Ruang vektor topologis

Dalam matematika, suatu ruang vektor topologis (juga disebut ruang topologis linear) adalah suatu ruang vektor yang mana suatu topologi yang serasi didefinisikan sebagai suatu tambahan pada struktur aljabarnya, sedemikian sehingga operasi pada ruang vektor menjadi fungsi kontinu. Lebih khusus lagi, ruang topologisnya memiliki struktur topologis seragam, memungkinkan gagasan tentang kekonvergenan seragam. Ruang vektor topologis adalah salah satu struktur dasar yang diteliti dalam analisis fungsional.

Elemen ruang vektor topologis biasanya fungsi atau operator linear yang bekerja pada ruang vektor topologis, dan topologi sering didefinisikan untuk menangkap gagasan tertentu dari konvergensi dari urutan fungsi.

Ruang Banach, Ruang Hilbert dan Ruang Sobolev adalah contoh yang terkenal.

Kecuali dinyatakan lain, lapangan yang mendasari ruang vektor topologis diasumsikan sebagai bilangan kompleks ℂ atau bilangan riil ℝ.

Motivasi

Ruang normal

Setiap ruang vektor bernorma memiliki struktur topologis: norma menginduksi sebuah metrik dan metrik menginduksi sebuah topologi. Ini adalah ruang vektor topologis karena:

Penambahan vektor $+ : X \times X \to X$ secara bersama-sama berkelanjutan sehubungan dengan topologi ini. Ini mengikuti langsung dari pertidaksamaan segitiga yang dipatuhi oleh norma.
Perkalian skalar $\cdot : 𝕂 \times X \to X$ , dengan $𝕂$ adalah bidang skalar yang mendasari $X$ , kontinu bersama. Ini mengikuti dari segitiga ketidaksamaan dan homogenitas norma.

Jadi semua Ruang Banach dan Ruang Hilbert adalah contoh ruang vektor topologis.

Ruang tanpa norma

Ada ruang vektor topologis yang topologinya tidak diinduksi oleh suatu norma, tetapi masih menjadi minat dalam analisis. Contoh ruang seperti itu adalah ruang fungsi holomorfik pada domain terbuka, ruang fungsi terdiferensialkan takhingga, ruang Schwartz, dan spasi fungsi uji s dan spasi distribusi di atasnya. Ini semua adalah contoh dari Ruang Montel. Ruang Montel berdimensi takhingga tidak pernah bisa diatur. Keberadaan norma untuk ruang vektor topologis tertentu dicirikan oleh kriteria normabilitas Kolmogorov.

Bidang topologi adalah ruang vektor topologis di atas setiap subbidang.

Definisi

Suatu keluarga lingkungan asal dengan dua sifat di atas menentukan secara unik ruang vektor topologis. Sistem lingkungan dari titik lain dalam ruang vektor diperoleh dengan translasi.

Ruang vektor topologis $X$ adalah ruang vektor di atas bidang topologi $𝕂$ (paling sering bilangan riil atau kompleks dengan topologi standarnya) yang diberkahi dengan topologi sehingga penambahan vektor $+ : X \times X \to X$ dan perkalian skalar $\cdot : 𝕂 \times X \to X$ adalah fungsi berkelanjutan (di mana domain dari fungsi-fungsi ini diberkahi dengan topologi produk). Topologi seperti itu disebut topologi vektor pada $X$ .

Setiap ruang vektor topologis juga merupakan komutatif grup topologi di bawah penambahan.

Asumsi Hausdorff

Beberapa penulis (misalnya, Walter Rudin) memerlukan topologi pada $X$ menjadi T₁; kemudian mengikuti bahwa ruang adalah Hausdorff, dan bahkan Tychonoff. Sebuah ruang vektor topologis dikatakan terpisah jika itu adalah Hausdorff; yang terpenting, "dipisahkan" tidak berarti dapat dipisahkan. Struktur aljabar topologi dan linier dapat diikat lebih dekat lagi dengan asumsi tambahan, yang paling umum tercantum di bawah.

Kategori dan morfisme

Kategori ruang vektor topologis di atas bidang topologi tertentu $𝕂$ biasanya dilambangkan RVT_$𝕂$ or TVekt_$𝕂$. Objek adalah ruang vektor topologis di atas $𝕂$ dan morfisme adalah peta linear- $𝕂$ kontinu dari satu objek.

