Pembagian

20 / 4 = 5, diilustrasikan di sini dengan apel. Ini dikatakan secara lisan, "Dua puluh dibagi empat sama dengan lima."

Pembagian adalah salah satu dari empat operasi dasar aritmetika, cara bilangan digabungkan untuk membuat bilangan baru. Operasi lainnya adalah penambahan, pengurangan, dan perkalian.

Pada tingkat dasar pembagian dua bilangan asli, antara lain kemungkinan interpretasi, proses menghitung berapa kali satu bilangan dimasukkan ke dalam bilangan lain.^:7 Bilangan kali ini tidak selalu merupakan bilangan bulat (bilangan yang diperoleh dengan menggunakan operasi aritmetika lain pada bilangan asli).

Pembagian bersisa atau pembagian Euklides dari dua bilangan asli memberikan hasil bagi bilangan bulat, yang merupakan bilangan kedua benar-benar terkandung dalam bilangan pertama, dan sisa, bagian dari bilangan pertama tersisa, ketika dalam proses menghitung hasil bagi, tidak ada potongan penuh lebih lanjut dari ukuran angka kedua yang dapat dialokasikan.

Agar modifikasi pembagian ini hanya menghasilkan satu hasil tunggal, bilangan asli diperluas ke bilangan rasional (bilangan yang diperoleh dengan menggunakan aritmetika pada bilangan asli) atau bilangan real. Dalam sistem bilangan diperluas, pembagian adalah operasi invers dari perkalian, yaitu a = c / b berarti a × b = c, selama b bukan nol. Jika b = 0, maka ini adalah pembagian dengan nol, yang tidak terdefinisi.^:246

Kedua bentuk pembagian muncul dalam berbagai struktur aljabar, cara yang berbeda untuk mendefinisikan struktur matematika. Dimana pembagian Euclidean (dengan sisa) didefinisikan disebut domain Euclidean dan termasuk gelanggang polinomial dalam satu tak tentu (yang mendefinisikan perkalian dan penambahan pada rumus variabel tunggal). Dimana pembagian (dengan satu hasil) oleh semua elemen bukan nol didefinisikan disebut medan dan gelanggang pembagian. Dalam gelanggang elemen yang selalu memungkinkan pembagian disebut unit (misalnya, 1 dan 1 dalam gelanggang bilangan bulat). Generalisasi lain dari pembagian untuk struktur aljabar adalah grup hasil bagi, dimana hasil dari "pembagian" adalah grup dari bilangan.

Pengantar

Cara paling sederhana untuk melihat pembagian adalah dalam hal kutipan dan partisi: dari sudut pandang kutipan, 20 / 5 berarti jumlah 5 yang harus ditambahkan untuk mendapatkan 20. Dalam hal partisi, 20 / 5 berarti ukuran masing-masing dari 5 bagian dimana satu himpunan ukuran 20 dibagi. Misalnya, 20 apel dibagi menjadi lima kelompok yang terdiri dari empat apel, artinya dua puluh dibagi lima sama dengan empat. Ini dilambangkan sebagai 20 / 5 = 4, atau 205 = 4. Dimana yang dibagi disebut dibagi, yang dibagi dengan pembagi, dan hasilnya disebut bagi. Dalam contoh, 20 adalah yang dibagi, 5 adalah pembagi, dan 4 adalah hasil bagi.

Berbeda dengan operasi dasar lainnya, saat membagi bilangan asli terkadang ada sisa yang tidak akan dibagi rata; misalnya, 10 / 3 menyisakan sisa 1, karena 10 bukan kelipatan 3. Terkadang sisa ini ditambahkan ke hasil bagi sebagai bagian pecahan, jadi 10 / 3 sama dengan 3 13 atau 3.33..., tetapi dalam konteks pembagian bilangan bulat, dimana bilangan tidak memiliki bagian pecahan, sisanya disimpan secara terpisah (atau secara pengecualian, dibuang atau pembulatan). Ketika sisanya disimpan sebagai pecahan, maka itu mengarah ke bilangan rasional. Himpunan semua bilangan rasional dibuat dengan memperluas bilangan bulat dengan semua kemungkinan hasil pembagian bilangan bulat.

Tidak seperti perkalian dan penjumlahan, pembagian bukanlah komutatif, artinya a / b tidak selalu sama dengan b / a. Pembagian juga tidak secara umum asosiatif, artinya ketika membagi beberapa kali, urutan pembagian dapat mengubah hasilnya. Misalnya, (20 / 5) / 2 = 2, melainkan 20 / (5 / 2) = 8, dimana penggunaan tanda kurung menunjukkan bahwa operasi dalam tanda kurung dilakukan sebelum operasi luar tanda kurung.

