Ruang Banach

Dalam matematika, lebih khusus lagi dalam analisis fungsional, Ruang Banach adalah ruang vektor bernorma lengkap. Jadi, ruang Banach adalah ruang vektor dengan metrik yang memungkinkan penghitungan panjang vektor dan jarak antara vektor dan lengkap dalam arti bahwa barisan Cauchy vektor selalu konvergen ke limit yang didefinisikan dengan baik yang ada di dalam ruang.

Spasi Banach dinamai menurut ahli matematika Polandia Stefan Banach, yang memperkenalkan konsep ini dan mempelajarinya secara sistematis pada 1920–1922 bersama dengan Hans Hahn dan Eduard Helly.^[1] Maurice René Fréchet adalah orang pertama yang menggunakan istilah "ruang Banach" dan Banach pada gilirannya kemudian menciptakan istilah "Ruang Fréchet."^[2] Ruang Banach awalnya tumbuh dari studi ruang fungsi oleh Hilbert, Fréchet, and Riesz di awal abad ini. Ruang Banach memainkan peran sentral dalam analisis fungsional. Di bidang lain analisis, ruang yang diteliti sering kali merupakan ruang Banach.

Basis Schauder

Basis Schauder dalam ruang Banach $X$ adalah urutan ${e n} n \geq 0$ vektor di X dengan properti untuk setiap vektor $x$ di $X$ , ada skalar yang didefinisikan secara unik ${x n} n \geq 0$ tergantung pada $x$ , seperti itu

x=\sum _{n=0}^{\infty }x_{n}e_{n},\quad {\textit {yaitu}}\quad x=\lim _{n}P_{n}(x),\ P_{n}(x):=\sum _{k=0}^{n}x_{k}e_{k}.

Ruang banach dengan basis Schauder harus dapat dipisahkan, karena himpunan kombinasi linier hingga yang dapat dihitung dengan koefisien rasional (katakanlah) padat.

Ini mengikuti dari Teorema Banach–Steinhaus bahwa pemetaan linier ${P n}$ secara seragam dibatasi oleh beberapa konstanta $C$ . Maka ${e * n}$ menunjukkan fungsi koordinat yang menetapkan ke setiap $x$ di $X$ koordinat $x n$ dari $x$ dalam ekspansi di atas. Mereka disebut fungsi biorthogonal. Ketika vektor basis memiliki norma $1$ , koordinat berfungsi ${e * n}$ bersila $\leq 2 C$ di rangkap dua dari $X$ .

Sebagian besar ruang terpisah klasik memiliki basis eksplisit. Sistem Haar ${h n}$ adalah dasar untuk $L p ([0, 1]), 1 \leq p < \infty$ . sistem trigonometri adalah basis dalam $L p (T)$ adalah $1 < p < \infty$ . Sistem Schauder adalah dasar di ruang $C ([0, 1])$ .^[3] Pertanyaan apakah aljabar disk $A (D)$ berdasar^[4] tetap terbuka selama lebih dari empat puluh tahun, sampai Bočkarev menunjukkan pada tahun 1974 bahwa $A (D)$ mengakui dasar yang dibangun dari Sistem Franklin.^[5]

Karena setiap vektor $x$ dalam ruang Banach $X$ dengan basis adalah batas dari $P n (x)$ , dengan $P n$ dari pangkat hingga dan berbatas seragam, spasi $X$ memenuhi properti aproksimasi terbatas. Contoh pertama oleh Enflo dari spasi yang gagal properti aproksimasi adalah pada saat yang sama contoh pertama dari spasi Banach yang dapat dipisahkan tanpa basis Schauder.^[6]

Robert C. James mencirikan refleksivitas di ruang Banach dengan dasar: ruang $X$ dengan basis Schauder bersifat refleksif jika dan hanya jika basisnya adalah menyusut dan lengkap terbatas.^[7] Dalam hal ini, fungsi biorthogonal membentuk dasar dari rangkap $X$ .

