Pertumbuhan eksponensial

Pertumbuhan eksponensial adalah sebuah model pertumbuhan kuantitas, yaitu saat tingkat pertumbuhan sebanding (proporsional) dengan besar kuantitas itu sendiri. Dengan kata lain, jika kuantitas tersebut dianalisis dalam setiap interval waktu (misalnya, hari atau jam), kuantitas pada saat tertentu merupakan hasil kali dari kuantitas sebelumnya. Secara matematika, hal ini berarti nilai nilai selanjutnya, $N_{t+1}$, dapat dihitung dengan perkalian nilai saat ini $N$ dengan sebuah pengali tetap. Setelah jangka waktu $t$, kuantitas ini dapat dihitung dengan sebuah persamaan berpangkat (eksponensial):

Kurva yang menunjukkan pertumbuhan eksponensial

$N_{t}=N_{0}a^{t}$

Contoh sederhana adalah pertumbuhan koloni bakteri: Satu bakteri dapat membelah diri menjadi 2, kemudian 2 bakteri masing-masing membelah diri menjadi 4, lalu 8, 16, 32, dan seterusnya. Pertambahan jumlah semakin meningkat sesuai populasi bakteri yang semakin membesar. Pertumbuhan seperti ini dapat ditemui dalam berbagai aktivitas atau fenomena, misalnya naiknya harga akibat inflasi, bertambahnya utang akibat bunga, perkembangbiakan mikroorganisme dalam kultur biologi, penyebaran virus, dan penyebaran fenomena internet seperti meme dan video viral. Dalam contoh kehidupan nyata, sering kali setelah jangka waktu tertentu pertumbuhan eksponensial menemui batas atasnya, sehingga polanya melambat dan berubah menjadi pertumbuhan logistik.

Ilustrasi

Koloni bakteri yang terus membelah diri.

Pertumbuhan populasi adalah salah satu topik yang sering dimodelkan dengan pertumbuhan eksponensial. Contoh sederhana adalah pertumbuhan populasi dalam sebuah eksperimen. Misalnya, jika dalam sebuah eksperimen terdapat populasi awal 1000 bakteria, dan bakteria tersebut terus membelah diri sehingga jumlahnya meningkat dua kali lipat setiap jam. Setelah satu jam, populasi bakteria menjadi 2000, jam selanjutnya menjadi 4000, lalu 8000, dan seterusnya. Jika ini berlanjut, populasi bakteria ini dapat dinyatakan dengan pertumbuhan eksponensial:

$N_{t}=1000\times 2^{t}$

Aplikasi

Pertumbuhan eksponensial cukup umum ditemukan dalam berbagai bidang kehidupan. Pertumbuhan eksponensial dapat menyebabkan hasil yang mengejutkan masyarakat awam, karena kecepatan perubahannya meningkat drastis seiring berjalannya waktu. Kuantitas yang awalnya meningkat dengan pelan lama kelamaan menjadi meningkat dengan jauh lebih tajam. Selain itu, beberapa kuantitas yang menunjukkan pertumbuhan eksponensial sering dinyatakan dengan angka persen saja tanpa label eksponensial, seperti angka-angka inflasi atau bunga pinjaman.

Ekonomi dan keuangan

• Inflasi biasanya dinyatakan dalam persen dan pada dasarnya merupakan pertumbuhan eksponensial. Inflasi sebesar 3%, misalnya, dapat terlihat kecil jika dilihat dalam setahun, tetapi jika angka ini bertahan dalam jangka panjang perubahan harga akan semakin tajam.
• Suku bunga pinjaman biasanya memiliki sifat bunga berbunga (compound interest), sehingga total beban utang juga merupakan pertumbuhan eksponensial. Misalnya, dalam pinjaman sebesar 1 juta dengan bunga 1,2% yang dikenakan per bulan, setelah bulan pertama utang menjadi 1,012 juta, dan bunga berikutnya dihitung berdasarakan 1,012 juta (bukan 1 juta), dan seterusnya. Total beban setelah n bulan, tanpa adanya pembayaran atau biaya tambahan, dapat dihitung dengan rumus eksponensial: $1000\times 1,1012^{n}$. Besar utang ini akan berlipat ganda dalam waktu kurang dari 5 tahun (60 bulan), 4 kali lipat dalam waktu kurang dari 10 tahun, dan seterusnya.

Biologi

Pada awalnya, wabah virus menyebar secara eksponensial. Gambar: Diagram jumlah kasus tercatat COVID-19 (kiri) dan jumlah kematian (kanan).

