Spons Menger

Dalam ilmu matematika, spons Menger (juga dikenal sebagai Menger cube, Menger universal curve, Sierpinski cube, atau Sierpinski sponge) adalah kurva fraktal. Ini adalah generalisasi tiga dimensi dari set Cantor satu dimensi dan karpet Sierpinski dua dimensi. Ini pertama kali dijelaskan oleh Karl Menger pada tahun 1926, dalam studinya tentang konsep dimensi topologi.

Ilustrasi M₄, spons setelah empat iterasi proses konstruksi

Konstruksi

Konstruksi spons Menger dapat digambarkan sebagai berikut:

1. Mulailah dengan sebuah kubus.
2. Bagilah setiap sisi kubus menjadi sembilan kotak dengan cara yang mirip dengan Kubus Rubik. Ini membagi kubus menjadi 27 kubus yang lebih kecil.
3. Keluarkan kubus yang lebih kecil di tengah setiap sisinya, dan keluarkan kubus yang lebih kecil di tengah kubus yang lebih besar, sisakan 20 kubus yang lebih kecil. Ini adalah spons Menger level-1 (menyerupai kubus kosong).
4. Ulangi langkah dua dan tiga untuk masing-masing kubus kecil yang tersisa, dan terus lakukan iterasi ad infinitum.

Iterasi yang kedua menghasilkan spons level-2, iterasi yang ketiga menghasilkan spons level-3, dan seterusnya. Spons Menger sendiri adalah batas dari proses ini setelah jumlah iterasi yang tak terhingga/tak terhitung jumlahnya.

Ilustrasi konstruksi iteratif spons Menger hingga M_3, iterasi ketiga

Properti

Penampang heksagonal dari spons Menger level-4. (Bagian dari rangkaian potongan yang tegak lurus terhadap diagonal ruang.)

Tahap ke-$n$ dari spons Menger, $M_{n}$, Terbuat dari $20^{n}$ kubus yang lebih kecil, masing-masing memiliki panjang sisi (1/3) ⁿ. Total volume $M_{n}$ adalah demikian ${\textstyle \left({\frac {20}{27}}\right)^{n}}$. Total luas permukaan $M_{n}$ diberikan oleh ekspresi $2(20/9)^{n}+4(8/9)^{n}$. Oleh karena itu, volume konstruksi mendekati nol sementara luas permukaannya bertambah tanpa batas. Namun setiap permukaan yang dipilih dalam konstruksi akan tertusuk seluruhnya seiring dengan berlanjutnya konstruksi sehingga batasnya bukanlah padatan atau permukaan; ia memiliki dimensi topologi 1 dan karenanya diidentifikasi sebagai kurva.

Setiap muka konstruksi menjadi karpet Sierpinski, dan perpotongan spons dengan diagonal kubus atau garis tengah muka mana pun merupakan himpunan Cantor. Penampang spons melalui pusat massanya dan tegak lurus terhadap diagonal ruang adalah segi enam beraturan yang ditusuk dengan heksagram yang disusun dalam simetri enam kali lipat. Jumlah heksagram ini, dalam ukuran menurun, diberikan oleh relasi perulangan berikut: $a_{n}=9a_{n-1}-12a_{n-2}$, dengan $a_{0}=1,\ a_{1}=6$.

Adapun spons Dimensi Hausdorff tersebut adalah log 20log 3 ≅ 2.727. Dimensi penutup Lebesgue spons Menger adalah satu, sama dengan kurva mana pun. Menger menunjukkan, dalam konstruksi tahun 1926, bahwa spons adalah kurva universal, di mana setiap kurva bersifat homeomorfik terhadap bagian dari spons Menger, dengan kurva berarti ruang metrik kompak Lebesgue yang mencakup dimensi satu; ini termasuk pohon dan grafik dengan jumlah tepi, simpul, dan loop tertutup yang dapat dihitung secara sembarang, dihubungkan dengan cara yang berubah-ubah. Demikian pula karpet Sierpinski merupakan kurva universal untuk semua kurva yang dapat digambar pada bidang dua dimensi. Spons Menger yang dibangun dalam tiga dimensi memperluas gagasan ini ke grafik yang tidak planar dan dapat tertanam dalam sejumlah dimensi berapa pun.

Spons Menger adalah satu set tertutup; karena ia juga dibatasi, teorema Heine–Borel menyiratkan bahwa ia kompak. Ini memiliki ukuran Lebesgue 0. Karena mengandung jalur yang berkesinambungan, maka ini merupakan himpunan yang tidak dapat dihitung.

Eksperimen juga menunjukkan bahwa kubus dengan struktur seperti spons Menger dapat menghilangkan guncangan lima kali lebih baik untuk bahan yang sama dibandingkan kubus tanpa pori-pori.

Definisi formal

Secara formal, spons Menger dapat didefinisikan sebagai berikut (menggunakan set irisan):

$M:=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }M_{n}$

Di mana $M_{0}$ adalah kubus satuan dan

$M_{n+1}:=\left\{{\begin{matrix}(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:&{\begin{matrix}\exists i,j,k\in \{0,1,2\}:(3x-i,3y-j,3z-k)\in M_{n}\\{\mbox{and at most one of }}i,j,k{\mbox{ is equal to 1}}\end{matrix}}\end{matrix}}\right\}.$

MegaMenger

MegaMenger adalah proyek yang bertujuan untuk membangun model fraktal terbesar, yang dipelopori oleh Matt Parker dari Queen Mary University of London dan Laura Taalman dari James Madison University. Setiap kubus kecil dibuat dari enam kartu nama yang saling bertautan, sehingga totalnya ada 960 000 untuk spons level empat. Permukaan luarnya kemudian ditutup dengan panel kertas atau karton yang dicetak dengan desain karpet Sierpinski agar lebih estetis. Pada tahun 2014, dua puluh spons Menger tingkat tiga dibuat, yang jika digabungkan akan membentuk spons Menger tingkat empat yang terdistribusi.

