Persekitaran (matematika)

Dalam topologi dan bidang matematika yang terkait, persekitaran^[1] atau lingkungan^[2]^[3]^[4] (bahasa Inggris: neighborhood, neighbourhood) merupakan salah satu konsep dasar dalam ruang topologi. Konsep persekitaran terkait erat dengan konsep himpunan yang terbuka dan interior. Secara intuitif, persekitaran dari suatu titik adalah himpunan titik yang mengandung titik tersebut, di mana seseorang dapat bergerak beberapa langkah ke segala arah dari titik tersebut tanpa keluar dari himpunan tersebut. Sifat-sifat matematika yang terkait dengan persekitaran tertentu disebut lokal, sebagai lawan dari global.

Definisi

Persekitaran suatu titik

Jika $X$ adalah ruang topologi dan $p$ adalah titik dalam $X$ , persekitaran dari titik $p$ adalah himpunan bagian $V$ dari $X$ yang memuat suatu himpunan terbuka $U$ yang memuat $p,$ sedemikian sehingga $p\in U\subseteq V.$ Definisi ini ekuivalen dengan titik $p\in X$ yang termasuk interior topologis dari $V$ di dalam $X.$

Persekitaran $V$ tidak harus suatu himpunan terbuka dalam $X$ . Akan tetapi ketika $V$ terbuka dalam $X$ , maka $V$ disebut open neighbourhood.^[5] Beberapa penulis mensyaratkan bahwa persekitaran harus terbuka, tetapi harus diperhatikan juga kesepakatan tersebut.^[6]

Segiempat tertutup tidak mempunyai persekitaran pada sebarang sudut atau batasnya.

Suatu himpunan yang menjadi persekitaran bagi semua titik anggotanya adalah terbuka, karena himpunan itu dapat dinyatakan sebagai gabungan dari himpunan-himpunan buka yang memuat tiap-tiap titiknya. Segiempat tertutup, sebagaimana pada gambar berikut, bukan merupakan persekitaran dari semua titik-titiknya. Itu karena titik pada sudut segiempat tidak termuat dalam sebarang himpunan terbuka yang termuat dalam segiempat.

Koleksi dari semua persekitaran dari suatu titik disebut neighbourhood system [en] pada titik.

Persekitaran suatu himpunan

Jika $S$ adalah subhimpunan dari suatu ruang topologis $X$ , maka persekitaran dari $S$ adalah himpunan $V$ yang menyertakan suatu himpunan terbuka $U$ yang memuat $S$ : $S\subseteq U\subseteq V\subseteq X.$ Definisi di atas menyatakan bahwa suatu himpunan $V$ adalah persekitaran dari $S$ jika dan hanya jika $V$ adalah persekitaran dari semua titik di dalam $S.$ Lebih lanjut, $V$ adalah persekitaran dari $S$ jika dan hanya jika $S$ adalah subhimpunan dari interior dari $V.$ Suatu persekitaran dari $S$ yang juga subhimpunan terbuka dari $X$ disebut open neighbourhood dari $S.$ persekitaran dari suatu titik hanyalah kasus istimewa dari definisi ini.

Ruang metrik

Himpunan

S

di bidang dan uniform neighbourhood

V

dari

S.

Dalam ruang metrik $M=(X,d),$ himpunan $V$ adalah persekitaran dari suatu titik $p$ jika terdapat suatu bola terbuka yang berpusat pada titik $p$ dan berjari-jari $r>0$ , sehingga $B_{r}(p)=B(p;r)=\{x\in X:d(x,p)<r\}$ termuat di dalam $V$ .

Himpunan $V$ disebut uniform neighbourhood dari himpunan $S$ jika terdapat suatu bilangan positif $r$ sehingga untuk semua anggota $p$ dari $S$ , $B_{r}(p)=\{x\in X:d(x,p)<r\}$ termuat di dalam $V.$

Persekitaran suatu bilangan

a

berjari-jari

\varepsilon

pada garis bilangan real.

