Persamaan parametrik

Dalam matematika, Persamaan Parametrik mendefinisikan sekelompok kuantitas sebagai fungsi dari satu atau lebih variabel independen yang disebut parameter.^[1] Persamaan Parametrik biasanya digunakan untuk menyatakan koordinat dari titik-titik yang membentuk objek geometris seperti kurva atau permukaan, dalam hal ini persamaan representasi parametrik atau parameterization (sebagai alternatif dieja sebagai parametrisation) of the object.^[1]^[2]^[3]

Contohnya persamaan

{\begin{aligned}x&=\cos t\\y&=\sin t\end{aligned}}

membentuk representasi parametrik dari lingkaran satuan, di mana t adalah parameternya: Sebuah titik (x, y) ada di lingkaran satuan, jika nilai t sehingga keduanya sama. Kadang-kadang persamaan parametrik untuk variabel keluaran individu skalar digabungkan menjadi satu persamaan parametrik di vektor:

(x,y)=(\cos t,\sin t).

Representasi parametrik umumnya tidak unik (lihat bagian "Contoh dalam dua dimensi" di bawah), jadi jumlah yang sama dapat diekspresikan dengan sejumlah parameterisasi yang berbeda.^[1]

Selain kurva dan permukaan, persamaan parametrik dapat menggambarkan manifold dan varisi aljabar yang lebih tinggi dimensi, dengan jumlah parameter yang sama dengan dimensi manifold atau variasi, dan jumlah persamaan yang sama dengan dimensi ruang di mana manifold atau variasi dipertimbangkan (untuk kurva dimensi adalah satu dan parameter satu digunakan, untuk parameter dimensi permukaan dua dan dua, dll.).

Persamaan parametrik umumnya digunakan dalam kinematika, di mana lintasan suatu benda diwakili oleh persamaan bergantung pada waktu sebagai parameternya. Karena aplikasi ini, parameter tunggal sering kali diberi label t; namun, parameter dapat mewakili besaran fisik lainnya (seperti variabel geometris) atau dapat dipilih secara sewenang-wenang demi kenyamanan. Parameterisasi tidak unik; lebih dari satu set persamaan parametrik dapat menentukan kurva yang sama.^[4]

Aplikasi

Kinematics

Dalam kinematika, jalur objek melalui ruang biasanya digambarkan sebagai kurva parametrik, dengan setiap koordinat spasial bergantung secara eksplisit pada parameter independen (biasanya waktu). Digunakan dengan cara ini, himpunan persamaan parametrik untuk koordinat objek secara kolektif membentuk fungsi bernilai vektor untuk posisi. Kurva parametrik tersebut kemudian dapat menjadi terintegrasi dan terdiferensiasi termwise. Jadi, jika posisi partikel dijelaskan secara parametrik sebagai

\mathbf {r} (t)=(x(t),y(t),z(t))

maka kecepatan dapat ditemukan sebagai

\mathbf {v} (t)=\mathbf {r} '(t)=(x'(t),y'(t),z'(t))

dan percepatan sebagai

\mathbf {a} (t)=\mathbf {r} ''(t)=(x''(t),y''(t),z''(t))

.

Desain dengan bantuan komputer

Penggunaan penting lain dari persamaan parametrik adalah dalam bidang desain dengan bantuan komputer (CAD).^[5] Contohnya, pertimbangkan tiga representasi berikut, yang semuanya biasanya digunakan untuk mendeskripsikan kurva planar.

Tipe	Bentuk	Contoh	Deskripsi
1. Eksplisit	$y=f(x)\,\!$	$y=mx+b\,\!$	Garis
2. Implisit	$f(x,y)=0\,\!$	$\left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}=r^{2}$	Lingkaran
3. Parametrik	$x={\frac {g(t)}{w(t)}}$ ; $y={\frac {h(t)}{w(t)}}$	$x=a_{0}+a_{1}t;\,\!$ $y=b_{0}+b_{1}t\,\!$ $x=a+r\,\cos t;\,\!$ $y=b+r\,\sin t\,\!$	Garis Lingkaran

Setiap representasi memiliki kelebihan dan kekurangan untuk aplikasi CAD. Representasi eksplisit mungkin sangat rumit, atau bahkan mungkin tidak ada. Selain itu, ia tidak berperilaku baik di bawah transformasi geometris, dan khususnya di bawah rotasi. Di sisi lain, karena persamaan parametrik dan persamaan implisit dapat dengan mudah disimpulkan dari representasi eksplisit, ketika representasi eksplisit sederhana ada, itu memiliki keuntungan dari keduanya. Representasi implisit mungkin menyulitkan untuk menghasilkan titik kurva, dan bahkan untuk memutuskan apakah ada titik nyata. Di sisi lain, mereka sangat cocok untuk memutuskan apakah suatu titik tertentu berada pada kurva, atau apakah itu di dalam atau di luar kurva tertutup. Keputusan semacam itu mungkin sulit dengan representasi parametrik, tetapi representasi parametrik paling cocok untuk menghasilkan titik pada kurva, dan untuk memplotnya.^[6]

Geometri bilangan bulat

Banyak masalah dalam geometri bilangan bulat dapat diselesaikan dengan menggunakan persamaan parametrik. Solusi klasik seperti itu adalah parametrikisasi Euklides dari segitiga siku-siku sedemikian rupa sehingga panjang sisinya $a, b$ dan sisi miringnya $c$ adalah bilangan bulat coprime. Karena a dan b tidak genap (sebaliknya $a, b$ dan $c$ tidak akan menjadi coprime), seseorang dapat menukarnya dengan memiliki $a$ bahkan, dan parameterisasi kemudian

a=2mn,\ \ b=m^{2}-n^{2},\ \ c=m^{2}+n^{2},

dimana parameternya $m$ dan $n$ adalah bilangan bulat coprime positif yang tidak keduanya ganjil.