Homomorfisme RVT atau homomorfisme topologi^[1]^[2] adalah bersambung peta linear $u : X \to Y$ antara ruang vektor topologis (RVT) sehingga peta induksi $u : X \to Im u$ adalah pemetaan terbuka ketika $Im u$ , yang merupakan rentang atau gambar dari $u$ , diberi topologi subruang diinduksi oleh Y .

RVT embedding atau topologi monomorfisme adalah homomorfisme topologi injektif. Dengan kata lain, RVT-embedding adalah peta linear yang juga merupakan topologi embedding.^[1]

RVT isomorfisme atau isomorfisme dalam kategori RVT adalah sebuah bijektiva linier homeomorfisme. Sama halnya, ini adalah dugaan RVT embedding^[1]

Banyak properti TVS yang dipelajari, seperti konveksitas lokal, Metrizability, kelengkapan, dan normabilitas, tidak berubah di bawah isomorfisme RVT.

Kondisi yang diperlukan untuk topologi vektor

Kumpulan $𝒩$ subset dari ruang vektor disebut aditif^[3] if for every $N \in 𝒩$ , there exists some $U \in 𝒩$ such that $U + U \subseteq N$ .

Karakterisasi kontinuitas penambahan pada $0$ ^[3] — Jika $(X, +)$ adalah kelompok (karena semua ruang vektor), $τ$ adalah topologi pada $X$ , dan $X \times X$ diberkahi dengan topologi produk, kemudian peta penambahan $X \times X \to X$ (yaitu peta $(x, y) \mapsto x + y$ ) berkelanjutan di asal $X \times X$ jika dan hanya jika himpunan lingkungan dari asal di $(X, τ)$ adalah aditif. Pernyataan ini tetap benar jika kata "lingkungan" diganti dengan "lingkungan terbuka".

Semua kondisi di atas secara konsekuen merupakan kebutuhan suatu topologi untuk membentuk suatu topologi vektor.

Mendefinisikan topologi menggunakan lingkungan asalnya

Karena setiap topologi vektor adalah invarian terjemahan (yaitu untuk $x 0 \in X$ , peta $X \to X$ didefinisikan oleh $x \mapsto x 0 + x$ adalah homeomorfisme), untuk mendefinisikan topologi vektor, cukup mendefinisikan basis lingkungan (atau subbasis) untuk itu di asalnya.

Teorema^[4] (Filter lingkungan asal) — Misalkan $X$ adalah ruang vektor nyata atau kompleks. Jika $ℬ$ adalah kumpulan aditif tidak kosong dari balanced dan subset absorbing dari $X$ maka $ℬ$ adalah basis lingkungan di $0$ untuk topologi vektor di $X$ . Artinya, asumsinya adalah bahwa $ℬ$ adalah filter base yang memenuhi kondisi berikut:

Setiap $B \in ℬ$ adalah balanced dan absorbing,
$ℬ$ adalah aditif: Untuk setiap $B \in ℬ$ ada sebuah $U \in ℬ$ dirumuskan $U + U \subseteq B$ ,

Jika $ℬ$ memenuhi dua kondisi di atas tetapi adalah tidak basis filter maka itu akan membentuk lingkungan menggantidasar di $0$ (daripada basis lingkungan) untuk topologi vektor di $X$ .

Secara umum, himpunan semua himpunan bagian yang seimbang dan menyerap dari ruang vektor tidak memenuhi syarat dari dalil ini dan tidak membentuk basis ketetanggaan pada asal mula topologi vektor.^[3]

Mendefinisikan topologi menggunakan string

Misalkan $X$ menjadi ruang vektor dan misalkan $U • = (U i) \infty i =1$ menjadi urutan himpunan bagian dari $X$ . Masing-masing set secara berurutan $U •$ disebut simpul dari $U •$ dan untuk setiap indeks $i$ , $U i$ disebut $i$ ^- simpul of $U •$ . Himpunan $U 1$ disebut awal dari $U •$ . Urutan $U •$ adalah:^[5]^[6]^[7]

Sumatif jika $U i +1 + U i +1 \subseteq U i$ untuk setiap indeks $i$ .
Seimbang (resp. menyerap, penutupan,^{[note 1]} cembung, Buka, simetris, laras, himpunan cembung/disk, dll) jika ini benar untuk setiap $U i$ .
Pita jika $U •$ sumatif, menyerap, dan seimbang.
Pita topologi atau pita lingkungan di RVT $X$ if $U •$ adalah string dan lingkungan asalnya $X$ .