Produk Tensor

Misalkan $X$ dan $Y$ menjadi dua ruang vektor- $K$ . Produk tensor $X \otimes Y$ dari $X$ dan $Y$ adalah ruang vektor- $K$ dengan $Z$ dengan pemetaan bilinear $T : X \times Y \to Z$ yang memiliki sifat universal berikut:

Jika

T 1 : X \times Y \to Z 1

adalah setiap pemetaan bilinear menjadi a ruang vektor-

K

pada

Z 1

, lalu ada pemetaan linear yang unik

f : Z \to Z 1

dirumu

T 1 = f \circ T

.

Gambar di bawah $T$ pasangan $(x, y)$ pada $X \times Y$ dilambangkan dengan $x \otimes y$ , dan disebut tensor sederhana. Setiap elemen $z$ dengan $X \otimes Y$ adalah jumlah terbatas tensor sederhana tersebut.

Ada berbagai norma yang dapat ditempatkan pada hasil kali tensor ruang vektor yang mendasarinya, antara lain norma silang proyektif dan norma silang injeksi yang diperkenalkan oleh A. Grothendieck pada tahun 1955.^[8]

Secara umum, hasil kali tensor ruang komplek tidak kompleks lagi. Saat bekerja dengan ruang Banach, biasanya dikatakan bahwa produk tensor proyektif^[9] dari dua ruang Banach $X$ dan $Y$ adalah penyelesaian $X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y$ dari hasil kali tensor aljabar $X \otimes Y$ dilengkapi dengan norma tensor proyektif, dan juga untuk produk tensor injektor ^[10] $X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y$ . Grothendieck secara khusus membuktikan bahwa^[11]

{\begin{aligned}C(K){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y&\simeq C(K,Y),\\L^{1}([0,1]){\widehat {\otimes }}_{\pi }Y&\simeq L^{1}([0,1],Y),\end{aligned}}

di mana $K$ adalah ruang Hausdorff yang padat, $C (K, Y)$ ruang Banach fungsi kontinu dari $K$ ke $Y$ dan $L 1 ([0, 1], Y)$ ruang fungsi yang dapat diukur dan diintegrasikan Bochner dari $[0, 1]$ hingga $Y$ , dan di mana isomorfisme adalah isometrik. Dua isomorfisme di atas adalah ekstensi masing-masing dari peta yang mengirimkan tensor $f \otimes y$ to the vector-valued function $s \in K \to f (s) y \in Y$ .

Produk Tensor dan properti aproksimasi

Misalkan $X$ menjadi spasi Banach. Produk tensor $X'{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X$ diidentifikasi secara isometrik dengan penutupan di $B (X)$ dari himpunan operator peringkat terbatas. Jika $X$ memiliki properti aproksimasi, penutupan ini bertepatan dengan spasi operator kompak pada $X$ .

Untuk setiap ruang Banach $Y$ , ada norma alami $1$ peta linear

Y{\widehat {\otimes }}_{\pi }X\to Y{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X

diperoleh dengan memperluas peta identitas produk tensor aljabar. Grothendieck menghubungkan masalah perkiraan dengan pertanyaan apakah peta ini satu-ke-satu jika $Y$ adalah rangkap dari $X$ . Tepatnya, untuk setiap ruang Banach $X$ , peta

X'{\widehat {\otimes }}_{\pi }X\ \longrightarrow X'{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X

bersifat satu-ke-satu jika dan hanya jika $X$ memiliki properti aproksimasi.^[12]

Grothendieck menduga bahwa $X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y$ dan $X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y$ harus berbeda $X$ dan $Y$ adalah ruang Banach berdimensi tak hingga. Hal ini dibantah oleh Gilles Pisier pada tahun 1983.^[13] Pisier membangun ruang Banach berdimensi tak hingga $X$ maka $X{\widehat {\otimes }}_{\pi }X$ and $X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X$ adalah sama. Lebih lanjut, seperti contoh Enflo's, spasi ini $X$ adalah ruang "buatan tangan" yang gagal memiliki properti aproksimasi. Di sisi lain, Szankowski membuktikan bahwa ruang klasik $B (ℓ 2)$ tidak memiliki properti aproksimasi.^[14]

Beberapa hasil klasifikasi

Penokohan ruang Hilbert di antara ruang Banach

Kondisi yang diperlukan dan cukup agar norma spasi Banach $X$ dikaitkan dengan hasil kali dalam adalah identitas jajaran genjang:

\forall x,y\in X:\qquad \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\left(\|x\|^{2}+\|y\|^{2}\right).

