utama matematika.

Kata topologi digunakan baik untuk cabang matematika dan untuk keluarga himpunan dengan beberapa sifat yang digunakan untuk menentukan ruang topologi, objek dasar dari topologi. Beberapa yang penting adalah homeomorfisme yang dapat didefinisikan sebagai fungsi malar dengan balikan malar pula. Misalnya, fungsi y = 3x adalah homeomorfisme dari garis bilangan real ke dirinya sendiri.

Topologi mencakup banyak subbidang. Bagian yang paling mendasar dan tradisional dalam topologi adalah:

Topologi titik-himpunan, yang menetapkan dasar aspek topologi dan menyelidiki konsep yang hakiki pada ruang topologi - contoh dasar adalah kekompakan dan keterhubungan.
Topologi aljabar, yang umumnya mencoba untuk mengukur tingkat kesinambungan menggunakan konstruksi aljabar seperti kelompok homotopi, homologi
Topologi geometris yang terutamanya mengkaji keragaman dan pembenamannya di keragaman lainnya.

Beberapa bidang yang paling aktif, seperti topologi dimensi rendah dan teori grafik, tidak muat dengan rapi dalam pembagian ini.

Motivasi

Wawasan yang memotivasi di balik topologi adalah bahwa beberapa masalah geometris tidak bergantung pada bentuk pasti dari objek yang terlibat, melainkan pada cara mereka disatukan. Contohnya, persegi dan lingkaran memiliki banyak sifat yang sama: keduanya adalah objek satu dimensi (dari sudut pandang topologi) dan keduanya memisahkan bidang menjadi dua bagian, bagian di dalam dan bagian luar.

Dalam salah satu makalah pertama di topologi, Leonhard Euler menunjukkan bahwa tidak mungkin menemukan rute melalui kota Königsberg (sekarang Kaliningrad) yang akan melintasi ketujuh jembatannya tepat satu kali. Hasil ini tidak bergantung pada panjang jembatan atau jarak satu sama lain, tetapi hanya pada properti konektivitas: jembatan mana yang menghubungkan ke pulau atau tepi sungai mana. Masalah Tujuh Jembatan Königsberg ini menyebabkan cabang matematika yang dikenal sebagai teori graf.

Deformasi kontinu (sejenis homeomorfisme) cangkir menjadi donat (torus) dan sapi menjadi bola

Serupa dengan itu, teorema bola berbulu dari topologi aljabar mengatakan bahwa "seseorang tidak dapat menyisir rambut hingga rata pada bola berbulu tanpa membuat jilatan rambut." Fakta ini langsung meyakinkan bagi kebanyakan orang, meskipun mereka mungkin tidak mengenali pernyataan teorema yang lebih formal, bahwa tidak ada medan vektor singgung kontinu tak menghilang pada bola. Seperti dengan Jembatan Königsberg , hasilnya tidak bergantung pada bentuk bola; ini berlaku untuk semua jenis gumpalan halus, selama tidak ada lubang.

Untuk menangani masalah ini yang tidak bergantung pada bentuk objek yang tepat, kita harus jelas tentang properti apa yang diandalkan oleh masalah ini do. Dari kebutuhan ini muncullah pengertian homeosfier. Ketidakmungkinan menyeberangi setiap jembatan hanya sekali berlaku untuk setiap susunan jembatan yang bersifat homeomorfik dengan yang ada di Königsberg, dan teorema bola berbulu berlaku untuk setiap ruang yang homeomorfik untuk sebuah bola.

Secara intuitif, dua ruang bersifat homeomorfik jika yang satu dapat berubah bentuk menjadi yang lain tanpa memotong atau merekatkan. Lelucon tradisional adalah bahwa ahli topologi tidak dapat membedakan cangkir kopi dari donat, karena donat yang cukup lentur dapat dibentuk kembali menjadi cangkir kopi dengan membuat lesung pipit dan secara bertahap memperbesarnya, sambil mengecilkan lubang menjadi pegangan.^[2]

Homeomorfisme dapat dianggap sebagai kesetaraan topologis yang paling dasar. Lainnya adalah kesetaraan homotopi. Ini lebih sulit untuk dijelaskan tanpa teknis, tetapi gagasan dasarnya adalah bahwa dua benda adalah setara homotopi jika keduanya dihasilkan dari "meremas" benda yang lebih besar.

