Subobjek

sebuah objek yang berada di dalam objek lain dalam kategori yang sama

Dalam teori kategori, cabang dari matematika, Subobjek adalah objek dalam objek lain yaitu kategori. Generalisasi untuk konsep himpunan bagian dari teori himpunan, subgrup dari teori grup,[1] dan subruang dari topologi. Karena struktur detail objek non-material dalam teori kategori, mendefinisikan subobjek dengan morfisme dari satu objek dalam objek lain untuk penggunaan elemen.

Konsep ganda untuk subobjek adalah objek hasil bagi. Untuk menggeneralisasi konsep himpunan hasil bagi, grup hasil bagi, ruang hasil bagi, grafik hasil bagi, dll.

Definisi

sunting

Secara detail, maka   adalah objek dari beberapa kategori. Diberikan dua monomorfisme

 

dengan kodomain  , untuk   jika   faktor melalui  , jika   dengan  . Relasi biner   didefinisikan oleh

 

adalah relasi ekuivalen pada monomorfisme dengan kodomain  , dan kelas kesetaraan dari monomorfisme adalah subobjek dari  . Ekuivalen didefinisikan sebagai relasi ekuivalen dengan   jika dan hanya jika isomorfisme   with  .)

Relasi ≤ induksi sebuah urutan parsial pada himpunan sub-objek dari  .

Himpunan sub-objek dari sebuah objek berupa kelas; pembahasan yang diberikan agak longgar. Jika himpunan sub-objek dari setiap objek adalah himpunan disebut sebagai pangkat well atau terkadang pangkat kecil lokal.

Contoh

sunting
  • Dalam Himpunan, kategori himpunan, subobjek dari A dengan himpunan bagian B dari A, atau himpunan semua peta dari himpunan ekuipoten B dengan citra. Urutan parsial subobjek dari Himpunan untuk himpunan bagian kisi.
  • Dalam Grp, kategori grup, sub-objek dari A dengan subgrup dari A.
  • Diberikan kelas berurutan parsial P = (P, ≤), membentuk kategori dengan elemen P sebagai objek, dan satu panah dari p ke q jika dan hanya jika pq. Jika P menggunakan elemen terbesar, urutan parsial subobjek dari elemen terbesar. Semua panah dalam kategori adalah monomorfisme.
  • Subobjek dari objek terminal disebut objek subterminal.

Lihat pula

sunting

Catatan

sunting
  1. ^ Mac Lane, p. 126

Referensi

sunting