Ukuran (matematika)

Dalam matematika, ukuran adalah pemetaan yang menghubungkan himpunan bagian tertentu dengan suatu nilai, yang dianggap sebagai ukuran dari himpunan bagian tersebut. Ukuran dapat dipahami sebagai perumiman dari konsep seperti "panjang", "luas" dan "volume". Konsep ukuran ini penting untuk dapat dengan benar mendefinisikan integral dari suatu fungsi secara umum. Ukuran adalah konsep yang penting dalam analisis dan teori peluang. Teori ukuran adalah cabang analisis real yang menginvestigasi aljabar σ, ukuran, fungsi ukuran dan integral.

Ukuran dapat dibayangkan sebagai pasangan antara himpunan dan bilangan positif. Digambarkan di sini sifat monoton, di mana himpunan bagian berukuran lebih kecil

Gagasan mengenai teori ukuran sudah ada semenjak zaman Yunani kuno, ketika Archimeder hendak menghitung nilai eksak luas lingkaran. Tetapi teori ukuran sendiri baru berkembang di abad ke-20. Perintis dari teori ukuran adalah Henri Lebesgue, Georg Cantor, Émile Borel, Constantin Carathéodory and Alfred Haar. Henri Lebesgue mengembangkan ukuran Lebesgue dan integral Lebesgue dalam . Georg Cantor dan Émile Borel kemudian mengidentifikasi besaran terukur dan besaran Borel. Constantin Carathéodory mendefinisikan dimensi eksternal dan konstruksi Carathéodory. Alfred Haar dikenal untuk ukuran Haar, konsep yang serupa dengan ukuran Lebesgue di grup topologis.

Definisi

sunting

Misalkan   adalah suatu ruang terukur, dengan   suatu himpunan dan   suatu aljabar σ pada  . Fungsi   disebut sebagai ukuran pada  , jika memenuhi sifat-sifat:

  • Non-negatif: tiada himpunan yang berukuran negatif:
 
untuk semua  ;
 
  • Aditivitas terhitung atau aditivitas-σ: jika  ,  ,  , ... adalah suatu barisan terhitung dari himpunan saling lepas pasang-demi-pasang yang termuat dalam  , maka
 

Anggota dari   disebut himpunan terukur, dan   disebut ruang ukuran.

Contoh

sunting

Ukuran Lebesgue di   suatu perumuman dari panjang. Panjang interval   atau   didefinisikan  . Sekarang misalkan   suatu himpunan bagian. Keluarga interval   dikatakan meliputi   apabila  . Ukuran luar   didefinisikan sebagai

 

Tepatnya,   yang didefinisikan untuk semua himpunan bagian   dari   bukan ukuran karena itu tidak memenuhi sifat-3 definisi ukuran.

Himpunan   dikatakan terukur (atau terukur Lebesgue) apabila untuk setiap   terdapat himpunan tertutup   dan himpunan terbuka   sedemikian sehingga  . Sekarang misalkan   adalah keluarga himpunan terukur. Tepatnya,   aljabar sigma dan fungsi   yang dibatasi pada   ukuran. Ukuran itu dikenal sebagai Ukuran Lebesgue (di  ) dan dilambangkan dengan  .

Ukuran penghitungan

sunting

Misalnya   suatu himpunan dan   himpunan kunasa, yakni   keluarga semua himpunan bagian dari  . Jelas,   aljabar sigma. Untuk  , nilai   definisikan sebagai jumlah unsur himpunan  . Fungsi itu   dikenal sebagai ukuran penghitungan di  .

Kaidah perhitungan

sunting

Kaidah perhitungan dasar berikut untuk hasil langsung dari definisi  :

  • Aditif hingga: untuk himpunan pemutus dengan   gilt  .
  • Subtraktivitas: untuk   dengan   dan   dari  .
  • Monoton: untuk   dengan   dari  .
  • Untuk   dengan himpunan  . Dengan prinsip penyertaan dan pengecualian rumus tersebut dapat digeneralisasikan dalam kasus ukuran hingga untuk penyatuan dan perpotongan dari banyak himpunan terbatas.
  • σ-subadditivitas: Untuk sembarang urutan   dari himpunan   dengan  .

Sifat kontinuitas

sunting

Sifat kontinuitas berikut adalah fundamental untuk memperkirakan set terukur dengan σ-aditif.

  • σ-kontinuitas bawah: adalah   urutan himpunan   dan  , kemudian  .
  • σ-kontinuitas atas: Adalah   urutan himpunan   dengan   dan  , kemudian  .

Teorema keunikan

sunting

Untuk dimensi   di ruang ukur   sebagai berikut:

Misalkan produsen   dari  , hal itu berlaku   dan untuk   ist  , dengan sifat berikut:

  1. Untuk   dengan  , dengan  , dan
  2. Urutan   dari himpunan   dengan   dan   für alle  .

Kemudian  .