Jika $U$ adalah absorbing disk dalam ruang vektor $X$ maka urutan yang ditentukan oleh $U i := 2 1 - i U$ membentuk string yang dimulai dengan $U 1 = U$ . Ini disebut pita natural dari $U$ ^[5] Selain itu, jika ruang vektor $X$ memiliki dimensi yang dapat dihitung, maka setiap string berisi string absolut cembung.

Urutan sumatif dari himpunan memiliki properti yang sangat bagus yang mereka definisikan sebagai fungsi subadditif nilai riil kontinu non-negatif. Fungsi ini kemudian dapat digunakan untuk membuktikan banyak sifat dasar ruang vektor topologis.

Teorema (ℝ-fungsi nilai yang diinduksi oleh pita) — Maka $U • = (U i) \infty i =0$ menjadi kumpulan himpunan bagian dari ruang vektor sedemikian rupa sehingga $0 \in U i$ dan $U i +1 + U i +1 \subseteq U i$ for all $i \geq 0$ . Untuk $u \in U 0$ , maka

𝕊(u) := {n • = (n 1, \cdot\cdot\cdot, n k) : k \geq 1, n i \geq 0 untuk i, dan u \in U n 1 + \cdot\cdot\cdot + U n k

}.

Menetapkan $f : X \to [0, 1]$ oleh $f (x) = 1$ jika $x \notin U 0$ dan sebaliknya maka

f (x) := inf { 2 - n 1 + \cdot\cdot\cdot + 2 - n k : n • = (n 1, \cdot\cdot\cdot, n k) \in 𝕊(x)

}.

Maka $f$ adalah subaditif (yaitu $f (x + y) \leq f (x) + f (y)$ untuk $x, y \in X$ ) dan $f = 0$ pada $\cap i \geq 0 U i$ , jadi khususnya $f (0) = 0$ . Jika $U i$ himpunan simetris maka $f (- x) = f (x)$ dan jika $U i$ diseimbangkan maka $f (sx) \leq f (x)$ untuk skalar $s$ maka $| s |$

≤ 1 dan  $x \in X$ .

Jika $X$ adalah ruang vektor topologi dan jika $U i$ adalah lingkungan asal maka $f$ kontinu, dengan tambahan $X$ adalah Hausdorff dan $U •$ membentuk dasar lingkungan seimbang asal di $X$ maka $d (x, y) := f (x - y)$ adalah metrik yang mendefinisikan topologi vektor di $X$ .

Bukti

Asumsikan bahwa $n • = (n 1, \cdot\cdot\cdot, n k)$ selalu menunjukkan urutan terbatas dari bilangan bulat non-negatif dan menggunakan notasi:

\sum 2 - n • := 2 - n 1 + \cdot\cdot\cdot + 2 - n k

and

\sum U n • := U n 1 + \cdot\cdot\cdot + U n k

.

Amati itu untuk bilangan bulat $n \geq 0$ dan $d > 2$ ,

U n \supseteq U n +1 + U n +1 \supseteq U n +1 + U n +2 + U n +2 \supseteq U n +1 + U n +2 + \cdot\cdot\cdot + U n + d + U n + d +1 + U n + d +1

.

Dari sini dapat disimpulkan bahwa jika $n • = (n 1, \cdot\cdot\cdot, n k)$ terdiri dari bilangan bulat positif yang berbeda, maka $\sum U n • \subseteq U -1 + min (n •)$ .

Sekarang akan ditunjukkan oleh induksi pada $k$ bahwa jika $n • = (n 1, \cdot\cdot\cdot, n k)$ terdiri dari bilangan bulat non-negatif sehingga $\sum 2 - n • \leq 2 - M$ untuk beberapa bilangan bulat $M \geq 0$ kemudian $\sum U n • \subseteq U M$ . Ini jelas benar untuk $k = 1$ dan $k = 2$ jadi asumsikan bahwa $k > 2$ , yang menyiratkan itu semua $n i$ positif. Maka $n i$ berbeda maka kita selesai, jika tidak pilih indeks berbeda $i < j$ dirumuskan $n i = n j$ dan membangun $m • = (m 1, \cdot\cdot\cdot, m k -1)$ dari $n •$ dengan mengganti $n i$ dengan $n i - 1$ dan menghapus $j th$ elemen $n •$ (semua elemen lainnya dari $n •$ ditransfer ke $m •$ tidak berubah). Perhatikan bahwa $\sum 2 - n • = \sum 2 - m •$ dan $\sum U n • \subseteq \sum U m •$ (karena $U n i + U n j \subseteq U n i - 1$ ) jadi dengan mengajukan banding ke hipotesis induktif, maka $\sum U n • \subseteq \sum U m • \subseteq U M$ . ∎

