Varietas (aljabar universal)

Dalam aljabar universal, varietas aljabar atau kelas persamaan adalah kelas dari semua struktur aljabar dari tanda tangan tertentu yang memenuhi himpunan identitas. Misalnya, grup membentuk berbagai aljabar, seperti halnya grup Abelian, gelanggang, monoid dll. Menurut Teorema Birkhoff, kelas struktur aljabar dengan tanda tangan yang sama adalah suatu variasi jika dan hanya jika ditutup pada pengambilan gambar homomorfik, subaljabar dan (produk langsung). Dalam konteks teori kategori, berbagai aljabar, dengan homomorfisme, membentuk kategori; maka biasanya disebut kategori aljabar finiter .

Kovarietas adalah kelas dari semua struktur koaljabar dari suatu tanda tangan.

Istilah

Varietas aljabar tidak sama dengan varietas aljabar, yang berarti sekumpulan solusi untuk sistem persamaan polinomial. Mereka secara formal sangat berbeda dan teori mereka memiliki sedikit kesamaan.

Istilah "varietas aljabar" mengacu pada aljabar dalam arti umum aljabar universal; ada juga pengertian aljabar yang lebih spesifik, yaitu sebagai aljabar di atas bidang, yaitu ruang vektor yang dilengkapi dengan perkalian bilinear.

Definisi

Sebuah tanda tangan (dalam konteks ini) adalah himpunan, yang elemennya disebut operasi , yang masing-masing diberi bilangan asli (0, 1, 2, ...) yang disebut ariti . Maka tanda tangan $\sigma$ and a set $V$ , yang elemennya disebut variabel , kata adalah berakar planar hingga pohon di mana setiap node diberi label oleh variabel atau operasi, node yang diberi label oleh variabel tidak memiliki cabang jauh dari akat dan setiap node yang diberi label oleh operasi $o$ memiliki banyak cabang dari root seperti ariti dari $o$ . Sebuah hukum persamaan adalah sepasang kata; aksioma yang terdiri dari kata-kata $v$ dan $w$ sebagai $v=w$ .

Sebuah teori adalah tanda tangan, satu set variabel dan satu set hukum persamaan. Setiap teori varietas aljabar sebagai berikut. Diberikan teori $T$ , sebuah aljabar dari $T$ terdiri dari himpunan $A$ bersama dengan, untuk operasi $o$ dari $T$ dengan ariti $n$ , sebuah fungsi $o_{A}\colon A^{n}\to A$ sedemikian rupa sehingga untuk setiap aksioma $v=w$ dan setiap penempatan elemen $A$ ke variabel dalam aksioma, pegangan persamaan yang diberikan dengan menerapkan operasi ke elemen $A$ seperti yang ditunjukkan oleh pohon yang mendefinisikan $v$ dan $w$ . Kita menyebut kelas aljabar dari teori tertentu $T$ sebagai varietas aljabar .

Namun, pada akhirnya yang lebih penting daripada kelas aljabar ini adalah kategori aljabar dan homomorfisme di antara mereka. Diberikan dua aljabar teori $T$ , katakanlah $A$ dan $B$ , sebuah homomorfisme adalah sebuah fungsi $f\colon A\to B$ dirumuskan

f(o_{A}(a_{1},\dots ,a_{n}))=o_{B}(f(a_{1}),\dots ,f(a_{n}))

untuk setiap operasi $o$ arity $n$ . Setiap teori memberikan kategori di mana objeknya adalah aljabar dari teori tersebut dan morfismenya adalah homomorfisme.

Contoh

Kelas dari semua semigrup membentuk berbagai aljabar tanda tangan (2), yang berarti bahwa satu kelompok semigroup mempunyai operasi biner tunggal. Persamaan yang cukup menentukan adalah hukum asosiatif:

x(yz)=(xy)z.

Kelas grup membentuk berbagai aljabar tanda tangan (2,0,1), tiga operasi itu masing-masing adalah perkalian (biner), identitas (nullari, konstanta) dan inversi (unari). Aksioma asosiativitas, identitas, dan kebalikan yang sudah dikenal membentuk satu himpunan identitas yang sesuai:

x(yz)=(xy)z

1x=x1=x

xx^{-1}=x^{-1}x=1.

Kelas gelanggang juga membentuk berbagai aljabar. Tanda tangan di sini adalah (2,2,0,0,1) (dua operasi biner, dua konstanta, dan satu operasi unari).