Kelas persamaan alfabet Latin dalam font sans-serif
Homeomorfisme	Kesetaraan homotopi

Pengantar latihan adalah untuk mengklasifikasikan huruf besar dari alfabet bahasa Indonesia menurut persamaan homeomorfisme dan homotopi. Hasilnya tergantung pada font yang digunakan, dan apakah goresan yang membentuk huruf memiliki ketebalan atau kurva ideal tanpa ketebalan. Gambar di sini menggunakan font sans-serif Myriad dan diasumsikan terdiri dari kurva ideal tanpa ketebalan. Kesetaraan homotopi adalah hubungan yang lebih kasar daripada homeomorfisme; kelas kesetaraan homotopy dapat berisi beberapa kelas homeomorfisme. Kasus sederhana persamaan homotopi yang dijelaskan di atas dapat digunakan di sini untuk menunjukkan dua huruf yang setara homotopi. Misalnya, OF pas di dalam P dan ekor P bisa dijepit ke bagian "lubang".

Kelas homeomorfisme adalah:

tidak ada lubang yang sesuai dengan C, G, I, J, L, M, N, S, U, V, W, dan Z;
tidak ada lubang dan tiga ekor yang sesuai dengan E, F, T, dan Y;
tidak ada lubang dan empat ekor sesuai dengan X;
satu lubang dan tidak ada ekor yang sesuai dengan D dan O;
satu lubang dan satu ekor sesuai dengan P dan Q.;
satu lubang dan dua ekor sesuai dengan A dan R;
dua lubang dan tidak ada ekor yang sesuai dengan B; dan
batang dengan empat ekor sesuai dengan H dan K; "bar" pada K hampir terlalu pendek untuk dilihat.

Kelas homotopi lebih besar, karena ekornya dapat terjepit ke bawah sampai suatu titik. Mereka:

satu lubang,
dua lubang, dan
tidak ada lubang.

Untuk mengklasifikasikan huruf dengan benar, kita harus menunjukkan bahwa dua huruf di kelas yang sama adalah setara dan dua huruf di kelas yang berbeda tidak setara. Dalam kasus homeomorfisme, ini dapat dilakukan dengan memilih titik dan menunjukkan penghapusannya memutus huruf secara berbeda. Misalnya, X dan Y tidak homeomorfik karena menghilangkan titik tengah X menyisakan empat buah; titik apa pun di Y yang sesuai dengan titik ini, penghapusannya dapat menyisakan paling banyak tiga bagian. Kasus kesetaraan homotopi lebih sulit dan membutuhkan argumen yang lebih rumit yang menunjukkan invari aljabar, seperti grup fundamental, berbeda pada kelas yang seharusnya berbeda.

Topologi huruf memiliki relevansi praktis dalam stensil tipografi. Contohnya, Braggadocio stensil font dibuat dari satu bahan yang terhubung.

Sejarah

Tujuh Jembatan Königsberg adalah masalah yang diselesaikan oleh Euler.