Jika $U • = (U i) i \in ℕ$ dan $V • = (V i) i \in ℕ$ adalah dua kumpulan himpunan bagian dari ruang vektor $X$ dan jika $s$ adalah skalar, maka menurut definisi:^[5]

$V •$ mengandung $U •$ : $U • \subseteq V •$ jika dan hanya jika $U i \subseteq V i$ untuk indeks $i$ .
Himpunan simpul: $Knots (U •) := {U i : i \in ℕ }$ .
Kernel: $ker U • := \cap i \in ℕ U i$ .
Skalar ganda: $s U • := (s U i) i \in ℕ$ .
Jumlah: $U • + V • := (U i + V i) i \in ℕ$ .
Interseksi: $U • \cap V • := (U i \cap V i) i \in ℕ$ .

Jika $𝕊$ adalah sekumpulan rangkaian himpunan bagian dari $X$ , maka $𝕊$ dikatakan diarahkan (ke bawah) dalam penyertaan atau sederhananya diarahkan jika $𝕊$ tidak kosong dan untuk $U •, V • \in 𝕊$ ada beberapa $W • \in 𝕊$ dirumuskan $W • \subseteq U •$ dan $W • \subseteq V •$ (dikatakan berbeda, jika dan hanya jika $𝕊$ adalah prefilter sehubungan dengan penahanan $\subseteq$ yang ditentukan di atas).

Notasi: Maka $Knots (𝕊) := \cup U • \in 𝕊 Simpul (U •)$ jadilah himpunan dari semua simpul dari semua string di $𝕊$ .

Mendefinisikan topologi vektor menggunakan kumpulan string sangat berguna untuk menentukan kelas RVT yang tidak selalu konveks lokal.

Teorema^[5] (Topologi diinduksi oleh pita) — Jika $(X, 𝜏)$ adalah ruang vektor topologi maka himpunan $𝕊$ ^{[proof 1]} dari string tetangga di $X$ yang diarahkan ke bawah dan sedemikian rupa sehingga himpunan semua simpul dari semua string di $𝕊$ adalah basis lingkungan di asal untuk $(X, 𝜏)$ . Kumpulan string seperti itu dikatakan $𝜏$ fundamental.

Sebaliknya, jika $X$ adalah ruang vektor dan jika $𝕊$ adalah kumpulan string dalam $X$ yang mengarah ke bawah, kemudian himpunan $Knot (𝕊)$ dari semua knot dari semua string di $𝕊$ membentuk basis lingkungan pada asal untuk topologi vektor di $X$ . Dalam hal ini, topologi ini dilambangkan dengan $𝜏 𝕊$ dan itu disebut topologi yang dihasilkan oleh $𝕊$ .

Jika $𝕊$ adalah himpunan semua string topologi di RVT $(X, 𝜏)$ kemudian $𝜏 𝕊 = 𝜏$ .^[5]

Sebuah TVS Hausdorff adalah dapat diukur jika dan hanya jika topologinya dapat diinduksi oleh satu string topologi.^[8]

Contoh

Topologi vektor paling halus

Misalkan $X$ adalah ruang vektor nyata atau kompleks.

Topologi trivial

Topologi trivial atau topologi tidak terpisah ${X, \emptyset }$ selalu merupakan topologi TVS pada ruang vektor mana pun $X$ dan merupakan topologi RVT sekasar mungkin. Konsekuensi penting dari hal ini adalah perpotongan dari kumpulan topologi RVT di $X$ selalu berisi topologi RVT. Setiap ruang vektor (termasuk yang berdimensi tak hingga) yang diberkahi dengan topologi trivial adalah sebuah kompak (dan karenanya kompak secara lokal) lengkap pseudometrizable seminormable cembung lokal topol. Ini adalah Hausdorff jika dan hanya jika $dim X = 0$ .