Mengikuti syarat yang sama. Untuk $r>0$ , persekitaran $S$ berjari-jari $r$ , yang dilambangkan $S_{r}$ , adalah himpunan dari semua titik di dalam $X$ yang berjarak kurang daripada $r$ dari $S$ . Definisi lainnya, $S_{r}$ adalah gabungan dari semua bola terbuka berjari-jari $r$ yang berpusat pada suatu titik di dalam $S$ : $S_{r}=\bigcup \limits _{p\in {}S}B_{r}(p).$ Hal ini mengikuti secara langsung bahwa persekitaran berjari-jari $r$ adalah uniform neighbourhood, dan bahwa suatu himpunan adalah uniform neighbourhood jika dan hanya jika ia memuatu suatu persekitaran berjari-jari $r$ untuk suatu nilai $r$ .

Contoh

Himpunan

M

adalah persekitaran dari bilangan

a

, karena terdapat persekitaran titik

a

berjari-jari

\varepsilon

, yang merupakan subhimpunan dari

M

.

Diketahui bahwa himpunan bilangan real $\mathbb {R}$ dengan ruang metrik Euklides biasa adalah suatu subhimpunan $V$ didefinisikan sebagai $V:=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }B\left(n\,;\,1/n\right),$ maka $V$ adalah suatu persekitaran untuk himpunan bilangan asli $\mathbb {N}$ , tetapi sayangnya bukan suatu uniform neighbourhood dari himpunan itu.

Referensi

^ M.Si, Prof Dr Manuharawati (2013-02-01). Analisis Real 1. Zifatama Jawara. ISBN 978-602-1662-18-2.
^ Alwi, Wahidah (2021). Analisis Real (PDF). Rumah Cemerlang. hlm. 87. ISBN 978-623-5847-51-1.
^ Andriani,, Parhaini (2020). Kalkulus Peubah Banyak (PDF). Sanabil. hlm. 59. ISBN 978-623-317-032-1.
^ Mashadi dan Hadi, Abdul (2017). Analisis I (PDF). UR Press Pekanbaru. hlm. 60. ISBN 978-979-792-796-7.
^ Dixmier, Jacques (1984). General Topology . Undergraduate Texts in Mathematics. Translated by Sterling K. Berberian. Springer. hlm. 6. ISBN 0-387-90972-9. According to this definition, an open neighborhood of $x$ is nothing more than an open subset of $E$ that contains $x.$
^ Engelking, Ryszard (1989). General Topology. Heldermann Verlag, Berlin. hlm. 12. ISBN 3-88538-006-4.

Kelley, John L. (1975). General topology. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90125-6.
Bredon, Glen E. (1993). Topology and geometry. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97926-3.
Kaplansky, Irving (2001). Set Theory and Metric Spaces. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2694-8.

Pranala luar

"Persekitaran | Menara Ilmu Analisis Real" (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2025-01-05.

[1] M.Si, Prof Dr Manuharawati (2013-02-01). Analisis Real 1. Zifatama Jawara. ISBN 978-602-1662-18-2.

[2] Alwi, Wahidah (2021). Analisis Real (PDF). Rumah Cemerlang. hlm. 87. ISBN 978-623-5847-51-1.

[3] Andriani,, Parhaini (2020). Kalkulus Peubah Banyak (PDF). Sanabil. hlm. 59. ISBN 978-623-317-032-1.

[4] Mashadi dan Hadi, Abdul (2017). Analisis I (PDF). UR Press Pekanbaru. hlm. 60. ISBN 978-979-792-796-7.

[5] Dixmier, Jacques (1984). General Topology . Undergraduate Texts in Mathematics. Translated by Sterling K. Berberian. Springer. hlm. 6. ISBN 0-387-90972-9. According to this definition, an open neighborhood of $x$ is nothing more than an open subset of $E$ that contains $x.$

[6] Engelking, Ryszard (1989). General Topology. Heldermann Verlag, Berlin. hlm. 12. ISBN 3-88538-006-4.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]