Jumlah langsung

Dalam aljabar abstrak, jumlah langsung adalah salah satu operasi pada himpunan. Sebagai contoh, jumlah langsung $\mathbf {R} \oplus \mathbf {R}$ , dimana $\mathbf {R}$ adalah ruang koordinat nyata, adalah bidang Kartesius, $\mathbf {R} ^{2}$ . Untuk melihat bagaimana penjumlahan langsung digunakan dalam aljabar abstrak, pertimbangkan struktur yang lebih mendasar dalam aljabar abstrak, grup abelian. Jumlah langsung dari dua grup abelian $A$ and $B$ adalah grup abelian lainnya $A\oplus B$ terdiri dari urutan pasangan $(a,b)$ , dimana $a\in A$ dan $b\in B$ . (Secara membingungkan, pasangan terurut ini juga disebut hasilkali kartesian dari dua grup.) Untuk menambahkan pasangan terurut, kita definisikan penjumlahan $(a,b)+(c,d)$ sebagai $(a+c,b+d)$ ; dengan kata lain, penjumlahan didefinisikan secara koordinat. Proses serupa dapat digunakan untuk membentuk jumlah langsung dari dua struktur aljabar, seperti gelanggang, modul, dan ruang vektor.

Kita juga dapat membentuk penjumlahan langsung dengan jumlah penjumlahan yang terbatas, misalnya $A\oplus B\oplus C$ , diberikan $A,B,$ dan $C$ adalah jenis struktur aljabar yang sama (yaitu, semua grup, gelanggang, ruang vektor, dll.). Ini bergantung pada fakta bahwa penjumlahan langsungnya adalah asosiatif hingga isomorfisme, $(A\oplus B)\oplus C\cong A\oplus (B\oplus C)$ untuk struktur aljabar $A$ , $B$ , dan $C$ dari jenis yang sama. Jumlah langsung juga komutatif hingga isomorfisme, yaitu $A\oplus B\cong B\oplus A$ . untuk struktur aljabar apa pun $A$ dan $B$ dari jenis yang sama.

Dalam kasus dua penjumlahan, atau suatu jumlah terhingga, jumlah langsungnya sama dengan hasilkali langsung. Jika operasi aritmetika ditulis sebagai $+$ , seperti biasanya di grup abelian, lalu kita pakai penjumlahan langsung. Jika operasi aritmetika ditulis sebagai × atau ⋅ atau menggunakan penjajaran (seperti dalam ekspresi $xy$ ) kita menggunakan hasilkali langsung.

Dalam kasus di mana banyak objek digabungkan, kebanyakan penulis membuat perbedaan antara jumlah langsung dan hasilkali langsung. Sebagai contoh, perhatikan jumlah langsung dan hasilkali langsung dari tak hingga. Unsur dalam hasilkali langsung adalah urutan tak hingga, seperti $(1,2,3,\dots )$ tetapi dalam jumlah langsung, akan ada persyaratan bahwa semua kecuali banyak koordinat menjadi nol, sehingga urutan $(1,2,3,\dots )$ akan menjadi elemen hasilkali langsung tetapi bukan dari jumlah langsung, sementara $(1,2,0,0,0,\dots )$ akan menjadi elemen keduanya. Secara lebih umum, jika tanda + digunakan, semua kecuali banyak koordinat pasti harus nol, sedangkan jika beberapa bentuk perkalian digunakan, semua kecuali banyak koordinat pasti harus 1. Dalam bahasa yang lebih teknis, jika ringkasannya adalah $(A_{i})_{i\in I}$ , jumlah langsung $\bigoplus _{i\in I}A_{i}$ didefinisikan sebagai himpunan tupel $(a_{i})_{i\in I}$ dengan $a_{i}\in A_{i}$ seperti yang $a_{i}=0$ untuk semua kecuali i . Jumlah langsung $\bigoplus _{i\in I}A_{i}$ terkandung dalam hasilkali langsung $\prod _{i\in I}A_{i}$ , tetapi biasanya sangat lebih kecil jika kumpulan indeks $I$ tidak terbatas, karena hasilkali langsung tidak memiliki batasan bahwa semua kecuali banyak koordinat harus nol.^[1]