Topologi vektor finest

Terdapat topologi TVS $τ f$ pada $X$ yang lebih halus daripada setiap topologi TVS lainnya di $X$ (yaitu, semua topologi TVS di $X$ tentu saja merupakan subset dari $𝜏 f$ ).^[9]^[10] Setiap peta linear dari $(X, τ f)$ ke RVT lain harus terus menerus. Jika $X$ memiliki basis Hamel tak terhitung, maka $𝜏 f$ adalah tidak konveks lokal dan tidak dapat diukur.^[10]

Ruang vektor produk

Sebuah Produk Kartesius dari keluarga ruang vektor topologis, ketika diberkahi dengan produk topologi, adalah ruang vektor topologis. Pertimbangkan misalnya himpunan $X$ dari semua fungsi $f : ℝ \to ℝ$ di mana $ℝ$ membawa topologi Euclidean yang biasa. Himpunan ini $X$ adalah ruang vektor nyata (di mana penjumlahan dan perkalian skalar ditentukan secara searah, seperti biasa) yang dapat diidentifikasikan dengan (dan memang, sering didefinisikan sebagai) Produk Kartesius $ℝ ℝ$ , yang membawa produk topologi alami. Dengan topologi produk ini, $X ≝ ℝ ℝ$ menjadi ruang vektor topologis yang topologinya disebut topologi konvergensi Pointwise di $ℝ$ . Alasan nama ini adalah sebagai berikut: jika $(f n)$ adalah urutan (atau lebih umum, jaring) elemen dalam $X$ dan jika $f \in X$ kemudian $f n$ menyatu menjadi $f$ di $X$ jika dan hanya jika untuk setiap bilangan real $x$ , $f n (x)$ dengan $f (x)$ pada $ℝ$ . RVT ini adalah lengkap, Hausdorff, dan konveks lokal tetapi tidak dapat diukur dan akibatnya tidak normabel; memang, setiap lingkungan asal dalam topologi produk berisi garis (yaitu subruang vektor 1 dimensi, yang merupakan himpunan bagian dari bentuk $ℝ f ≝ {r f : r \in ℝ }$ with $f \neq 0$ ).

Ruang berdimensi hingga

Misalkan $𝔽$ menunjukkan $ℝ$ atau $ℂ$ dan menganugerahi $𝔽$ dengan normed Hausdorff topologi Euklides. Misalkan $X$ adalah ruang vektor di atas $𝔽$ berdimensi berhingga $n = dim X$ sehingga $X$ adalah ruang vektor isomorfik ke $𝔽 n$ (secara eksplisit, ini berarti bahwa terdapat isomorfisme linear antara ruang vektor $X$ dan $𝔽 n$ ). Ruang vektor berdimensi-hingga ini $X$ selalu memiliki Hausdorff topologi vektor, yang menjadikannya RVT-isomorfik menjadi $𝔽 n$ , dimana $𝔽 n$ diberkahi dengan topologi Euclidean biasa (yang sama dengan topologi produk). Topologi vektor Hausdorff ini juga merupakan topologi vektor (unik) terbaik pada $X$ . $X$ memiliki topologi vektor yang unik jika dan hanya jika $dim X = 0$ . Jika $dim X \neq 0$ kemudian meskipun $X$ tidak memiliki topologi vektor yang unik, ia memiliki topologi vektor Hausdorff yang unik.

Jika $dim X = 0$ then $X = { 0 }$ memiliki tepat satu topologi vektor: topologi trivial, yang dalam hal ini (dan hanya dalam kasus ini) adalah Hausdorff. Topologi trivial pada ruang vektor adalah Hausdorff jika dan hanya jika ruang vektor memiliki dimensi $0$ .

Jika

dim X = 1

maka

X

memiliki dua topologi vektor: topologi Euclidean biasa dan topologi trivial (non-Hausdorff).

Karena bidang $𝔽$ itu sendiri adalah ruang vektor topologis 1 dimensi di atas $𝔽$ dan karena ini memainkan peran penting dalam definisi ruang vektor topologis, dikotomi ini memainkan peran penting dalam definisi himpunan penyerap dan memiliki konsekuensi yang bergema di seluruh analisis fungsional.