Ini mengikuti, misalnya, bahwa ruang Lebesgue $L p ([0, 1])$ adalah ruang Hilbert hanya jika $p = 2$ . Jika identitas ini terpenuhi, produk dalam terkait diberikan oleh identitas polarisasi. Dalam kasus skalar nyata, ini memberikan:

\langle x,y\rangle ={\tfrac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right).

Untuk skalar kompleks, tentukan produk dalam $C$ -linear di $x$ , antilinear di $y$ , identitas polarisasi dirumuskan:

\langle x,y\rangle ={\tfrac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+i\left(\|x+iy\|^{2}-\|x-iy\|^{2}\right)\right).

Untuk melihat bahwa hukum jajaran genjang cukup, kita mengamati dalam kasus nyata bahwa $< x, y >$ adalah simetris, dan dalam kasus yang kompleks, ia memenuhi properti Simetri Hermitian dan $< ix, y > = i < x, y >$ . Hukum jajaran genjang menyiratkan bahwa $< x, y >$ adalah aditif di $x$ . Oleh karena itu, ia linier di atas rasio, sehingga linier oleh kontinuitas.

Beberapa karakterisasi ruang isomorfik (bukan isometrik) ke ruang Hilbert tersedia. Hukum jajaran genjang dapat diperpanjang hingga lebih dari dua vektor, dan diperlemah dengan diperkenalkannya pertidaksamaan dua sisi dengan konstanta $c \geq 1$ : Kwapień membuktikan bahwa jika

c^{-2}\sum _{k=1}^{n}\left\|x_{k}\right\|^{2}\leq \operatorname {Ave} _{\pm }\left\|\sum _{k=1}^{n}\pm x_{k}\right\|^{2}\leq c^{2}\sum _{k=1}^{n}\left\|x_{k}\right\|^{2}

untuk bilangan bulat $n$ dan semua famili vektor ${x 1, ..., x n} \subset X$ , maka ruang Banach $X$ isomorfik ke ruang Hilbert.^[15] Maka, $Ave \pm$ menunjukkan rata-rata selama $2 n$ kemungkinan pilihan tanda $\pm1$ . Dalam artikel yang sama, Kwapień membuktikan bahwa validitas Teorema Parseval yang bernilai Banach untuk transformasi Fourier mencirikan ruang Banach isomorfik ke ruang Hilbert.

Lindenstrauss dan Tzafriri membuktikan bahwa ruang Banach di mana setiap subruang linier tertutup saling melengkapi (yaitu, kisaran proyeksi linier yang dibatasi) isomorfik ke ruang Hilbert.^[16] Buktinya bersandar pada Teorema Dvoretzky tentang penampang Euklides benda cembung simetris terpusat berdimensi tinggi. Dengan kata lain, teorema Dvoretzky menyatakan bahwa untuk setiap bilangan bulat $n$ , setiap ruang bernorma berdimensi-hingga, dengan dimensi yang cukup besar dibandingkan dengan $n$ , berisi subruang yang hampir isometrik dengan ruang Euklides berdimensi $n$ .

Klasifikasi metrik

Jika $T:X\to Y$ adalah isometri dari ruang Banach $X$ ke ruang Banach $Y$ (dengan $X$ dan $Y$ adalah ruang vektor berakhir $\mathbf {R}$ ), lalu Teorema Mazur-Ulam menyatakan bahwa $T$ harus berupa transformasi affine. Secara khusus, jika $T(0_{X})=0_{Y}$ , ini $T$ memetakan nol dari $X$ ke nol dari $Y$ , kemudian $T$ harus linear. Hasil ini menyiratkan bahwa metrik dalam ruang Banach, dan lebih umum lagi dalam ruang bernorma, sepenuhnya menangkap struktur liniernya.