Jika kita memperbaiki gelanggang tertentu R , kita dapat mempertimbangkan kelas modul kiri R . Untuk mengekspresikan perkalian skalar dengan elemen dari R , kita membutuhkan satu operasi unari untuk setiap elemen R. Jika gelanggang tak hingga, maka kita akan memiliki banyak operasi tak terhingga, yang dibolehkan oleh definisi struktur aljabar dalam aljabar universal. Kemudian kita juga membutuhkan banyak identitas tak terhingga untuk mengekspresikan aksioma modul, yang diperbolehkan oleh definisi berbagai aljabar. Jadi kiri modul R memang membentuk berbagai aljabar.

bidang melakukan tidak membentuk berbagai aljabar; persyaratan bahwa semua elemen bukan nol dapat dibalik tidak dapat diekspresikan sebagai identitas yang dipenuhi secara universal.^{[butuh rujukan]}

Semigrup pembatalan juga tidak membentuk berbagai aljabar, karena properti pembatalan bukanlah persamaan, ini adalah implikasi yang tidak setara dengan grup persamaan. Namun, membentuk varietas semu karena implikasi yang mendefinisikan sifat pembatalan adalah contoh dari indentitas-semu.

Teorema Birkhoff

Diberikan kelas struktur aljabar dari tanda tangan yang sama, kita dapat mendefinisikan pengertian homomorfisme, subaljabar, dan produk. Garrett Birkhoff membuktikan bahwa kelas struktur aljabar dari tanda tangan yang sama adalah suatu variasi jika dan hanya jika ditutup pada pengambilan gambar homomorfik, subaljabar dan produk arbitrari.^[1] Ini adalah hasil dari kepentingan fundamental aljabar universal dan dikenal sebagai Teorema Birkhoff atau sebagai Teorema HSP . H , S , dan P , masing-masing, untuk operasi homomorfisme dan produk.

Kelas aljabar yang memenuhi beberapa grup identitas akan ditutup di bawah operasi HSP. Membuktikan konvers, kelas aljabar yang ditutup di bawah operasi HSP harus persamaan lebih sulit.

Dengan menggunakan teorema Birkhoff, kita dapat misalnya memverifikasi klaim yang dibuat di atas, bahwa aksioma medan tidak dapat diekspresikan oleh kumpulan identitas yang mungkin: produk dari bidang bukanlah bidang, jadi bidang tidak membentuk variasi.

Teori kategori

Jika $V$ adalah kategori aljabar finiter (yaitu kategori berbagai aljabar, dengan homomorfisme sebagai morfisme) maka funktor fogetful

G\colon V\to \mathbf {Himpunan}

memiliki adjoin kiri $F\colon \mathbf {Himpunan} \to V$ , yaitu funktor yang menetapkan untuk setiap himpunan aljabar bebas pada himpunan. Adjunction ini adalah secara ketat monadik , di mana kategori $V$ isomorfik ke kategori Eilenberg–Moore $\mathbf {Himpunan} ^{T}$ untuk monad $T=GF$ .

Monad $T\colon \mathbf {Himpunan} \to \mathbf {Himpunan}$ dengan memulihkan kategori aljabar finiter, yang memungkinkan generalisasi berikut. Kategori adalah kategori aljabar jika monadik di atas $\mathbf {Himpunan}$ . Ini adalah pengertian yang lebih umum daripada "kategori aljabar finiter" karena ia menerima kategori seperti CABA (aljabar atom Boolean lengkap) dan CSLat (semikisi lengkap). Dalam dua kasus tersebut, tandatangannya besar, artinya ia membentuk bukan himpunan tetapi kelas yang tepat, karena operasinya tidak terbatas ariti. Kategori aljabar sigma juga memiliki operasi tak terbatas, tetapi aritasnya dapat dihitung karena tanda tangannya kecil (membentuk himpunan).

Setiap kategori aljabar finiter adalah kategori persentabel lokal.

Lihat pula

Varietas semu

Catatan

^ Birkhoff, G. (Oct 1935), "On the structure of abstract algebras" (PDF), Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 31 (4): 433–454, diarsipkan dari versi asli (pdf) tanggal 2018-03-30

Pranala luar

Dua monograf tersedia online gratis:

Stanley N. Burris and H.P. Sankappanavar (1981), A Course in Universal Algebra. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2. [Proof of Birkhoff's Theorem is in II§11.]
Peter Jipsen and Henry Rose (1992), Varieties of Lattices, Lecture Notes in Mathematics 1533. Springer Verlag. ISBN 0-387-56314-8.

[1] Birkhoff, G. (Oct 1935), "On the structure of abstract algebras" (PDF), Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 31 (4): 433–454, diarsipkan dari versi asli (pdf) tanggal 2018-03-30

[1]