Garis bukti

Pembuktian dikotomi ini sangat mudah sehingga hanya garis besar dengan pengamatan penting yang diberikan. Seperti biasa, $𝔽$ diasumsikan memiliki topologi Euclidean (bernorma). Misalkan $X$ adalah ruang vektor 1 dimensi di atas $𝔽$ . Perhatikan bahwa jika $B \subseteq 𝔽$ adalah bola yang berpusat pada 0 dan jika $S \subseteq X$ adalah himpunan bagian yang berisi "urutan tak terbatas" kemudian $B \cdot S = X$ , di mana "urutan tak terbatas" berarti urutan bentuk $(s i x) \infty i =1$ dimana $0 \neq x \in X$ dan $(s i) \infty i =1 \subseteq 𝔽$ tidak dibatasi dalam ruang bernorma $𝔽$ . Topologi vektor apa pun pada $X$ akan menjadi invarian translasi dan invarian dalam perkalian skalar bukan nol, dan untuk $0 \neq x \in X$ , peta $M x : 𝔽 \to X$ dirumuskan $M x (s) ≝ s x$ adalah kebijaksanaan linier berkelanjutan. Secara khusus, untuk $x$ semacam itu, $X = 𝔽 x$ jadi setiap himpunan bagian dari $X$ bisa ditulis sebagai $F x = M x (F)$ untuk beberapa subset unik $F \subseteq 𝔽$ . Dan jika topologi vektor pada $X$ ini memiliki lingkungan 0 yang benar-benar terkandung di $X$ , kemudian kelanjutan perkalian skalar $𝔽 \times X \to X$ di asal memaksa keberadaan lingkungan terbuka asal di $X$ yang tidak berisi "urutan tak terbatas". Dari sini, seseorang menyimpulkan bahwa jika $X$ tidak membawa topologi trivial dan jika $0 \neq x \in X$ , lalu untuk bola apa pun $B \subseteq 𝔽$ center di 0 dalam $𝔽$ , $M x (B) = B x$ berisi lingkungan terbuka asal di $X$ sehingga $M x$ dengan demikian sebuah homeomorfisme linear. ∎

Jika $dim X = n \geq 2$ then $X$ has banyak tak terhingga topologi vektor yang berbeda

Topologi non-vektor

Topologi diskrit

Jika $X$ adalah ruang vektor non-trivial (yaitu dimensi bukan nol) maka topologi diskrit pada $X$ (yang selalu dapat diukur) adalah bukan menjadi topologi RVT karena meskipun melakukan penambahan dan negasi terus menerus (yang membuatnya menjadi grup topologi di bawah tambahan), gagal membuat perkalian skalar terus menerus. Topologi hingga pada $X$ (di mana himpunan bagian terbuka jika dan hanya jika pelengkapnya terbatas) juga bukan topologi RVT di $X$ .

Peta linear

Operator linear antara dua ruang vektor topologis yang kontinu pada satu titik kontinu di seluruh domain. Selain itu, operator linier $f$ kontinu jika $f (X)$ dibatasi (seperti yang didefinisikan di bawah) untuk beberapa lingkungan $X$ dari 0.

Sebuah bidang-hiper pada ruang vektor topologis $X$ bisa padat atau tertutup. Sebuah fungsi linear $f$ pada ruang vektor topologis $X$ memiliki kernel padat atau tertutup. Maka, $f$ kontinu jika dan hanya jika kernel adalah tertutup.

Lihat pula

Ruang Banach – ruang vektor dengan metrik yang memungkinkan penghitungan panjang vektor dan jarak antara vektor dan lengkap dalam arti bahwa urutan Cauchy vektor selalu konvergen ke batas yang didefinisikan dengan baik yang ada di dalam ruang
Ruang Hilbert – metode aljabar vektor dan kalkulus dari dua dimensi bidang Euclidean dan ruang tiga dimensi ke ruang dengan berhingga atau tak hingga
Ruang norma – ruang vektor di atas bilangan riil atau kompleks, di mana norma didefinisikan
Ruang vektor topologi konveks lokal – salah satu struktur dasar yang diteliti dalam analisis fungsional
Grup topologi – grup G bersama dengan topologi pada G sehingga kedua operasi biner grup dan elemen grup pemetaan fungsi ke inversnya masing-masing adalah fungsi kontinu yang berkaitan dengan topologi
Ruang vektor – struktur matematis yang dibentuk dari kumpulan elemen yang disebut vektor

Catatan

^ Properti topologi tentu saja juga mengharuskan $X$ menjadi RVT.