• 
  Salah satu MegaMengers, di Universitas Bath
• 
  Model tetrix dilihat melalui pusat MegaMenger Cambridge Level-3 di Festival Sains Cambridgetahun 2015

Fraktal yang mirip

Kubus Yerusalem

Kubus Yerusalem adalah objek fraktal yang pertama kali dijelaskan oleh Eric Baird pada tahun 2011. Fraktal tersebut dibuat dengan mengebor lubang berbentuk salib Yunani secara rekursif ke dalam kubus. Konstruksinya mirip dengan spons Menger tetapi dengan dua kubus berukuran berbeda. Nama tersebut berasal dari muka kubus yang menyerupai pola salib Yerusalem.

Konstruksi kubus Yerusalem dapat digambarkan sebagai berikut:

1. Mulailah dengan sebuah kubus.
2. Potonglah sebuah salib di setiap sisi kubus, sisakan delapan kubus (berperingkat +1) di sudut-sudut kubus asli, serta dua belas kubus kecil (berperingkat +2) yang berpusat di tepi kubus asli di antara kubus-kubus tersebut. peringkat +1.
3. Ulangi proses tersebut pada kubus peringkat 1 dan 2.

Iterasi berkali-kali akan menghasilkan kubus Yerusalem.

Karena panjang rusuk sebuah kubus berpangkat N sama dengan 2 kubus berpangkat N+1 dan sebuah kubus berpangkat N+2, maka faktor skalanya harus memenuhi $k^{2}+2k=1$, Karena itu $k={\sqrt {2}}-1$ yang berarti fraktal tidak dapat dibuat menggunakan titik-titik pada kisi rasional.

Karena sebuah kubus berpangkat N dibagi menjadi 8 kubus berpangkat N+1 dan 12 pangkat N+2, maka dimensi Hausdorff harus memenuhi $8k^{d}+12(k^{2})^{d}=1$. Persamaanya adalah sebagai berikut

$d={\frac {\log \left({\frac {\sqrt {7}}{6}}-{\frac {1}{3}}\right)}{\log \left({\sqrt {2}}-1\right)}}$

yaitu sekitar 2.529.

Seperti spons Menger, permukaan kubus Yerusalem adalah fraktal juga dengan faktor skala yang sama. Dalam hal ini, dimensi Hausdorff harus memenuhi $4k^{d}+4(k^{2})^{d}=1$. Persamaanya adalah sebagai berikut

$d={\frac {\log \left({\frac {{\sqrt {2}}-1}{2}}\right)}{\log \left({\sqrt {2}}-1\right)}}$

yaitu sekitar 1.786.

• 
  Kubus Yerusalem iterasi ketiga
• 
  Model kubus Yerusalem yang dicetak degan printer 3D

Yang lainnya

Kepingan salju Sierpinski–Menger

• Kepingan salju Mosely adalah fraktal berbasis kubus dengan sudut-sudut yang dihilangkan secara rekursif.
• Tetrix adalah fraktal berbasis tetrahedron yang dibuat dari empat salinan lebih kecil, disusun dalam tetrahedron.
• Kepingan salju Sierpinski – Menger adalah fraktal berbasis kubus di mana delapan kubus sudut dan satu kubus pusat disimpan setiap kali pada langkah rekursi bawah dan bawah. Fraktal tiga dimensi yang aneh ini memiliki dimensi Hausdorff dari objek dua dimensi aslinya seperti bidang yaitulog 9log 3=2.

Lihat juga

• Tetrahedron Sierpiński
• Segitiga Sierpiński

Bacaan lebih lanjut

• Iwaniec, Tadeusz; Martin, Gaven (2001), Geometric function theory and non-linear analysis, Oxford Mathematical Monographs, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850929-5, MR 1859913 .
• Zhou, Li (2007), "Problem 11208: Chromatic numbers of the Menger sponges", American Mathematical Monthly, 114 (9): 842, JSTOR 27642353 

Tautan eksternal

• Menger spons di Wolfram MathWorld
• 'Business Card Menger Sponge' oleh Dr. Jeannine Mosely – pameran online tentang fraktal origami raksasa ini di Institute For Figuring
• Spons Menger interaktif
• Model Java interaktif
• Puzzle Hunt - Video yang menjelaskan paradoks Zeno menggunakan spons Menger – Sierpinski
• Bola Menger, ditampilkan di SunFlow
• Spons Menger Post-It – spons Menger level-3 yang dibuat dari Post-it
• Misteri Spons Menger. Diiris secara diagonal untuk memperlihatkan bintang
• OEIS urutan A212596 (Jumlah kartu yang dibutuhkan untuk membuat spons Menger level n dalam origami)
• Woolly Thoughts Level 2 Menger Sponge oleh dua "Mathekniticians"
• Dickau, R.: Jerusalem Cube Diskusi lebih lanjut.
• Miller, P.: Diskusi tentang spons Menger yang didefinisikan secara eksplisit untuk pengujian stres dalam tampilan 3d dan sistem rendering