Lingkungan (matematika)

Dalam topologi dan bidang matematika yang terkait, sebuah lingkungan (atau persekitaran atau ketetanggaan) merupakan salah satu konsep dasar dalam ruang topologi. Konsep ini terkait erat dengan konsep himpunan terbuka dan interior. Secara intuitif, lingkungan dari suatu titik adalah himpunan titik yang mengandung titik tersebut, di mana seseorang dapat bergerak beberapa langkah ke segala arah dari titik tersebut tanpa keluar dari himpunan tersebut. Sifat-sifat matematika yang terkait dengan lingkungan tertentu disebut lokal, sebagai lawan dari global.

Definisi

Lingkungan dari titik

Jika $X$ merupakan ruang topologi dan $p$ adalah titik dalam $X$ , lingkungan dari titik $p$ adalah himpunan bagian $V$ dari $X$ yang memuat suatu himpunan terbuka $U$ yang memuat $p,$ sedemikian sehingga

p\in U\subseteq V.

Ini setara dengan titik $p\in X$ termasuk dalam interior dari $V$ dalam $X.$

Lingkungan $V$ tidak harus merupakan suatu himpunan buka dalam $X$ . Tetapi ketika $V$ terbuka dalam $X$ , maka $V$ disebut lingkungan buka.^[1] Beberapa penulis mensyaratkan bahwa lingkungan harus terbuka, kesepakatan seperti ini perlu jadi perhatian.

Segiempat tutup tidak mempunyai lingkungan pada sebarang sudut atau batasnya.

Suatu himpunan yang menjadi lingkungan bagi semua titik anggotanya adalah buka, karena himpunan itu dapat dinyatakan sebagai gabungan dari himpunan-himpunan buka yang memuat tiap-tiap titiknya. Segiempat tutup, sebagaimana tergambar, bukan merupakan lingkungan dari semua titik-titiknya; titik pada sudut dari segiempat tidak termuat dalam sebarang himpunan buka yang termuat dalam segiempat.

Koleksi dari semua lingkungan dari suatu titik disebut neighbourhood system pada titik.

Referensi

^ Dixmier, Jacques (1984). General Topology . Undergraduate Texts in Mathematics. Translated by Sterling K. Berberian. Springer. hlm. 6. ISBN 0-387-90972-9. According to this definition, an open neighborhood of $x$ is nothing more than an open subset of $E$ that contains $x.$

Kelley, John L. (1975). General topology. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90125-6.
Bredon, Glen E. (1993). Topology and geometry. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97926-3.
Kaplansky, Irving (2001). Set Theory and Metric Spaces. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2694-8.

[1] Dixmier, Jacques (1984). General Topology . Undergraduate Texts in Mathematics. Translated by Sterling K. Berberian. Springer. hlm. 6. ISBN 0-387-90972-9. According to this definition, an open neighborhood of $x$ is nothing more than an open subset of $E$ that contains $x.$

[1]