Topologi, sebagai disiplin matematika yang terdefinisi dengan baik, berasal dari awal abad kedua puluh, tetapi beberapa hasil terisolasi dapat ditelusuri kembali beberapa abad.^[3] Diantaranya adalah beberapa pertanyaan dalam geometri yang diselidiki oleh Leonhard Euler. Makalah tahun 1736 tentang Tujuh Jembatan Königsberg dianggap sebagai salah satu aplikasi praktis pertama topologi.^[3] Pada tanggal 14 November 1750, Euler menulis kepada seorang temannya bahwa dia telah menyadari pentingnya tepi dari sebuah polihedron. Hal ini menyebabkan rumus polihedron, $V - E + F = 2$ (dimana $V$ , $E$ , dan $F$ masing-masing menunjukkan jumlah simpul, tepi, dan permukaan polihedron). Beberapa otoritas menganggap analisis ini sebagai teorema pertama, yang menandakan kelahiran topologi.^[4]

Kontribusi lebih lanjut dibuat oleh Augustin-Louis Cauchy, Ludwig Schläfli, Johann Benedict Listing, Bernhard Riemann dan Enrico Betti.^[5] Listing memperkenalkan istilah "Topologie" dalam Vorstudien zur Topologie , ditulis dalam bahasa Jerman asalnya, pada tahun 1847, setelah menggunakan kata tersebut selama sepuluh tahun dalam korespondensi sebelum kemunculan pertamanya dalam prin.^[6] Bentuk bahasa Inggris "topologi" digunakan pada tahun 1883 dalam obituari Listing di jurnal Nature untuk membedakan "geometri kualitatif dari geometri biasa di mana geometri kuantitatif.^[7]

Pekerjaan mereka dikoreksi, dikonsolidasikan, dan sangat diperluas oleh Henri Poincaré. Pada tahun 1895, ia menerbitkan makalah terobosannya tentang Analisis Situs, yang memperkenalkan konsep yang sekarang dikenal sebagai homotopi dan homologi, yang sekarang dianggap sebagai bagian dari topologi aljabar.^[5]

Karakteristik topologi lipatan-2 tertutup^[5]
Manifold	Bilangan Euler	Orientabilitas	Bilangan Betti			Koefisien torsi (1-dim)
Manifold	Bilangan Euler	Orientabilitas	b₀	b₁	b₂	Koefisien torsi (1-dim)
Bola	2	Orientable	1	0	1	tidak ada
Torus	0	Orientable	1	2	1	tidak ada
Torus berlubang	−2	Orientable	1	4	1	tidak ada
$g$ -torus berlubang (genus $g$ )	$2 - 2 g$	Orientable	1	$2 g$	1	tidak ada
Bidang proyektif	1	Tidak berorientasi	1	0	0	2
Botol Klein	0	Tidak berorientasi	1	1	0	2
Bola dengan $c$ lintas topi ( $c > 0$ )	$2 - c$	Tidak berorientasi	1	$c - 1$	0	2
2 Manifold dengan lubang $g$ dan $c$ topi silang ( $c > 0$ )	$2 - (2 g + c)$	Non-orientable	1	$(2 g + c) - 1$	0	2

Menyatukan pekerjaan pada ruang fungsi Georg Cantor, Vito Volterra, Cesare Arzelà, Jacques Hadamard, Giulio Ascoli dan lainnya, Maurice Fréchet memperkenalkan ruang metrik.^[8] Sebuah ruang metrik sekarang dianggap sebagai kasus khusus dari ruang topologi umum, dengan setiap ruang topologi tertentu berpotensi menimbulkan banyak ruang metrik yang berbeda. Pada tahun 1914, Felix Hausdorff menciptakan istilah "ruang topologis" dan memberikan definisi untuk apa yang sekarang disebut ruang Hausdorff.^[9] Saat ini, ruang topologi adalah sedikit generalisasi dari ruang Hausdorff, diberikan pada tahun 1922 oleh Kazimierz Kuratowski.^[10]

Topologi modern sangat bergantung pada gagasan teori himpunan, yang dikembangkan oleh Georg Cantor di akhir abad ke-19. Selain menetapkan ide-ide dasar teori himpunan, Cantor mempertimbangkan himpunan titik dalam ruang Euklides sebagai bagian dari studinya tentang deret Fourier. Untuk perkembangan lebih lanjut, lihat topologi himpunan-titik dan topologi aljabar.

