Kernel (aljabar)

Dalam aljabar, kernel dari homomorfisme (fungsi yang mempertahankan struktur) umumnya gambar invers dari 0 (kecuali untuk grup yang operasinya dilambangkan dengan multi, dimana kernel adalah kebalikan dari gambar 1). Kasus khusus yang penting adalah kernel dari peta linear. kernel dari matriks, juga disebut ruang nol, adalah kernel dari peta linear yang ditentukan oleh matriks.

Kernel homomorfisme direduksi menjadi 0 (atau 1) jika dan hanya jika homomorfisme tersebut adalah injeksi, Artinya jika gambar invers dari setiap elemen terdiri dari satu elemen. Ini berarti bahwa kernel dapat dilihat sebagai ukuran sejauh mana homomorfisme gagal untuk diinjeksi.^[1]

Untuk beberapa jenis struktur, seperti grup abelian dan ruang vektor, kemungkinan kernel adalah substruktur dari jenis yang sama. Ini tidak selalu terjadi, dan terkadang, kemungkinan kernel telah menerima nama khusus, seperti subgrup normal untuk kelompok dan ideal dua sisi untuk cincin.

Kernel memungkinkan untuk menentukan objek hasil bagi (juga disebut aljabar hasil bagi di aljabar universal, dan kokernel di teori kategori). Untuk banyak jenis struktur aljabar, teorema fundamental homomorfisme (atau teorema isomorfisme pertama) menyatakan bahwa galeri dari homomorfisme adalah isomorfik terhadap hasil bagi oleh kernel.

Konsep kernel telah diperluas ke struktur sedemikian rupa sehingga gambar kebalikan dari satu elemen tidak cukup untuk memutuskan apakah homomorfisme adalah injeksi. Dalam kasus ini, kernel adalah hubungan kesesuaian.

Artikel ini adalah survei untuk beberapa jenis kernel penting dalam struktur aljabar.

Linear maps

Misalkan V dan W menjadi ruang vektor di atas bidang (atau lebih umum, modul di atas gelanggang dan biarkan T menjadi peta liear dari V ke W. Jika 0_W adalah vektor nol dari W , maka kernel T adalah preimage dari nol subruang {0_W}; that adalah, himpunan bagian dari V yang terdiri dari semua elemen V yang dipetakan oleh T ke elemen 0_W. Kernel biasanya dilambangkan sebagai $ker T$ , atau variasinya:

\operatorname {ker} T=\{\mathbf {v} \in V:T(\mathbf {v} )=\mathbf {0} _{W}\}{\text{.}}

Karena peta linier mempertahankan vektor nol, vektor nol 0_V dari V harus menjadi milik kernel. Transformasi T bersifat injeksi jika dan hanya jika kernelnya direduksi menjadi subruang nol.

Kernel ker T selalu merupakan subruang linier dari V . Jadi, masuk akal untuk membicarakan tentang ruang hasil bagi V/(ker T). Teorema isomorfisme pertama untuk ruang vektor menyatakan bahwa ruang hasil bagi ini adalah isomorfis alami ke citra dari T (yang merupakan subruang dari W ). Akibatnya, dimensi dari V sama dengan dimensi kernel ditambah dimensi bayangan.

Jika V dan W adalah dimensi-hingga dan basis telah dipilih, maka T dapat dijelaskan oleh matriks M, dan kernel dapat dihitung dengan menyelesaikan sistem persamaan linear homogen Mv = 0. Dalam hal ini, kernel T dapat diidentifikasi ke kernel matriks M , juga disebut "spasi nol" dari M . Dimensi ruang kosong, disebut nulitas M , diberikan oleh jumlah kolom M dikurangi rank dari M , sebagai konsekuensi dari teori peringkat-nullity.

Memecahkan persamaan diferensial homogen sering kali sama dengan menghitung kernel operator diferensial tertentu. Misalnya, untuk mencari semua dua kali - fungsi terdiferensiasi s f dari garis nyata ke dirinya sendiri sehingga

xf''(x)+3f'(x)=f(x),

biarkan V menjadi ruang dari semua fungsi yang dapat dibedakan dua kali, biarkan W menjadi ruang dari semua fungsi, dan tentukan operator linier T dari V menjadi W oleh

(Tf)(x)=xf''(x)+3f'(x)-f(x)

untuk f di V dan x sembarang bilangan real. Maka semua solusi persamaan diferensial ada di ker T .

Seseorang dapat mendefinisikan kernel untuk homomorfisme antara modul melalui gelanggang dengan cara yang analog. Ini termasuk kernel untuk homomorfisme antara grup abelian sebagai kasus khusus. Contoh ini menangkap esensi kernel secara umum kategori abelian; lihat Kernel (teori kategori).

Aljabar dengan struktur nonaljabar

Kadang-kadang aljabar dilengkapi dengan struktur nonaljabar di samping operasi aljabar mereka. Misalnya, seseorang dapat mempertimbangkan grup topologi atau ruang vektor topologis, dengan dilengkapi dengan topologi. Dalam hal ini, kita mengharapkan homomorfisme f untuk mempertahankan struktur tambahan ini; dalam contoh topologi, kita ingin f menjadi peta kontinu. Prosesnya mungkin mengalami hambatan dengan aljabar hasil bagi, yang mungkin tidak berperilaku baik. Dalam contoh topologi, kita dapat menghindari masalah dengan mensyaratkan bahwa struktur aljabar topologi menjadi Hausdorff (seperti yang biasanya dilakukan); maka kernel (bagaimanapun itu dibangun) akan menjadi set tertutup dan ruang hasil bagi akan berfungsi dengan baik (dan juga Hausdorff).

Kernel dalam teori kategori

Pengertian kernel dalam teori kategori adalah generalisasi dari kernel abelian aljabar; lihat Kernel (teori kategori). Generalisasi kategorikal dari kernel sebagai hubungan kesesuaian adalah pasangan kernel . (Ada juga pengertian kernel perbedaan, atau biner equalizer.)

Lihat pula

Catatan

^ See Dummit & Foote 2004 and Lang 2002.

Referensi

Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (edisi ke-3rd). Wiley. ISBN 0-471-43334-9.

Lang, Serge (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 0-387-95385-X.

[1] See Dummit & Foote 2004 and Lang 2002.

[1]