Klasifikasi topologi

Ruang Banach berdimensi hingga bersifat homeomorfik sebagai ruang topologi, jika dan hanya jika memiliki dimensi yang sama dengan ruang vektor nyata.

Teorema Anderson–Kadec (1965–66) proves^[17] that any two infinite-dimensional separable Banach spaces are homeomorphic as topological spaces. Kadec's theorem was extended by Torunczyk, who proved^[18] bahwa dua ruang Banach bersifat homeomorfik jika dan hanya jika keduanya memiliki karakter kerapatan yang sama, kardinalitas minimum dari himpunan bagian padat.

Contoh

Glosarium simbol:

$K = R, C$ ;
$X$ adalah ruang Hausdorff komplek;
$I$ adalah interval tertutup dan berbatas $[a, b]$ ;
$p, q$ adalah bilangan riil dengan $1 < p, q < \infty$ maka $1 p + 1 q = 1.$
$Σ$ adalah aljabar sigma dari himpunan;
$Ξ$ adalah aljabar himpunan (untuk spasi yang hanya memerlukan aditif hingga, seperti ruang ba);
$μ$ adalah ukuran dengan variasi $| μ |$ .

	Ruang ganda	Refleksif	selesai secara berurutan lemah	Norma	Catatan
Classical Banach spaces
$K n$	$K n$	Ya	Ya	$\\|x\\|_{2}=\left(\sum _{i=1}^{n}\|x_{i}\|^{2}\right)^{1/2}$	Ruang Euklides
$ℓ n p$	$ℓ n q$	Ya	Ya	$\\|x\\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{n}\|x_{i}\|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}$
$ℓ n \infty$	$ℓ n 1$	Ya	Ya	$\\|x\\|_{\infty }=\max \nolimits _{1\leq i\leq n}\|x_{i}\|$
$ℓ p$	$ℓ q$	Ya	Ya	$\\|x\\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{\infty }\|x_{i}\|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}$
$ℓ 1$	$ℓ \infty$	Tidak	Ya	$\\|x\\|_{1}=\sum _{i=1}^{\infty }\|x_{i}\|$
$ℓ \infty$	$ba$	Tidak	Tidak	$\\|x\\|_{\infty }=\sup \nolimits _{i}\|x_{i}\|$
$c$	$ℓ 1$	Tidak	Tidak	$\\|x\\|_{\infty }=\sup \nolimits _{i}\|x_{i}\|$
$c 0$	$ℓ 1$	Tidak	Tidak	$\\|x\\|_{\infty }=\sup \nolimits _{i}\|x_{i}\|$	Isomorfik tetapi bukan isometrik ke $c$ .
$bv$	$ℓ \infty$	Tidak	Ya	$\\|x\\|_{bv}=\|x_{1}\|+\sum _{i=1}^{\infty }\|x_{i+1}-x_{i}\|$	Isometrik isomorfik ke $ℓ 1$ .
$bv 0$	$ℓ \infty$	Tidak	Ya	$\\|x\\|_{bv_{0}}=\sum _{i=1}^{\infty }\|x_{i+1}-x_{i}\|$	$ℓ 1$ .
$bs$	$ba$	Tidak	Tidak	$\\|x\\|_{bs}=\sup \nolimits _{n}\left\|\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right\|$	Isometrically isomorphic to $ℓ \infty$ .
$cs$	$ℓ 1$	Tidak	Tidak	$\\|x\\|_{bs}=\sup \nolimits _{n}\left\|\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right\|$	Isometrically isomorphic to $c$ .
$B (X, Ξ)$	$ba(Ξ)$	Tidak	Tidak	$\\|f\\|_{B}=\sup \nolimits _{x\in X}\|f(x)\|$
$C (X)$	$rca(X)$	Tidak	Tidak	$\\|x\\|_{C(X)}=\max \nolimits _{x\in X}\|f(x)\|$
$ba(Ξ)$	?	Tidak	Ya	$\\|\mu \\|_{ba}=\sup \nolimits _{A\in \Sigma }\|\mu \|(A)$
$ca(Σ)$	?	Tidak	Ya	$\\|\mu \\|_{ba}=\sup \nolimits _{A\in \Sigma }\|\mu \|(A)$	A closed subspace of $ba(Σ)$ .
$rca(Σ)$	?	Tidak	Ya	$\\|\mu \\|_{ba}=\sup \nolimits _{A\in \Sigma }\|\mu \|(A)$	A closed subspace of $ca(Σ)$ .
$L p (μ)$	$L q (μ)$	Ya	Ya	$\\|f\\|_{p}=\left(\int \|f\|^{p}\,d\mu \right)^{\frac {1}{p}}$
$L 1 (μ)$	$L \infty (μ)$	Tidak	Ya	$\\|f\\|_{1}=\int \|f\|\,d\mu$	The dual is $L \infty (μ)$ if $μ$ is $σ$ -finite.
$BV(I)$	?	Tidak	Ya	$\\|f\\|_{BV}=V_{f}(I)+\lim \nolimits _{x\to a^{+}}f(x)$	$V f (I)$ is the total variation of $f$
$NBV(I)$	?	Tidak	Ya	$\\|f\\|_{BV}=V_{f}(I)$	$NBV(I)$ consists of $BV(I)$ functions such that $\lim \nolimits _{x\to a^{+}}f(x)=0$
$AC(I)$	$K + L \infty (I)$	Tidak	Ya	$\\|f\\|_{BV}=V_{f}(I)+\lim \nolimits _{x\to a^{+}}f(x)$	Isomorphic to the Sobolev space $W 1,1 (I)$ .
$C n ([a, b])$	$rca([a, b])$	Tidak	Tidak	$\\|f\\|=\sum _{i=0}^{n}\sup \nolimits _{x\in [a,b]}\left\|f^{(i)}(x)\right\|$	Isomorphic to $R n \oplus C ([a, b])$ , essentially by Taylor's theorem.

