Monad (teori kategori)

endofunktor (funktor memetakan kategori), dengan dua transformasi alam yang dibutuhkan untuk memenuhi kondisi koherensi

Dalam teori kategori, cabang dari matematika, monad (juga disebut tripel, triad, konstruksi standar dan konstruksi dasar)[1] adalah endofunktor (funktor memetakan kategori), dengan dua transformasi alam yang dibutuhkan untuk memenuhi kondisi koherensi. Monad digunakan dalam teori funktor adjoin, dan mereka menggeneralisasi operator penutupan pada himpunan terurut parsial ke kategori arbitrer.

Pendahuluan dan definisi

sunting

Monad adalah jenis endofunktor tertentu. Misalnya, jika   dan   adalah sepasang funktor adjoin, dengan   di sebelah kiri adjoint ke  , maka komposisi   adalah monad. Jika   dan   adalah fungsi invers, monad terkait adalah identitas funktor. Secara umum, tambahan bukanlah kesetaraan, mereka menghubungkan kategori dengan sifat yang berbeda. Teori monad penting sebagai bagian dari upaya untuk 'mencari' tambahan. Separuh teori lainnya, dari dipelajari juga dari pertimbangan  , dibahas di bawah teori ganda komonad .

Definisi formal

sunting

Sepanjang artikel ini   menunjukkan sebuah kategori. Sebuah monad di   terdiri dari endofunktor   bersama dengan dua transformasi alami:   (dimana   menunjukkan fungsi identitas pada  ) dan   (dimana   adalah funktor   dari   ke  ). Ini diperlukan untuk memenuhi ketentuan berikut (terkadang disebut kondisi koherensi):

  •   (sebagai transformasi  );
  •   (sebagai transformasi  ; maka   menunjukkan transformasi identitas dari   menjadi  ).

Kita dapat menulis ulang kondisi ini menggunakan diagram komutatif berikut:

 
            
 

Lihat artikel tentang transformasi natural untuk penjelasan tentang notasi   dan  , atau lihat di bawah diagram komutatif yang tidak menggunakan pengertian ini:

                

Aksioma pertama mirip dengan asosiativitas dalam monoid jika   sebagai operasi biner monoid, dan aksioma kedua mirip dengan keberadaan elemen identitas (diberikan  ). Monad pada   dapat didefinisikan sebagai alternatif sebagai monoid dalam kategori   yang objeknya merupakan endofunktor dari   dan yang morfismenya merupakan transformasi, dengan struktur monoid yang disebabkan oleh komposisi endofungtor.

Himpunan daya monad

sunting

Himpunan daya monad adalah monad   pada kategori  : Untuk himpunan   biarkan   menjadi himpunan daya dari   dan untuk sebuah fungsi   biarkan   menjadi fungsi antara set daya yang diinduksi dengan galeri langsung di bawah  . Untuk setiap set  , peta  , pada   tunggal  . The function

 

mengambil satu set himpunan ke satuan. Data ini menggambarkan sebuah monad.

Keterangan

sunting

Aksioma sebuah monad secara formal mirip dengan aksioma monoid. Faktanya, monad adalah kasus khusus dari monoid, yaitu mereka merupakan monoid di antara endofunktor  , yang dilengkapi dengan perkalian yang diberikan oleh komposisi endofungtor.

Komposisi monad secara umum bukan monad. Misalnya, monad himpunan daya ganda   tidak menerima struktur monad.[2]

Sejarah terminologis

sunting

Gagasan monad ditemukan oleh Roger Godement pada tahun 1958 dengan nama "konstruksi standar". Pada 1960-an dan 1970-an, banyak orang menggunakan nama "tiga kali lipat". Istilah standar sekarang "monad" adalah karena Saunders Mac Lane.

Contoh

sunting

Monad arising dari tambahan

sunting

Semua adjunsi

 

menimbulkan monad pada C . Konstruksi yang sangat luas ini bekerja sebagai berikut: ujung ujung adalah komposit

 

Fungsi akhir ini dengan cepat dianggap sebagai monad, di mana peta satuan berasal dari peta satuan   dari adjunsi, dan peta perkalian dibangun menggunakan peta mounit dari adjunsi:

 

Dualisasi ganda

sunting

Dualisasi monad , untuk bidang k tetap muncul dari adjunsi

 

di mana kedua fungsi diberikan dengan mengirimkan ruang vektor V ke ruang vektor ganda  . Monad terkait mengirimkan ruang vektor V ke dual ganda  . Monad ini dibahas secara umum oleh (Kock 1970).

Operator penutupan himpunan urutan sebagian

sunting

Untuk kategori yang timbul dari himpunan terurut parsial   (dengan morfisme tunggal dari   to   iff  ), maka formalismenya menjadi lebih sederhana: bagian adjoin adalah koneksi Galois dan monad adalah operator penutupan.