Pembagian secara tradisional adalah sebagai asosiatif kiri. Artinya, jika ada beberapa pembagian dalam satu baris, urutan perhitungannya dari kiri ke kanan:

$a/b/c=(a/b)/c=a/(b\times c)\neq a/(b/c)=(a\times c)/b.$

Pembagian adalah kanan-distributif atas penambahan dan pengurangan, dalam arti bahwa

${\frac {a\pm b}{c}}=(a\pm b)/c=(a/c)\pm (b/c)={\frac {a}{c}}\pm {\frac {b}{c}}.$

Ini sama untuk perkalian, seperti $(a+b)\times c=a\times c+b\times c$. Namun, pembagian adalah bukan kiri-distributif, karena

${\frac {a}{b+c}}=a/(b+c)\neq (a/b)+(a/c)={\frac {ac+ab}{bc}}.$

Ini tidak seperti kasus perkalian, yang merupakan distributif kiri dan distributif kanan, dan dengan distributif.

Notasi

Plus dan minus. Sebuah obelus digunakan sebagai varian dari tanda minus dalam kutipan dari formulir pernyataan perdagangan resmi Norwegia yang disebut «Næringsoppgave 1» untuk tahun pajak 2010.

Pembagian sering ditunjukkan dalam aljabar dan ilmu pengetahuan dengan menempatkan yang dibagi atas pembagi dengan garis horizontal, juga disebut bilah pecahan, diantara keduanya. Misalnya, "a dibagi dengan b" dapat ditulis sebagai:

${\frac {a}{b}}$

yang juga dapat dibaca dengan lantang sebagai "bagi a dengan b" atau "a atas b". Cara untuk menyatakan pembagian semua dalam satu baris adalah dengan menulis dividen (atau pembilang), kemudian garis miring pembagi (atau penyebut), sebagai berikut:

$a/b$

Ini adalah cara biasa untuk menentukan pembagian dari sebagian besar bahasa pemrograman komputer, karena dapat dengan mudah diketik sebagai urutan karakter ASCII yang sederhana. Beberapa perangkat lunak matematika, seperti MATLAB dan GNU Oktaf, memungkinkan operan ditulis dalam urutan invers dengan menggunakan garis miring invers sebagai operator pembagian:

$b\backslash a$

Variasi tipografi tengah diantara dua bentuk ini menggunakan solidus (garis miring), tetapi menaikkan dibagi dan menurunkan pembagi:

${}^{a}/{}_{b}$

Setiap bentuk ini dapat digunakan untuk pecahan. Pecahan adalah ekspresi pembagian dimana dibagi dan pembagi adalah bilangan bulat (biasanya disebut pembilang dan penyebut), dan tidak ada implikasi bahwa pembagian tersebut harus dievaluasi lebih lanjut. Cara kedua untuk menunjukkan pembagian adalah dengan menggunakan tanda pembagian (÷ juga dikenal sebagai obelus meskipun istilah ini memiliki arti tambahan), yang umum dalam aritmetika, dengan cara berikut ini:

$a\div b$

Bentuk ini jarang terjadi kecuali dalam aritmetika dasar. ISO 80000-2-9.6 menyatakan itu tidak boleh digunakan. Tanda pembagian ini juga digunakan sendiri untuk mewakili operasi pembagian itu sendiri, misalnya sebagai label pada kunci kalkulator. Obelus diperkenalkan oleh matematikawan Swiss Johann Rahn pada tahun 1659 di Teutsche Algebra.^:211 Simbol ÷ digunakan untuk menunjukkan pengurangan di beberapa negara Eropa, sehingga penggunaannya mungkin disalahpahami.

Di beberapa negara yang tidak menggunakan bahasa Inggris, titik dua digunakan untuk menunjukkan pembagian:

$a:b$

Notasi ini diperkenalkan oleh Gottfried Wilhelm Leibniz dalam bukunya tahun 1684 Acta eruditorum.^:295 Leibniz tidak menyukai memiliki simbol terpisah untuk rasio dan pembagian. Namun, dalam penggunaan bahasa Inggris titik dua dibatasi untuk mengekspresikan konsep terkait rasio.

Sejak abad ke-19, buku teks AS telah menggunakan $b)a$ atau $b{\overline {)a}}$ untuk menunjukkan a dibagi dengan b, terutama ketika membahas pembagian panjang. Sejarah notasi ini tidak sepenuhnya jelas karena perkembangan dari seiringnya waktu ke waktu.