Turunan

Beberapa konsep turunan dapat didefinisikan di ruang Banach. Lihat artikel di Turunan Fréchet dan Turunan Gateaux untuk detailnya. Derivatif Fréchet memungkinkan perluasan konsep dari turunan total ke ruang Banach. Turunan Gateaux memungkinkan perpanjangan turunan arah ke konveks lokal ruang vektor topologis. Diferensiasi Fréchet adalah kondisi yang lebih kuat daripada daya diferensiasi Gateaux. Kuasi-turunan adalah generalisasi turunan terarah lain yang menyiratkan kondisi yang lebih kuat, tetapi kondisi yang lebih lemah dari diferensiasi Fréchet.

Generalisasi

Beberapa ruang penting dalam analisis fungsional, misalnya ruang dari semua fungsi yang sering kali terdiferensiasi tanpa batas R → R, atau ruang dari semua distribusi pada R, lengkap tetapi bukan ruang vektor bernorma dan karenanya bukan ruang Banach. Dalam ruang Fréchet yang satu masih memiliki metrik lengkap, sementara ruang-LF adalah ruang vektor seragam lengkap yang muncul sebagai batas ruang Fréchet.

Lihat pula

Ruang (matematika) – nosi matematika; himpunan dengan struktur tambahan
- Ruang Fréchet – ruang vektor dengan metrik yang memungkinkan penghitungan panjang vektor dan jarak antara vektor dan lengkap dalam arti bahwa urutan Cauchy vektor selalu konvergen ke batas yang didefinisikan dengan baik yang ada di dalam ruang
- Ruang Hardy – ruang vektor dengan metrik yang memungkinkan penghitungan panjang vektor dan jarak antara vektor dan lengkap dalam arti bahwa urutan Cauchy vektor selalu konvergen ke batas yang didefinisikan dengan baik yang ada di dalam ruang
- Ruang Hilbert – metode aljabar vektor dan kalkulus dari dua dimensi bidang Euclidean dan ruang tiga dimensi ke ruang dengan berhingga atau tak hingga
- Hasil kali L-semi-inner – ruang vektor dengan metrik yang memungkinkan penghitungan panjang vektor dan jarak antara vektor dan lengkap dalam arti bahwa urutan Cauchy vektor selalu konvergen ke batas yang didefinisikan dengan baik yang ada di dalam ruang
- Ruang L^p – ruang vektor dengan metrik yang memungkinkan penghitungan panjang vektor dan jarak antara vektor dan lengkap dalam arti bahwa urutan Cauchy vektor selalu konvergen ke batas yang didefinisikan dengan baik yang ada di dalam ruang