Dengan mengalikan $a, b$ dan $c$ dengan bilangan bulat positif yang berubah-ubah, seseorang mendapatkan parametrization dari semua segitiga siku-siku yang ketiga sisinya memiliki panjang bilangan bulat.

Implisitisasi

Contoh dalam dua dimensi

Contoh dalam tiga dimensi

Heliks Parametrik animasi

Helix

Heliks parametrik

Persamaan parametrik cocok untuk menggambarkan kurva dalam ruang berdimensi lebih tinggi. Sebagai contoh:

{\begin{aligned}x&=a\cos(t)\\y&=a\sin(t)\\z&=bt\,\end{aligned}}

mendeskripsikan kurva tiga dimensi, heliks, dengan jari-jari a dan naik 2πb unit per putaran. Persamaan di bidang identik dengan persamaan lingkaran. Ekspresi seperti di atas biasanya ditulis sebagai

\mathbf {r} (t)=(x(t),y(t),z(t))=(a\cos(t),a\sin(t),bt),

dimana r adalah vektor tiga dimensi.

Permukaan parametrik

Sebuah torus dengan radius mayor R dan minor radius r dapat didefinisikan secara parametrik sebagai

{\begin{aligned}x&=\cos[t]\left[R+r\cos(u)\right],\\y&=\sin[t]\left[R+r\cos(u)\right],\\z&=r\sin[u].\end{aligned}}

dimana dua parameter t dan u keduanya bervariasi antara 0 dan 2π.

R=2, r=1/2

Karena u bervariasi dari 0 hingga 2π, titik di permukaan bergerak mengelilingi lingkaran pendek melewati lubang di torus. Karena t bervariasi dari 0 hingga 2π, titik di permukaan bergerak membentuk lingkaran panjang mengelilingi lubang di torus.

Contoh dengan vektor

Persamaan parametrik garis yang melewati titik $\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)$ dan sejajar dengan vektor $a{\vec {i}}+b{\vec {j}}+c{\vec {k}}$ is^[7]

${\begin{aligned}x&=x_{0}+a\cdot t\\y&=y_{0}+b\cdot t\\z&=z_{0}+c\cdot t\end{aligned}}$

Lihat pula

Catatan

^ ^a ^b ^c Weisstein, Eric W. "Parametric Equations". MathWorld.
^ Thomas, George B.; Finney, Ross L. (1979). Calculus and Analytic Geometry (edisi ke-fifth). Addison-Wesley. hlm. 91.
^ Nykamp, Duane. "Plane parametrization example". mathinsight.org. Diakses tanggal 2017-04-14.
^ Spitzbart, Abraham (1975). Kalkulus dengan Geometri Analitik . Gleview, IL: Scott, Foresman and Company. ISBN 0-673-07907-4. Diakses tanggal Agustus 30, 2015.
^ Stewart, James (2003). Calculus (edisi ke-5th). Belmont, CA: Thomson Learning, Inc. hlm. 687–689. ISBN 0-534-39339-X.
^ Shah, Jami J.; Martti Mantyla (1995). Parametric and feature-based CAD/CAM: concepts, techniques, and applications. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc. hlm. 29–31. ISBN 0-471-00214-3.
^ Kalkulus: Tunggal dan Multivariabel. John Wiley. 2012-10-29. hlm. 919. ISBN 9780470888612. OCLC 828768012.

Pranala luar

Graphing Software di Curlie (dari DMOZ)
Web application to draw parametric curves on the plane

[MathWorld-1] Weisstein, Eric W. "Parametric Equations". MathWorld.

[2] Thomas, George B.; Finney, Ross L. (1979). Calculus and Analytic Geometry (edisi ke-fifth). Addison-Wesley. hlm. 91.

[3] Nykamp, Duane. "Plane parametrization example". mathinsight.org. Diakses tanggal 2017-04-14.

[4] Spitzbart, Abraham (1975). Kalkulus dengan Geometri Analitik . Gleview, IL: Scott, Foresman and Company. ISBN 0-673-07907-4. Diakses tanggal Agustus 30, 2015.

[5] Stewart, James (2003). Calculus (edisi ke-5th). Belmont, CA: Thomson Learning, Inc. hlm. 687–689. ISBN 0-534-39339-X.

[6] Shah, Jami J.; Martti Mantyla (1995). Parametric and feature-based CAD/CAM: concepts, techniques, and applications. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc. hlm. 29–31. ISBN 0-471-00214-3.

[7] Kalkulus: Tunggal dan Multivariabel. John Wiley. 2012-10-29. hlm. 919. ISBN 9780470888612. OCLC 828768012.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]