Definisi

Topologi dapat didefinisikan sebagai:

Abstraksi geometri dimana konsep jarak absolut dibuang, dan kita melihat sub himpunan geometri tak tergantung ukuran, bentuk atau lokasi.
Studi dasar-dasar teoritik himpunan untuk konsep fungsi kontinu.
Studi himpunan yang memiliki beberapa ide "kedekatan" titik yang ditetapkan.

Topologi berkenaan dengan studi sifat-sifat topologi dari bentuk, yakni sifat yang tidak berubah dalam transformasi bikontinu satu-satu (disebut homeomorfisme).

Dua bentuk dapat dideformasi dari satu menjadi yang lain disebut homeomorfis, dan dipandang sama dari tinjauan topologi. Sebagai contoh, kubus padat dan bola padat adalah homeomorfis.

Akan tetapi, tidaklah mungkin untuk mendeformasi bola menjadi lingkaran oleh transformasi bikontinu satu-satu. Dimensi adalah sifat topologi. Dalam makna, sifat topologi adalah sifat bentuk yang lebih mendalam.

Konsep dasar

Topologi terhadap himpunan

Istilah topologi juga dipakai untuk sebuah ide matematis yang sangat pokok dalam sebuah cabang matematika yang disebut topologi. Secara sederhana, sebuah topologi memberikan deskripsi bagaimana anggota-anggota dalam sebuah himpunan saling terkait secara spasial (misal kedekatan antara 2 titik). Himpunan yang sama dapat pula diberikan topologi yang berbeda. Misalkan, garis bilangan real, bidang kompleks, dan himpunan Cantor dapat dianggap sebagai himpunan yang sama tetapi dengan topologi yang berbeda-beda (ketiganya memiliki kardinalitas yang sama).

Secara formal, misalkan X sebuah himpunan dan τ adalah keluarga subhimpunan dari X. Maka τ disebut topologi terhadap X jika:

Himpunan kosong dan X adalah anggota dari τ. $\emptyset ,X\in \tau$
Gabungan anggota-anggota dari τ dengan jumlah sembarang adalah anggota dari τ. $\forall {\mathcal {A}}\subset \tau :\bigcup _{A\in {\mathcal {A}}}A\in \tau$
Irisan anggota-anggota dari τ yang jumlahnya berhingga adalah anggota dari τ. $\forall n\in \mathbb {N} ,\forall A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}\in \tau :\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}\in \tau$

Jika τ adalah topologi terhadap X maka pasangan (X, τ) disebut ruang topologi.

Anggota dari τ disebut himpunan terbuka di dalam X. Sebuah subhimpunan A dari X disebut tertutup jika komplemennya ada di dalam τ (komplemennya terbuka, X ∖ A ϵ τ). Sebuah subhimpunan dari X dapat merupakan himpunan terbuka, tertutup, terbuka dan tertutup, atau tidak kedua-duanya. Himpunan kosong dan X sendiri masing-masing selalu tertutup dan terbuka. Sebuah subhimpunan N(x) dari X yang merupakan superhimpunan dari sebuah himpunan terbuka U yang memiliki sebagai salah satu anggotanya adalah x disebut lingkungan dari x ( $x\in U\subset N(x):U\in \tau$ ).

Homeomorfisme

Dalam bidang topologi, homeomorfisme atau isomorfisme topologi (dari bahasa Yunani, homeos = identik dan morphe = bentuk) adalah isomorfisme khusus antara ruang topologi yang memenuhi sifat-sifat topologi. Dua ruang dengan homeomorfisme antara mereka disebut homeomorfis. Dari tinjauan topologi mereka adalah sama. Pengertian isomorfisme sendiri adalah kemiripan yang tampak antara dua makhluk yang sebenarnya memiliki asal-usul berbeda dan kelas yang berbeda.

Secara kasar dapat dikatakan, ruang topologi adalah objek geometri dan homeomorfisme adalah peregangan dan pembengkokan kontinu dari suatu objek menjadi objek bentuk baru. Jadi persegi dan lingkaran adalah homeomorfis. Dalam tinjauan topologi, cangkir bergagang satu dan kue donat adalah sama.