Referensi

^ Bourbaki 1987, V.86
^ Narici & Beckenstein 2011, hlm. 93.
^ Lihat (Lindenstrauss & Tzafriri 1977) p. 3.
^ pertanyaan muncul p. 238, §3 dalam buku Banach, (Banach 1932).
^ lihat S. V. Bočkarev, "Keberadaan basis dalam ruang fungsi analitik dalam disk, dan beberapa properti sistem Franklin". (Rusia) Mat. Sb. (N.S.) 95 (137) (1974), 3–18, 159.
^ see Enflo, P. (1973). "A counterexample to the approximation property in Banach spaces" (PDF). Acta Math. 130: 309–317. doi:10.1007/bf02392270. Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2016-03-03. Diakses tanggal 2016-06-02.
^ lihat R.C. James, "Basis dan refleksivitas ruang Banach". Ann. Matematika. (2) 52, (1950). 518–527. Lihat pula (Lindenstrauss & Tzafriri 1977) p. 9.
^ lihat A. Grothendieck, "Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires". Mem. Amer. Math. Soc. 1955 (1955), no. 16, 140 pp., dan A. Grothendieck, "Résumé de la théorie métrique des produits tensoriels topologiques". Bol. Soc. Mat. São Paulo 8 1953 1–79.
^ lihat bab. 2, hal. 15 in (Ryan 2002).
^ lihat bab. 3, hal. 45 inci (Ryan 2002).
^ lihat Contoh. 2.19, hal. 29, dan hlm. 49–50 dalam (Ryan 2002).
^ see Proposition 4.6, p. 74 in (Ryan 2002).
^ lihat Pisier, Gilles (1983), "Counterexamples to a conjecture of Grothendieck", Acta Math. 151:181–208.
^ Lihat Szankowski, Andrzej (1981), " $B (H)$ tidak memiliki properti aproksimasi ", Acta Math. 147: 89–108. Ryan mengklaim bahwa hasil ini karena Per Enflo, hal. 74 inci (Ryan 2002).
^ lihat Kwapień, S. (1970), "A linear topological characterization of inner-product spaces", Studia Math. 38:277–278.
^ lihat Lindenstrauss, J. and Tzafriri, L. (1971), "On the complemented subspaces problem", Israel J. Math. 9:263–269.
^ C. Bessaga, A. Pełczyński (1975). Selected Topics in Infinite-Dimensional Topology. Panstwowe wyd. naukowe. hlm. 177–230.
^ H. Torunczyk (1981). Characterizing Hilbert Space Topology. Fundamenta MAthematicae. hlm. 247–262.