Untuk dimensi dengan   kondisi 2 otomatis. Secara khusus, dua ukuran probabilitas adalah sama jika keduanya generator dari rata yang stabil dari aljabar.

Teorema keunikan memberikan, misalnya, keunikan kelanjutan dari ukuran ke ukuran dengan menggunakan ukuran luar dan teorema ekstensi ukuran oleh Carathéodory

Himpunan non-ukur

sunting

Jika aksioma pilihan dibuktikan tidak semua himpunan bagian dari ruang Euklides adalah ukuran Lebesgue; contoh dari himpunan tersebut termasuk himpunan Vitali, dan himpunan yang tidak dapat diukur yang didalilkan oleh paradoks Hausdorff dan paradoks Banach-Tarski.

Generalisasi

sunting

Untuk tujuan tertentu, "ukuran" yang nilainya tidak terbatas pada riil non-negatif atau tak terhingga. Misalnya, aditif terhitung fungsi set dengan nilai dalam bilangan real (bertanda) disebut ukuran tanda, sedangkan fungsi seperti itu dengan nilai-nilai dalam bilangan kompleks disebut ukuran kompleks. Pengukuran yang mengambil nilai dalam ruang Banach telah dipelajari secara ekstensif.[1] Ukuran dari nilai dalam himpunan proyeksi self-adjoint pada ruang Hilbert disebut ukuran nilai proyeksi; digunakan dalam analisis fungsional untuk teorema spektral. Jika untuk membedakan ukuran biasa yang mengambil nilai non-negatif dari generalisasi, istilah digunakan ukuran positif. Pengukuran positif ditutup di bawah kombinasi kerucut tetapi tidak umum kombinasi linear, sedangkan pengukuran bertanda tangan adalah penutupan linier dari pengukuran positif.

Generalisasi lain adalah ukuran aditif hingga, juga dikenal sebagai isi. Ini sama dengan ukuran kecuali bahwa alih-alih membutuhkan aditifitas yang dapat dihitung, kita hanya memerlukan aditifitas yang terbatas. Secara historis, definisi ini digunakan pertama kali. Ternyata secara umum, ukuran aditif hingga terkait dengan pengertian seperti limit Banach, rangkap L dan pemadatan Stone–Čech. Terkait dalam satu atau lain cara dengan aksioma pilihan. Masalah teknis tertentu di teori ukuran geometris; ini adalah teori ukuran Banach.

Muatan adalah generalisasi di kedua arah: adalah ukuran bertanda tangan aditif hingga.

Lihat pula

sunting

Referensi

sunting
  1. ^ Rao, M. M. (2012), Random and Vector Measures, Series on Multivariate Analysis, 9, World Scientific, ISBN 978-981-4350-81-5, MR 2840012 .

Bibliografi

sunting
  • Robert G. Bartle (1995) The Elements of Integration and Lebesgue Measure, Wiley Interscience.
  • Bauer, H. (2001), Measure and Integration Theory, Berlin: de Gruyter, ISBN 978-3110167191 
  • Bear, H.S. (2001), A Primer of Lebesgue Integration, San Diego: Academic Press, ISBN 978-0120839711 
  • Bogachev, V. I. (2006), Measure theory, Berlin: Springer, ISBN 978-3540345138 
  • Bourbaki, Nicolas (2004), Integration I, Springer Verlag, ISBN 3-540-41129-1  Chapter III.
  • R. M. Dudley, 2002. Real Analysis and Probability. Cambridge University Press.
  • Folland, Gerald B. (1999), Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, John Wiley and Sons, ISBN 0471317160  Second edition.
  • Federer, Herbert. Geometric measure theory. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 153 Springer-Verlag New York Inc., New York 1969 xiv+676 pp.
  • D. H. Fremlin, 2000. Measure Theory. Torres Fremlin.
  • Jech, Thomas (2003), Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded, Springer Verlag, ISBN 3-540-44085-2 
  • R. Duncan Luce and Louis Narens (1987). "measurement, theory of," The New Palgrave: A Dictionary of Economics, v. 3, pp. 428–32.
  • M. E. Munroe, 1953. Introduction to Measure and Integration. Addison Wesley.
  • K. P. S. Bhaskara Rao and M. Bhaskara Rao (1983), Theory of Charges: A Study of Finitely Additive Measures, London: Academic Press, hlm. x + 315, ISBN 0-12-095780-9 
  • Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8. Emphasizes the Daniell integral.
  • Teschl, Gerald, Topics in Real and Functional Analysis, (lecture notes) 
  • Tao, Terence (2011). An Introduction to Measure Theory. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 9780821869192. 
  • Weaver, Nik (2013). Measure Theory and Functional Analysis. World Scientific. ISBN 9789814508568. 

Pranala luar

sunting

Templat:Anaisis-footer