Komputasi

Artikel utama: Pembagian panjang dan Algoritma pembagian

Metode manual

Pembagian sering diperkenalkan melalui gagasan "berbagi" satu kumpulan objek, misalnya setumpuk permen, menjadi beberapa bagian yang sama. Mendistribusikan objek beberapa sekaligus dalam setiap putaran pembagian ke setiap bagian mengarah pada gagasan 'potongan' – suatu bentuk pembagian dimana apabila berulang kali mengurangi kelipatan pembagi dari yang dibagi itu sendiri.

Dengan mengizinkan, apabila untuk mengurangi lebih banyak kelipatan yang diizinkan oleh sisa sebagian pada tahap tertentu, metode yang lebih fleksibel, seperti varian dua arah dari potongan, dapat dikembangkan juga.

Lebih sistematis dan lebih efisien, tetapi juga lebih formal, lebih berdasarkan aturan, dan lebih jauh dari gambaran holistik keseluruhan tentang apa yang dicapai pada pembagian, apabila mengetahui tabel perkalian yang membagi dua bilangan bulat dengan pensil dan kertas menggunakan metode pembagian pendek, maka pembaginya kecil, atau jika pembagian panjang, maka pembaginya lebih besar. Jika dividen memiliki bagian pecahan (dinyatakan sebagai pecahan desimal), apabila melanjutkan algoritma melewati satu tempat sejauh yang diinginkan. Jika pembagi memiliki bagian pecahan, apabila menyatakan kembali masalah dengan memindahkan desimal ke kanan di kedua bilangan sampai pembagi tidak memiliki pecahan.

Seseorang dapat menghitung pembagian dengan swipoa.

Apabila jika menggunakan tabel logaritma untuk membagi dua bilangan, dengan mengurangi logaritma kedua bilangan tersebut, maka mencarinya adalah dengan antilogaritma dari hasilnya.

Apabila menghitung pembagian dengan mistar geser dengan menyelaraskan pembagi pada skala C dengan pembagian pada skala D. Hasil bagi dapat ditemukan pada skala D, dimana ia sejajar dengan indeks kiri pada skala C. Pengguna bertanggung jawab, bagaimanapun, untuk secara mental melacak titik desimal.

Dengan komputer atau dengan bantuan komputer

Komputer modern menghitung pembagian dengan metode yang lebih cepat daripada pembagian panjang, dengan yang lebih efisien mengandalkan teknik perkiraan dari analisis numerik. Untuk pembagian dengan sisa, lihat algoritma pembagian.

Dalam aritmetika modular (modulo bilangan prima) dan untuk bilangan real, bilangan bukan nol memiliki invers perkalian. Dalam kasus ini, pembagian dengan x dapat dihitung sebagai darab dengan perkalian invers x. Pendekatan ini sering dikaitkan dengan metode yang lebih cepat dalam aritmetika komputer.

Pembagian dalam konteks yang berbeda

Pembagian Euklides

Artikel utama: Pembagian Euklides

Pembagian Euklides adalah rumusan matematis dari hasil proses biasa pembagian bilangan bulat. Ini menegaskan bahwa, mengingat dua bilangan bulat, a, dibagi, dan b, pembagi, sehingga b ≠ 0, ada unik bilangan bulat q, hasil bagi, dan r, sisanya, sehingga a = bq + r dan 0 ≤ r < |b|, dimana |b | menunjukkan nilai absolut dari b.

Dari bilangan bulat

Bilangan bulat yang bukan tertutup bawah pembagian. Terlepas dari pembagian dengan nol yang tidak terdefinisi, hasil bagi bukanlah bilangan bulat kecuali jika pembagiannya adalah kelipatan bilangan bulat dari pembagi. Misalnya, 26 tidak dapat dibagi dengan 11 untuk menghasilkan bilangan bulat. Kasus seperti itu menggunakan salah satu dari lima pendekatan:

1. Katakanlah bahwa 26 tidak dapat dibagi dengan 11; pembagian menjadi fungsi parsial.
2. Berikan jawaban perkiraan sebagai bilangan "real". Ini adalah pendekatan yang biasanya diambil dalam komputasi numerik.
3. Berikan jawabannya sebagai pecahan yang mewakili bilangan rasional, jadi hasil pembagian 26 dengan 11 adalah ${\tfrac {26}{11}}$ (atau sebagai bilangan campuran, jadi ${\tfrac {26}{11}}=2{\tfrac {4}{11}}$). Biasanya pecahan yang dihasilkan harus disederhanakan: hasil pembagian 52 dengan 22 juga ${\tfrac {26}{11}}$. Penyederhanaan ini dilakukan dengan faktor pembagi persekutuan terbesar.
4. Berikan jawaban sebagai bilangan bulat bagi hasil dan sisa, jadi ${\tfrac {26}{11}}=2{\mbox{ sisa }}4.$ Untuk membedakan dengan kasus sebelumnya, pembagian ini, dengan dua bilangan bulat sebagai hasilnya, terkadang disebut pembagian Euklides, karena ini adalah dasar dari algoritma Euklides.
5. Diberikan hasil bagi bilangan bulat sebagai jawabannya, jadi ${\tfrac {26}{11}}=2.$ Ini adalah fungsi lantai, juga terkadang disebut pembagian bilangan bulat pada tingkat dasar.

Membagi bilangan bulat dalam program komputer membutuhkan perhatian khusus. Beberapa bahasa pemrograman, seperti C, memperlakukan pembagian bilangan bulat seperti pada kasus 5 di atas, jadi jawabannya adalah bilangan bulat. Bahasa lain, seperti MATLAB dan setiap sistem aljabar komputer mengembalikan bilangan rasional sebagai jawabannya, seperti pada kasus 3 di atas. Bahasa-bahasa ini juga menyediakan fungsi untuk mendapatkan hasil dari kasus lain, baik secara langsung maupun dari hasil kasus 3.

Nama dan simbol yang digunakan untuk pembagian bilangan bulat termasuk bagi, /, \, dan %. Definisi bervariasi mengenai pembagian bilangan bulat ketika dividen atau pembagi negatif: pembulatan mungkin menuju nol (disebut pembagian-T) atau menuju −∞ (pembagian-F); gaya yang lebih jarang dapat dilihat – sebagai operasi modulo untuk detailnya.

Kaidah pembagian kadang-kadang dapat digunakan untuk menentukan dengan cepat apakah satu bilangan bulat membagi tepat ke bilangan bulat lainnya.

Dari bilangan rasional

Hasil pembagian dua bilangan rasional adalah bilangan rasional lain jika pembaginya bukan 0. Pembagian dua bilangan rasional p/q dan r/s dapat dihitung sebagai

${p/q \over r/s}={p \over q}\times {s \over r}={ps \over qr}.$

Keempat kuantitas adalah bilangan bulat, dan p hanya 0. Definisi ini memastikan bahwa pembagian adalah operasi kebalikan dari perkalian.

Dari bilangan real

Pembagian dua bilangan real menghasilkan bilangan real lain (bila pembaginya bukan nol). Didefinisikan sedemikian rupa sehingga a/b = c jika dan hanya jika a = cb dan b ≠ 0.

Dari bilangan kompleks

Membagi dua bilangan kompleks (bila pembaginya bukan nol) menghasilkan bilangan kompleks lain, yang ditemukan menggunakan konjugat penyebut:

${p+iq \over r+is}={(p+iq)(r-is) \over (r+is)(r-is)}={pr+qs+i(qr-ps) \over r^{2}+s^{2}}={pr+qs \over r^{2}+s^{2}}+i{qr-ps \over r^{2}+s^{2}}.$

Proses perkalian dan pembagian dengan $r-is$ ini disebut 'realisasi' atau (dengan analogi) rasionalisasi. Keempat besaran p, q, r, s adalah bilangan real, dan r dan s keduanya tidak harus 0.

Pembagian bilangan kompleks yang dinyatakan dalam bentuk polar lebih sederhana daripada definisi diatas:

${pe^{iq} \over re^{is}}={pe^{iq}e^{-is} \over re^{is}e^{-is}}={p \over r}e^{i(q-s)}.$

Sekali lagi keempat kuantitas p, q, r, s adalah bilangan real, dan r adalah bukan 0.

Dari polinomial

Apabila mendefinisikan operasi pembagian untuk polinomial dalam satu variabel melalui medan. Kemudian, seperti dalam kasus bilangan bulat, satu memiliki sisa. Lihat pembagian polinomial Euklides, dan, untuk perhitungan tulisan tangan, pembagian panjang polinomial atau pembagian sintetik.