Bibliografi

Templat:Banach Théorie des Opérations Linéaires
Beauzamy, Bernard (1985) [1982], Introduction to Banach Spaces and their Geometry (edisi ke-Second revised), North-Holland .
Templat:Bourbaki Topological Vector Spaces
Carothers, Neal L. (2005), A short course on Banach space theory, London Mathematical Society Student Texts, 64, Cambridge: Cambridge University Press, hlm. xii+184, ISBN 0-521-84283-2 .
Templat:Conway A Course in Functional Analysis
Diestel, Joseph (1984), Sequences and series in Banach spaces, Graduate Texts in Mathematics, 92, New York: Springer-Verlag, hlm. xii+261, ISBN 0-387-90859-5 .
Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T. with the assistance of W. G. Bade and R. G. Bartle (1958), Linear Operators. I. General Theory, Pure and Applied Mathematics, 7, New York: Interscience Publishers, Inc., MR 0117523
Templat:Edwards Functional Analysis Theory and Applications
Templat:Grothendieck Topological Vector Spaces
Templat:Jarchow Locally Convex Spaces
Templat:Khaleelulla Counterexamples in Topological Vector Spaces
Templat:Köthe Topological Vector Spaces I
Lindenstrauss, Joram; Tzafriri, Lior (1977), Classical Banach Spaces I, Sequence Spaces, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 92, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-08072-4 .
Megginson, Robert E. (1998), An introduction to Banach space theory, Graduate Texts in Mathematics, 183, New York: Springer-Verlag, hlm. xx+596, ISBN 0-387-98431-3 .
Templat:Narici Beckenstein Topological Vector Spaces
Templat:Robertson Topological Vector Spaces
Templat:Rudin Walter Functional Analysis
Ryan, Raymond A. (2002), Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer Monographs in Mathematics, London: Springer-Verlag, hlm. xiv+225, ISBN 1-85233-437-1 .
Templat:Schaefer Wolff Topological Vector Spaces
Templat:Swartz An Introduction to Functional Analysis
Templat:Trèves François Topological vector spaces, distributions and kernels
Templat:Wilansky Modern Methods in Topological Vector Spaces
Wojtaszczyk, Przemysław (1991), Banach spaces for analysts, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 25, Cambridge: Cambridge University Press, hlm. xiv+382, ISBN 0-521-35618-0 .

Pranala luar

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Banach space", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
(Inggris) Weisstein, Eric W. "Banach Space". MathWorld.

Templat:Ruang Banach Templat:Analisis Fungsional

[1] Bourbaki 1987, V.86

[FOOTNOTENariciBeckenstein201193-2] Narici & Beckenstein 2011, hlm. 93.

[3] Lihat (Lindenstrauss & Tzafriri 1977) p. 3.

[4] rtanyaan muncul p. 238, §3 dalam buku Banach, (Banach 1932).

[5] t S. V. Bočkarev, "Keberadaan basis dalam ruang fungsi analitik dalam disk, dan beberapa properti sistem Franklin". (Rusia) Mat. Sb. (N.S.) 95 (137) (1974), 3–18, 159.

[6] see Enflo, P. (1973). "A counterexample to the approximation property in Banach spaces" (PDF). Acta Math. 130: 309–317. doi:10.1007/bf02392270. Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2016-03-03. Diakses tanggal 2016-06-02.

[7] t R.C. James, "Basis dan refleksivitas ruang Banach". Ann. Matematika. (2) 52, (1950). 518–527. Lihat pula (Lindenstrauss & Tzafriri 1977) p. 9.

[8] t A. Grothendieck, "Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires". Mem. Amer. Math. Soc. 1955 (1955), no. 16, 140 pp., dan A. Grothendieck, "Résumé de la théorie métrique des produits tensoriels topologiques". Bol. Soc. Mat. São Paulo 8 1953 1–79.

[9] t bab. 2, hal. 15 in (Ryan 2002).

[10] t bab. 3, hal. 45 inci (Ryan 2002).

[11] t Contoh. 2.19, hal. 29, dan hlm. 49–50 dalam (Ryan 2002).

[12] see Proposition 4.6, p. 74 in (Ryan 2002).

[13] t Pisier, Gilles (1983), "Counterexamples to a conjecture of Grothendieck", Acta Math. 151:181–208.

[14] Lihat Szankowski, Andrzej (1981), " $B (H)$ tidak memiliki properti aproksimasi ", Acta Math. 147: 89–108. Ryan mengklaim bahwa hasil ini karena Per Enflo, hal. 74 inci (Ryan 2002).

[15] t Kwapień, S. (1970), "A linear topological characterization of inner-product spaces", Studia Math. 38:277–278.

[16] t Lindenstrauss, J. and Tzafriri, L. (1971), "On the complemented subspaces problem", Israel J. Math. 9:263–269.

[17] C. Bessaga, A. Pełczyński (1975). Selected Topics in Infinite-Dimensional Topology. Panstwowe wyd. naukowe. hlm. 177–230.

[18] H. Torunczyk (1981). Characterizing Hilbert Space Topology. Fundamenta MAthematicae. hlm. 247–262.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]