Sifat-sifat topologi

Dalam topologi dan bidang matematika terkait, sifat topologi atau invarian topologi adalah sifat ruang topologi yang invarian dalam homeomorfisme. Jika diberikan dua ruang topologi X dan Y dan homeomorfisme f antara mereka, sifat topologi untuk sub himpunan A dari X berlaku jika dan hanya jika ia berlaku untuk f(A).

Soal umum dalam topologi adalah memutuskan apakah dua ruang topologi homeomorfis atau tidak homeomorfis. Untuk membuktikan bahwa dua ruang adalah homeomorfis, cukup untuk menemukan sifat topologi yang tidak terbagi oleh mereka.

Lihat pula

Referensi

Kutipan

^ "What is Topology? | Pure Mathematics". Pure Mathematics (dalam bahasa Inggris). 2015-10-16. Diakses tanggal 2018-04-03.
^ Hubbard, John H.; West, Beverly H. (1995). Differential Equations: A Dynamical Systems Approach. Part II: Higher-Dimensional Systems. Texts in Applied Mathematics. 18. Springer. hlm. 204. ISBN 978-0-387-94377-0.
^ ^a ^b Croom 1989, hlm. 7
^ Richeson 2008, hlm. 63; Aleksandrov 1969, hlm. 204
^ ^a ^b ^c Richeson (2008)
^ Listing, Johann Benedict, "Vorstudien zur Topologie", Vandenhoeck und Ruprecht, Göttingen, p. 67, 1848
^ Tait, Peter Guthrie (1 February 1883). "Johann Benedict Listing (obituary)". Nature. 27 (692): 316–317. Bibcode:1883Natur..27..316P. doi:10.1038/027316a0  .
^ Fréchet, Maurice (1906). Sur quelques points du calcul fonctionnel. PhD dissertation. OCLC 8897542.
^ Hausdorff, Felix, "Grundzüge der Mengenlehre", Leipzig: Veit. In (Hausdorff Werke, II (2002), 91–576)
^ Croom 1989, hlm. 129

Bibliografi

Aleksandrov, P.S. (1969) [1956], "Chapter XVIII Topology", dalam Aleksandrov, A.D.; Kolmogorov, A.N.; Lavrent'ev, M.A., Mathematics / Its Content, Methods and Meaning (edisi ke-2nd), The M.I.T. Press
Croom, Fred H. (1989), Principles of Topology, Saunders College Publishing, ISBN 978-0-03-029804-2
Richeson, D. (2008), Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology, Princeton University Press

Bacaan lebih lanjut

Ryszard Engelking, General Topology, Heldermann Verlag, Sigma Series in Pure Mathematics, December 1989, ISBN 3-88538-006-4.
Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology, Addison–Wesley (1966).
Breitenberger, E. (2006). "Johann Benedict Listing". Dalam James, I.M. History of Topology. North Holland. ISBN 978-0-444-82375-5.
Kelley, John L. (1975). General Topology. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90125-1.
Brown, Ronald (2006). Topology and Groupoids. Booksurge. ISBN 978-1-4196-2722-4. (Provides a well motivated, geometric account of general topology, and shows the use of groupoids in discussing van Kampen's theorem, covering spaces, and orbit spaces.)
Wacław Sierpiński, General Topology, Dover Publications, 2000, ISBN 0-486-41148-6
Pickover, Clifford A. (2006). The Möbius Strip: Dr. August Möbius's Marvelous Band in Mathematics, Games, Literature, Art, Technology, and Cosmology . Thunder's Mouth Press. ISBN 978-1-56025-826-1. (Provides a popular introduction to topology and geometry)
Gemignani, Michael C. (1990) [1967], Elementary Topology (edisi ke-2nd), Dover Publications Inc., ISBN 978-0-486-66522-1