Dari matriks

Seseorang dapat mendefinisikan operasi pembagian untuk matriks. Cara yang biasa dilakukan adalah dengan mendefinisikan A / B = AB⁻¹, dimana B⁻¹ menunjukkan inverse dari B, tetapi jauh lebih umum untuk menuliskan AB⁻¹ secara eksplisit untuk menghindari kebingungan. Sebuah pembagian elemen juga didefinisikan dalam hal darab Hadamard.

Pembagian kiri dan kanan

Karena perkalian matriks bukan komutatif, apabila mendefinisikan pembagian kiri atau yang disebut pembagian-garis miring invers sebagai A \ B = A⁻¹B. Agar ini didefinisikan dengan baik, B⁻¹ tidak perlu ada, namun A^–1 memang perlu ada. Untuk menghindari kebingungan, pembagian seperti yang didefinisikan oleh A / B = AB⁻¹ kadang-kadang disebut pembagian kanan atau pembagian garis miring dalam bagian ini.

Perhatikan bahwa dengan pembagian kiri dan kanan didefinisikan dengan cara ini, A / (BC) secara umum tidak sama dengan (A / B) / C, juga (AB) \ C sama dengan A \ (B \ C). Namun, menyatakan bahwa A / (BC) = (A / C) / B dan (AB) \ C = B \ (A \ C).

Invers semu

Untuk menghindari masalah ketika A⁻¹ dan/atau B⁻¹ tidak ada, pembagian juga didefinisikan sebagai perkalian dengan invers semu. Yaitu, A / B = AB⁺ dan A \ B = A⁺B, dimana A⁺ dan B⁺ menunjukkan invers semu dari A dan B.

Aljabar abstrak

Dalam aljabar abstrak, diberikan magma dengan operasi biner (yang secara nominal dapat disebut perkalian), pembagian kiri dari b oleh a (ditulis a \ b) biasanya didefinisikan sebagai solusi x untuk persamaan a ∗ x = b, jika ini adalah keujudan dan unik. Demikian pula, pembagian kanan dari b oleh a (ditulis b / a) adalah solusi y untuk persamaan y ∗ a = b. Pembagian dalam pengertian ini tidak memerlukan ∗ untuk memiliki sifat tertentu (seperti komutatifitas, asosiatifitas, atau elemen identitas).

"Pembagian" dalam arti "pembatalan" apabila dilakukan di magma oleh elemen dengan sifat pembatalan. Contohnya termasuk matriks aljabar dan kuaternion aljabar. Sebuah grup semu adalah struktur dimana pembagian selalu mungkin, bahkan tanpa elemen identitas dan karenanya invers. Dalam ranah integral, dimana tidak setiap elemen perlu memiliki invers, pembagian oleh elemen pembatalan a masih dilakukan pada elemen bentuk ab atau ca dengan pembatalan kiri atau kanan, masing-masing. Jika sebuah gelanggang hingga dan setiap elemen bukan nol adalah kanselatif, maka dengan penerapan prinsip rumah burung, setiap elemen bukan nol dari gelanggang invers, dan "pembagian" oleh elemen bukan nol adalah mungkin. Untuk mempelajari tentang aljabar (dalam pengertian teknis) memiliki operasi pembagian, lihat halaman di aljabar pembagian. Khususnya periodisitas Bott apabila digunakan untuk menunjukkan bahwa real aljabar pembagian norma isomorfik ke salah satu bilangan real R, bilangan kompleks C, kuaternion H, atau oktonion O.

Kalkulus

Turunan dari hasil bagi dua fungsi diberikan oleh kaidah hasil bagi:

${\left({\frac {f}{g}}\right)}'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}.$

Pembagian dengan nol

Artikel utama: Pembagian dengan nol

Pembagian bilangan dengan nol sebagian besar sistem matematika tidak terdefinisi, karena nol dikalikan dengan bilangan hingga dengan hasil darab nol. Masuknya ekspresi seperti itu ke sebagian besar kalkulator menghasilkan pesan kesalahan. Namun, dalam matematika tingkat tinggi tertentu pembagian dengan nol dimungkinkan oleh gelanggang nol dan aljabar seperti roda. Dalam aljabar ini, arti pembagian berbeda dari definisi tradisional.

Lihat pula

• Algoritma pembagian Sunzi 400AD
• Pembagian dua
• Pembagian dapur
• Elemen invers
• Urutan operasi
• Desimal berulang

Pranala luar

• Planetmath pembagian
• Pembagian pada swipoa Jepang dipilih dari Swipoa: Misteri Manik-manik
• Teknik Pembagian Pendek Tiongkok pada Suan Pan
• Kaidah pembagian Diarsipkan 2015-05-03 di Wayback Machine.