Barisan dan deret geometri

Barisan dan deret geometri atau dikenal sebagai barisan dan deret ukur dalam bidang matematika adalah jenis barisan dan deret di mana bilangan berikutnya merupakan perkalian dari bilangan sebelumnya dengan suatu bilangan rasio tertentu. Dengan kata lain, suatu barisan geometri hasil bagi atau rasio setiap suku dengan suku sebelumnya selalu sama.[1]

Barisan geometri dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut:

, , , ,

dengan adalah bilangan rasio pengali () dan adalah faktor skala.

Suku barisan geometri

sunting

Misal   adalah suku barisan geometri. Pada barisan di atas, dapat kita rumuskan sebagai

 
Bukti

Kita misalkan  , dan  . Kita teruskan untuk  .

 

Dari kumpulan persamaan di atas, kita mendapati pola, yaitu

 .[1]

Lebih umumnya, diberikan   dan misal suku awal adalah  . Dari hasil di atas, diperoleh

 

dan

 .[1]

Rasio adalah hasil bagi antara dua suku. Secara matematis dirumuskan

 .

Suku tengah

sunting
 

Deret geometri

sunting

Deret geometri atau deret ukur ialah deret di mana suku pada barisan geometri dijumlahkan, maka didapati

 

dengan   adalah deret geometri, dan   adalah suku pertama.

Bukti deret geometri
Kita mulai dari kasus di mana  

 

 

 

 

 

(1)

Dengan mengalikan kedua ruas dengan   memperoleh persamaan baru.

 

 

 

 

 

(2)

Persamaan (1) mengurangi (2) menghasilkan
 

Dengan menggunakan sifat distributif dan membagi kedua ruas dengan   membuktikan bahwa

 .[2]

Cara yang serupa untuk kasus  .  

Jika  , maka deret geometri didapati

 .[2]

Deret geometri takhingga

sunting
 
Diagram yang menunjukkan jumlah   adalah mendekati  .

Untuk deret geometri dengan tak terhingganya banyak suku, kita rumuskan

 

untuk  . Sebagai contoh, pada diagram di samping kanan, diketahui bahwa suku awal (yakni persegi terbesar) adalah   serta  . Dengan menggunakan rumus di atas, maka jumlah keseluruhan pada diagram di samping adalah

 .
Bukti deret geometri, kasus  
 
Visualisasi yang menunjukkan cara lain untuk membuktikan deret geometri.
Karena  , maka diperoleh
 .

Ambil   pada kedua ruas, diperoleh

 

Karena diketahui  , maka  . Karena itu,

 .  [3]

Untuk kasus  ,   tidak mempunyai hasil (karena bernilai  ) sehingga deretnya dapat dikatakan divergen.[4][5]

Barisan dan deret geometri bertingkat

sunting
Jika bertingkat 2:  
Jika bertingkat 3:  

dst

Lihat pula

sunting

Referensi

sunting
  1. ^ a b c Sahid, MSc, Kalkulus Lanjutan, hlm. 10.
  2. ^ a b Drs. Win Konadi, M.Si, Barisan dan Deret Geometri serta Contoh Soal
  3. ^ Sahid, MSc, Kalkulus Lanjutan, hlm. 12–13.
  4. ^ Sahid, MSc, Kalkulus Lanjutan, hlm. 12.
  5. ^ H. Karso, Barisan dan Deret, hlm. 14.

Bacaan lebih lanjut

sunting
  • Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 3B Untuk Kelas XII Semester 2 Program IPA. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-505-X.  (Indonesia)
  • Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 3B Untuk Kelas XII Semester 2 Program IPS. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-568-8.  (Indonesia)