Adjunsi foget bebas

sunting

Misalnya, karena   menjadi funktor fogetful dari kategori Grp dari grup ke kategori Himpunan, dan maka   menjadi fungsi grup bebas dari kategori himpunan ke kategori grup. Kemudian   adalah ujung kiri dari  . Dalam hal ini, monad terkait   maka himpunan   dan himpunan yang mendasari dari grup bebas  . Peta satuan monad ini diberikan oleh peta

 

termasuk set apapun   ke dalam himpunan   dengan cara alami, sebagai pita panjang 1. Selanjutnya, perkalian dari monad ini adalah peta

 

terbuat dari rangkaian atau 'perataan' alami dari 'pita'. Maka berarti dua transformasi natural. Contoh sebelumnya tentang grup bebas dapat digeneralisasikan ke semua jenis aljabar dalam arti Varietas aljabar dalam aljabar universal. Jadi, setiap jenis aljabar menimbulkan monad pada kategori himpunan. Yang penting, jenis aljabar dapat dipulihkan dari monad (sebagai kategori aljabar Eilenberg–Moore), jadi monad juga dapat dilihat sebagai varietas umum dari aljabar universal.

Monad lain yang muncul dari sebuah adjunsi adalah saat   adalah ujung fungsi pada kategori ruang vektor yang memetakan ruang vektor   ke aljabar tensor  , dan yang memetakan peta linier ke produk tensornya. Kami kemudian memiliki transformasi alami yang sesuai dengan penyematan   ke dalam aljabar tensor, dan transformasi alami yang sesuai dengan peta dari   untuk   diperoleh hanya dengan memperluas semua produk tensor.

Monad kondensi

sunting

Di bawah kondisi ringan, funktor yang tidak menggunakan adjoin kiri juga menghasilkan monad, yang disebut monad kondensi. Misalnya, inklusi

 

tidak menerima adjoint kiri. Codensity monadnya adalah monad pada set yang mengirimkan set X ke set ultrafilter pada X . Maka, contoh serupa dibahas oleh (Leinster 2013).

Aljabar untuk monad

sunting

Dirumuskan monad   pada kategori  , wajar untuk mempertimbangkan aljabar-  , yaitu, objek C yang dilanjutkan dari T ke cara yang kompatibel dengan satuan dan perkalian monad. Lebih formal, aljabar- T pada   adalah objek   dari   dengan panah   of   disebut peta struktur dari aljabar seperti diagram

  dan  

Morfisme   dari aljabar-  adalah panah   dari   dari diagram

 

T membentuk kategori yang disebut kategori Eilenberg–Moore dan dilambangkan dengan  . Misalnya, untuk grup bebas monad yang didiskusikan di atas, aljabar- T adalah himpunan X bersama dengan peta dari grup bebas yang dihasilkan oleh X menuju X dengan subjek asosiatif dan satuan. Struktur seperti itu setara dengan mengatakan bahwa X adalah kelompok itu sendiri.

Contoh lain adalah distribusi monad pada kategori himpunan. Hal tersebut ditentukan dengan urutan satu himpunan X ke himpunan fungsi   dengan dukungan terbatas dan sehingga  . Dengan memeriksa definisi, dapat ditunjukkan bahwa aljabar di atas monad distribusi setara dengan himpunan konveks, yaitu, himpunan dengan operasi   pada   tunduk pada aksioma yang menyerupai perilaku kombinasi linear cembung   dalam ruang Euklides.[3]

Penggunaan

sunting

Monad digunakan dalam pemrograman fungsional untuk mengekspresikan jenis komputasi sekuensial (terkadang dengan efek samping). Lihat monad dalam pemrograman fungsional, dan modul Wikibuku yang lebih berorientasi matematis Teori Haskell/Kategori.

Dalam logika kategoris, sebuah analogi telah ditarik antara teori monad-komonad, dan logika modal melalui operator penutupan, aljabar interior, dan hubungannya dengan model dari S4 dan logika intuisi.

Generalisasi

sunting

Dimungkinkan untuk mendefinisikan monad dalam Kategori-2  . Monad yang dijelaskan di atas adalah monad untuk  .

Lihat pula

sunting

Referensi

sunting
  1. ^ Barr, Michael; Wells, Charles (1985), "Toposes, Triples and Theories" (PDF), Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Springer-Verlag, 278, hlm. 82 and 120, ISBN 0-387-96115-1. 
  2. ^ Klin; Salamanca, Iterated Covariant Powerset is not a Monad, doi:10.1016/j.entcs.2018.11.013  
  3. ^ Świrszcz, T. (1974), "Monadic functors and convexity", Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys., 22: 39–42, MR 0390019 , Jacobs, Bart (2010), "Convexity, Duality and Effects", Theoretical Computer Science, IFIP Advances in Information and Communication Technology, 323, hlm. 1–19, doi:10.1007/978-3-642-15240-5_1 , ISBN 978-3-642-15239-9 

Bacaan lebih lanjut

sunting

Pranala luar

sunting