• Mikroorganisme yang dikembangkan dalam sebuah kultur tumbuh secara eksponensial selama nutrien yang ada masih cukup. Misalnya satu bakteri awal akan membelah menjadi dua, yang kemudian membelah menjadi empat, kemudian delapan, dan seterusnya sesuai rumus eksponensial.
• Wabah virus baru, seperti SARS atau COVID-19, menyebar secara eksponensial pada awalnya. Misalnya, jika meningkatnya wabah dari 1.000 kasus menjadi 2.000 kasus membutuhkan waktu 4 hari, dengan faktor pertumbuhan yang sama kasus wabah itu juga akan meningkat dari 10.000 ke 20.000 kasus atau 100.000 ke 200.000 kasus dalam waktu yang sama.

Fisika

• Reaksi nuklir berantai juga tumbuh secara eksponensial dan mendasari cara kerja bom atom dan reaktor nuklir. Setiap inti uranium yang mengalami pembelahan menghasilkan lebih dari 1 neutron, yang masing-masing dapat menyebabkan inti uranium lain mengalami pembelahan, yang menghasilkan neutron lebih banyak lagi, dan seterusnya. Dalam reaksi nuklir tak terkendali, neutron akan terus diproduksi dan reaksi nuklir akan terus meningkat secara eksponensial.

Fenomena internet

• Konten internet, seperti meme atau video, dapat menyebar secara eksponensial, dan sering dikatakan "viral" sesuai analogi dengan penyebaran virus. Satu orang dapat menyebarkan konten ke banyak orang secara bersamaan, yang kemudian meneruskannya ke lebih banyak orang lagi, dan seterusnya, melalui media seperti jejaring sosial. Contohnya, video Gangnam Style yang diunggah pada 15 Juli 2012 ke situs YouTube mencapai ratusan ribu penonton pada hari pertama, jutaan penonton dalam hari ke-20, dan mencapai total kumulatif ratusan juta penonton dalam kurang dari 2 bulan.

Pertumbuhan logistik

Pertumbuhan eksponensial (kiri, biru) dan pertumbuhan logistik (kanan, merah).

Dalam kehidupan nyata, pertumbuhan yang awalnya bersifat eksponensial sering tidak akan mengalami hal tersebut selamanya. Setelah waktu tertentu, pertumbuhan tersebut akan dibatasi oleh faktor eksternal, atau lingkungan. Misalnya, pertumbuhan populasi akan melambat akibat keterbatasan sumber daya untuk mendukung populasi yang semakin besar. Matematikawan Belgia Pierre François Verhulst pertama kali menjabarkan model matematika dari pertumbuhan seperti ini pada tahun 1845. Model ini menghasilkan kurva yang disebut kurva logistik, dan pertumbuhan seperti ini disebut pertumbuhan logistik. Kurva pertumbuhan ini berbentuk mirip "S" alih alih mirip "J" seperti pertumbuhan eksponensial.

Dalam domain diskrit

Lihat pula: Deret geometri

Dalam kasus domain diskrit definisi dengan interval yang sama, ini juga disebut pertumbuhan geometris atau peluruhan geometris karena nilai fungsi membentuk barisan dan deret geometri. Rumus untuk pertumbuhan eksponensial dari variabel x pada tingkat pertumbuhan r, seiring waktu t berlangsung dalam interval diskrit (yaitu, pada waktu bilangan bulat 0, 1, 2, 3, ...), adalah

$x_{t}=x_{0}(1+r)^{t}$

Sumber

• Bernstein, Ruth (2003). Population Ecology: An Introduction to Computer Simulations. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-85148-7. 
• Crauder, Bruce; Evans, Benny; Noell, Alan (2008). Functions and Change: A Modeling Approach to College Algebra. Houghton Mifflin Harcourt. ISBN 1-111-78502-3. 
• Porritt, J. Capitalism as if the world matters, Earthscan 2005. ISBN 1-84407-192-8
• Swirski, Peter. Of Literature and Knowledge: Explorations in Narrative Thought Experiments, Evolution, and Game Theory. New York: Routledge. ISBN 0-415-42060-1
• Thomson, David G. Blueprint to a Billion: 7 Essentials to Achieve Exponential Growth, Wiley Dec 2005, ISBN 0-471-74747-5
• Tsirel, S. V. 2004. On the Possible Reasons for the Hyperexponential Growth of the Earth Population. Mathematical Modeling of Social and Economic Dynamics / Ed. by M. G. Dmitriev and A. P. Petrov, pp. 367–9. Moscow: Russian State Social University, 2004.

Pranala luar

• Growth in a Finite World – Sustainability and the Exponential Function — Presentation
• Dr. Albert Bartlett: Arithmetic, Population and Energy — streaming video and audio 58 min
• exponential growth calculator — Online exponential growth Calculator