^ Bagian $𝕊$ menunjukkan himpunan semua string topologi di $(X, 𝜏)$ .

Kutipan

^ ^a ^b ^c Köthe 1969, hlm. 91.
^ Schaefer & Wolff 1999, hlm. 74–78.
^ ^a ^b ^c Wilansky 2013, hlm. 40-47.
^ Narici & Beckenstein 2011, hlm. 67-113.
^ ^a ^b ^c ^d ^e Adasch, Ernst & Keim 1978, hlm. 5-9.
^ Schechter 1996, hlm. 721-751.
^ Narici & Beckenstein 2011, hlm. 371-423.
^ Adasch, Ernst & Keim 1978, hlm. 10-15.
^ "A quick application of the closed graph theorem". What's new (dalam bahasa Inggris). 2016-04-22. Diakses tanggal 2020-10-07.
^ ^a ^b Narici & Beckenstein 2011, hlm. 111.

Referensi

Templat:Adasch Topological Vector Spaces
Templat:Bierstedt An Introduction to Locally Convex Inductive Limits
Templat:Bourbaki Topological Vector Spaces Part 1 Chapters 1–5
Templat:Conway A Course in Functional Analysis
Templat:Dunford Schwartz Linear Operators Part 1 General Theory
Templat:Edwards Functional Analysis Theory and Applications
Templat:Grothendieck Topological Vector Spaces
Templat:Horváth Topological Vector Spaces and Distributions Volume 1 1966
Templat:Jarchow Locally Convex Spaces
Templat:Köthe Topological Vector Spaces I
Templat:Köthe Topological Vector Spaces II
Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Topological vector spaces I. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 159. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-642-64990-5.
Lang, Serge (1972). Differential manifolds. Reading, Mass.–London–Don Mills, Ont.: Addison-Wesley Publishing Co., Inc. ISBN 0-201-04166-9.
Templat:Narici Beckenstein Topological Vector Spaces
Robertson, A.P.; Robertson, W.J. (1964). Topological vector spaces. Cambridge Tracts in Mathematics. 53. Cambridge University Press.
Templat:Robertson Topological Vector Spaces
Templat:Rudin Walter Functional Analysis
Templat:Schaefer Wolff Topological Vector Spaces
Templat:Schechter Handbook of Analysis and Its Foundations
Templat:Swartz An Introduction to Functional Analysis
Templat:Trèves François Topological vector spaces, distributions and kernels
Templat:Valdivia Topics in Locally Convex Spaces
Templat:Voigt A Course on Topological Vector Spaces
Templat:Wilansky Modern Methods in Topological Vector Spaces

Pranala luar

Media tentang Topological vector spaces di Wikimedia Commons

Templat:Analisis fungsional Templat:Ruang Vektor Topologi

[8] Properti topologi tentu saja juga mengharuskan $X$ menjadi RVT.

[9] Bagian $𝕊$ menunjukkan himpunan semua string topologi di $(X, 𝜏)$ .

[FOOTNOTEKöthe196991-1] Köthe 1969, hlm. 91.

[FOOTNOTESchaeferWolff199974–78-2] Schaefer & Wolff 1999, hlm. 74–78.

[FOOTNOTEWilansky201340-47-3] Wilansky 2013, hlm. 40-47.

[FOOTNOTENariciBeckenstein201167-113-4] Narici & Beckenstein 2011, hlm. 67-113.

[FOOTNOTEAdaschErnstKeim19785-9-5] Adasch, Ernst & Keim 1978, hlm. 5-9.

[FOOTNOTESchechter1996721-751-6] Schechter 1996, hlm. 721-751.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011371-423-7] Narici & Beckenstein 2011, hlm. 371-423.

[FOOTNOTEAdaschErnstKeim197810-15-10] Adasch, Ernst & Keim 1978, hlm. 10-15.

[11] "A quick application of the closed graph theorem". What's new (dalam bahasa Inggris). 2016-04-22. Diakses tanggal 2020-10-07.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011111-12] Narici & Beckenstein 2011, hlm. 111.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[note 1]

[proof 1]

[8]

[9]

[10]