Contoh

Bidang $xy$ , sebuah ruang vektor dua dimensi, dapat dianggap sebagai penjumlahan langsung dari dua ruang vektor satu dimensi, yaitu sumbu x dan y . Dalam penjumlahan langsung ini, sumbu $x$ dan $y$ hanya berpotongan di titik asal (vektor nol). Penambahan didefinisikan secara koordinat, yaitu $(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})$ , yang sama dengan penjumlahan vektor.

Diberikan dua struktur $A$ dan $B$ , jumlah langsungnya ditulis sebagai $A\oplus B$ . Diberikan keluarga terindeks struktur $A_{i}$ , diindeks dengan $i\in I$ , jumlah langsung dapat ditulis $A=\bigoplus _{i\in I}A_{i}$ . Pada A_i disebut penjumlahan langsung dari $A$ . Jika kumpulan indeks terhingga, jumlah langsungnya sama dengan hasilkali langsung. Dalam kasus grup, jika operasi grup ditulis sebagai $+$ frasa "jumlah langsung" digunakan, sedangkan jika operasi grup ditulis $*$ frasa "hasilkali langsung" digunakan. Ketika himpunan indeks takhingga, jumlah langsung tidak sama dengan hasilkali langsung karena jumlah langsung memiliki persyaratan tambahan bahwa semuanya.

Jumlah langsung internal dan eksternal

Perbedaan dibuat antara jumlah langsung internal dan eksternal, meskipun keduanya isomorfik. Jika faktor ditentukan terlebih dahulu, dan kemudian jumlah langsungnya ditentukan dalam faktor, kita memiliki jumlah. Misalnya, jika kita mendefinisikan bilangan real $\mathbf {R}$ dan kemudian tentukan $\mathbf {R} \oplus \mathbf {R}$ jumlah langsung dikatakan eksternal.

Sebaliknya, jika kita mendefinisikan beberapa struktur aljabar terlebih dahulu $S$ dan kemudian tulis $S$ sebagai penjumlahan langsung dari dua substruktur $V$ dan $W$ , maka jumlah langsungnya dikatakan internal. Dalam kasus ini, setiap elemen $S$ diekspresikan secara unik sebagai kombinasi aljabar dari elemen $V$ dan elemen dari $W$ . Untuk contoh jumlah langsung internal, pertimbangkan $\mathbb {Z} _{6}$ (bilangan bulat modulo enam), yang elemennya $\{0,1,2,3,4,5\}$ . Ini diekspresikan sebagai jumlah langsung internal $\mathbb {Z} _{6}=\{0,2,4\}\oplus \{0,3\}$ .

Homomorfisme

^{[butuh klarifikasi]}

Jumlah langsung $\bigoplus _{i\in I}A_{i}$ dilengkapi dengan proyeksi homomorfisme $\pi _{j}\colon \,\bigoplus _{i\in I}A_{i}\to A_{j}$ untuk setiap j dalam I dan coprojection $\alpha _{j}\colon \,A_{j}\to \bigoplus _{i\in I}A_{i}$ untuk setiap j pada I.^[2] Diberikan struktur aljabar lain $B$ (dengan struktur tambahan yang sama) dan homomorfisme $g_{j}\colon A_{j}\to B$ untuk setiap j di I , ada homomorfisme yang untuk $g\colon \,\bigoplus _{i\in I}A_{i}\to B$ , disebut jumlah dari g_j, seperti $g\alpha _{j}=g_{j}$ for semua j . Jadi jumlah langsungnya adalah hasilkali bersama dalam kategori yang sesuai.