Produk langsung

Dalam matematika, seseorang sering dapat mendefinisikan produk langsung dari objek yang sudah dikenal, memberikan yang baru. Ini menggeneralisasi produk Cartesian dari himpunan yang mendasari, bersama dengan struktur yang ditentukan secara sesuai pada set produk. Lebih abstrak lagi, seseorang berbicara tentang produk dalam teori kategori, yang memformalkan gagasan ini.

Contoh

Jika kita pikirkan $\mathbb {R}$ sebagai himpunan bilangan riil, maka produk langsung $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ hanyalah produk Kartesius $\{(x,y)\mid x,y\in \mathbb {R} \}$ .
Jika kita memikirkan $\mathbb {R}$ sebagai grup dari bilangan real di bawah penambahan, kemudian produk langsung $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ masih punya $\{(x,y)\mid x,y\in \mathbb {R} \}$ sebagai himpunan yang mendasarinya. Perbedaan antara ini dan contoh sebelumnya adalah itu $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ sekarang menjadi grup, jadi kami juga harus menjelaskan cara menambahkan elemennya. Ini dilakukan dengan mendefinisikan $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$ .
Jika kita memikirkan $\mathbb {R}$ sebagai gelanggang dari bilangan real, kemudian produk langsung $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ lagi memiliki $\{(x,y)\mid x,y\in \mathbb {R} \}$ sebagai himpunan yang mendasarinya. Cincin struktur cincin terdiri dari penambahan yang ditentukan oleh $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$ dan perkalian ditentukan oleh $(a,b)(c,d)=(ac,bd)$ .
Namun, jika kita pikirkan $\mathbb {R}$ sebagai bidang dari bilangan real, kemudian produk langsung $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ tidak ada secara naif mendefinisikan penjumlahan dan perkalian secara komponen seperti pada contoh di atas tidak akan menghasilkan bidang karena elemen $(1,0)$ tidak memiliki invers perkalian.

Dengan cara yang sama, kita dapat berbicara tentang produk langsung dari banyak struktur aljabar, mis. $\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R}$ . Hal ini bergantung pada fakta bahwa produk langsungnya adalah asosiatif hingga isomorfisme. Artinya, $(A\times B)\times C\cong A\times (B\times C)$ untuk setiap struktur aljabar $A$ , $B$ , dan $C$ dari jenis yang sama. Produk langsung juga komutatif hingga isomorfisme, yaitu $A\times B\cong B\times A$ untuk setiap struktur aljabar $A$ dan $B$ dari jenis yang sama. Kita bahkan dapat berbicara tentang hasil kali langsung dari banyak struktur aljabar yang tak terhingga; misalnya kita dapat mengambil produk langsung dari terhitung banyak salinan $\mathbb {R}$ , yang kami tulis sebagai $\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \dotsb$ .

Produk langsung dari modul

Produk langsung untuk modul (jangan bingung dengan produk tensor) sangat mirip dengan yang ditentukan, menggunakan perkalian kartesian dengan operasi penjumlahan menjadi komponen, dan perkalian skalar hanya mendistribusikan ke semua komponen. Mulai dari R kami mendapatkan ruang Euklides Rⁿ, contoh prototipe dari ruang vektor berdimensi n yang nyata. Produk langsung dari R^m and Rⁿ is R^m+n.

Perhatikan bahwa produk langsung untuk indeks terbatas $\prod _{i=1}^{n}X_{i}$ identik dengan jumlah langsung $\bigoplus _{i=1}^{n}X_{i}$ . Jumlah langsung dan produk langsung berbeda hanya untuk indeks tak hingga, di mana elemen jumlah langsung adalah nol untuk semua kecuali untuk sejumlah entri terbatas. Keduanya memiliki arti ganda dalam arti teori kategori: jumlah langsungnya adalah koproduk, sedangkan produk langsung adalah produknya.

Misalnya, pertimbangkan $X=\prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {R}$ dan $Y=\bigoplus _{i=1}^{\infty }\mathbb {R}$ , produk langsung tak terbatas dan jumlah langsung dari bilangan real. Hanya urutan dengan jumlah elemen bukan nol yang terbatas yang ada di Y. Sebagai contoh, (1,0,0,0,...) ada di Y tapi (1,1,1,1, ...) tidak. Kedua urutan ini ada di produk langsung X; sebenarnya, Y adalah bagian yang tepat dari X (yaitu, Y ⊂ X).^[1]^[2]

Hasil kali langsung ruang topologi

Produk langsung untuk koleksi ruang topologi X_i untuk i pada I, beberapa kumpulan indeks, sekali lagi menggunakan produk Kartesius

\prod _{i\in I}X_{i}.

Mendefinisikan topologi agak sedikit rumit. Untuk banyak faktor, ini adalah hal yang jelas dan wajar untuk dilakukan: cukup ambil sebagai basis himpunan terbuka untuk menjadi kumpulan semua produk Kartesius dari subset terbuka dari setiap faktor:

{\mathcal {B}}=\{U_{1}\times \cdots \times U_{n}\ |\ U_{i}\ \mathrm {buka\ dalam} \ X_{i}\}.

Topologi ini disebut topologi produk. Misalnya, langsung mendefinisikan topologi produk di R² oleh himpunan terbuka R (persatuan terputus dari interval terbuka), dasar untuk topologi ini akan terdiri dari semua persatuan terputus-putus persegi panjang terbuka di bidang (ternyata, ini bertepatan dengan topologi metrik biasa).

Topologi produk untuk produk tak terbatas memiliki twist, dan ini harus dilakukan dengan kemampuan membuat semua peta proyeksi menjadi kontinu dan membuat semua fungsi menjadi produk berkelanjutan jika dan hanya jika semua fungsi komponennya berkelanjutan (yaitu untuk memenuhi definisi kategorikal produk: morfisme di sini adalah fungsi berkelanjutan): kami mengambil basis set terbuka untuk menjadi kumpulan semua produk Kartesius dari subset terbuka dari masing-masing faktor, seperti sebelumnya, dengan syarat bahwa semua kecuali banyak himpunan bagian terbuka adalah faktor keseluruhan:

{\mathcal {B}}=\left\{\prod _{i\in I}U_{i}\ {\Big |}\ (\exists j_{1},\ldots ,j_{n})(U_{j_{i}}\ \mathrm {buka\ dalam} \ X_{j_{i}})\ \mathrm {dan} \ (\forall i\neq j_{1},\ldots ,j_{n})(U_{i}=X_{i})\right\}.

Topologi yang terdengar lebih natural, dalam hal ini, mengambil produk dari subset terbuka yang tak terhingga seperti sebelumnya, dan ini menghasilkan topologi yang agak menarik, topologi kotak. Namun tidak terlalu sulit untuk menemukan contoh sekumpulan fungsi komponen kontinu yang fungsi produknya tidak kontinu (lihat topologi kotak entri terpisah untuk contoh dan lainnya). Masalah yang membuat pelintiran diperlukan pada akhirnya berakar pada fakta bahwa persimpangan set terbuka hanya dijamin akan terbuka untuk banyak himpunan yang tidak terbatas dalam definisi topologi.

Produk (dengan topologi produk) bagus dalam kaitannya dengan pelestarian sifat faktornya; sebagai contoh, produk dari ruang Hausdorff adalah Hausdorff; produk dari ruang yang terhubung terhubung, dan produk dari ruang kompak adalah kompak. Yang terakhir, disebut Teorema Tychonoff, adalah padanan lain dari aksioma pilihan.

Untuk lebih banyak properti dan formulasi yang setara, lihat entri terpisah topologi produk.

Produk langsung dari hubungan biner

Pada produk Cartesian dari dua himpunan dengan relasi biner R dan S, definisikan (a, b)T(c, d) sebagai aRc dan bSd. Jika R dan S keduanya refleksif, tidak refleksif, transitif, simetris, atau antisimetris, maka T juga akan menjadi.^[3] Menggabungkan properti berarti ini juga berlaku untuk menjadi praorder dan menjadi relasi ekivalen. Namun jika R dan S adalah relasi total, T bukan total umum.

Hasil kali langsung dalam aljabar universal

Jika Σ adalah tanda tangan tetap, I adalah kumpulan indeks arbitrer (mungkin tak terbatas), dan (A_i)_i∈I adalah keluarga indeks dari Σ aljabar, produk langsung A = ∏_i∈I A_i adalah aljabar Σ yang didefinisikan sebagai berikut:

Himpunan semesta A dari A adalah produk Kartesius dari himpunan alam semesta A_i of A_i, secara resmi: A = ∏_i∈I A_i;
Untuk setiap n dan setiap n simbol operasi ary f ∈ Σ, interpretasinya f^A dalam A didefinisikan secara komponen, secara formal: untuk semua a₁, ..., a_n ∈ A dan pada i ∈ I, komponen ke i dari f^A(a₁, ..., a_n) didefinisikan sebagai f^A_i(a₁(i), ..., a_n(i)).

Untuk i ∈ I, proyeksi ke i π_i : A → A_i didefinisikan oleh π_i(a) = a(i). Ini adalah homomorfisme dugaan antara Σ aljabar A dan A_i.^[4]

Sebagai kasus khusus, jika indeks ditetapkan I = { 1, 2 }, produk langsung dari dua aljabar A₁ and A₂ diperoleh, ditulis sebagai A = A₁ × A₂. Jika Σ hanya berisi satu operasi biner f , definisi atas dari produk langsung grup diperoleh, menggunakan notasi A₁ = G, A₂ = H, f^A₁ = ∘, f^A₂ = ∙, and f^A = ×. Demikian pula, definisi produk langsung modul dimasukkan di sini.

Produk langsung internal dan eksternal

Beberapa penulis membuat perbedaan antara produk langsung internal dan produk langsung eksternal. Jika $A,B\subset X$ dan $A\times B\cong X$ , lalu kami mengatakan bahwa X adalah internal produk langsung dari A dan B , sedangkan jika A dan B bukan sub-objek maka kami katakan bahwa ini adalah produk langsung eksternal .

Metrik dan norma

Metrik pada hasil kali Kartesius dari ruang metrik, dan norma pada produk langsung dari ruang vektor bernorma, dapat didefinisikan dengan berbagai cara, lihat misalnya p-norma.

Lihat juga

Catatan

^ W., Weisstein, Eric. "Direct Product". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2018-02-10.
^ W., Weisstein, Eric. "Group Direct Product". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2018-02-10.
^ Equivalence and Order
^ Stanley N. Burris and H.P. Sankappanavar, 1981. A Course in Universal Algebra. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2. Here: Def.7.8, p.53 (=p. 67 in pdf file)

Referensi

Templat:Lang Algebra

[1] W., Weisstein, Eric. "Direct Product". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2018-02-10.

[2] W., Weisstein, Eric. "Group Direct Product". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2018-02-10.

[3] Equivalence and Order

[4] Stanley N. Burris and H.P. Sankappanavar, 1981. A Course in Universal Algebra. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2. Here: Def.7.8, p.53 (=p. 67 in pdf file)

[1]

[2]

[3]

[4]