Sifat pembatalan

himpunan properti matematika terkait

Dalam matematika, pengertian dari pembatal adalah perampatan dari gagasan terbalikkan.

Sifat-sifat diantaranya adalah:

  • Unsur   dalam magma   memiliki sifat pembatalan ruas kiri jika untuk semua   dan   pada  ,   selalu menyiratkan bahwa  .
  • Unsur   pada magma   memiliki sifat pembatalan ruas kanan jika untuk semua   dan   pada  ,   selalu menyiratkan  .
  • Unsur   dalam magma   memiliki sifat pembatalan kedua ruas jika keduanya adalah pembatalan ruas kiri dan ruas kanan.
  • Magma   memiliki sifat pembatalan kiri jika semua   di magma adalah sifat membatalkan ruas kiri, dan definisi serupa berlaku untuk sifat membatalkan ruas kanan atau sifat membatalkan kedua ruas.
  • Unsur terbalikkan ruas kiri adalah pembatalan kiri, dan ini sejalan untuk ruas kanan dan kedua ruas.

Contoh mengenai sifat pembatalan, ialah: setiap kuasigrup, dan dengan demikian setiap grup, bersifat membatalkan.

Interpretasi

sunting

Untuk mengatakan bahwa unsur   dalam magma   adalah pembatal-kiri, artinya fungsinya   adalah injektif.[1] Bahwa fungsi   adalah injeksi menyiratkan bahwa diberikan beberapa persamaan bentuk  , di mana satu-satunya yang tidak diketahui adalah  , hanya ada satu kemungkinan nilai   memenuhi persamaan. Lebih tepatnya, kita dapat mendefinisikan suatu fungsi  , kebalikan dari  , sehingga untuk semua  ,  . Dengan kata lain, untuk semua   dan   pada  , jika  , maka  .[2]

Contoh monoid pembatalan dan semigrup

sunting

Bilangan bulat positif (sama-sama taknegatif) membentuk sebuah pembatal semigrup terhadap penambahan. Bilangan bulat taknegatif membentuk pembatalan monoid di bawah penambahan.

Faktanya, semigrup atau monoid bebas mana pun mematuhi hukum pembatalan, dan secara umum, suatu semigrup atau monoid yang membenamkan ke dalam grup (seperti yang dengan jelas ditunjukkan dalam contoh di atas) akan mematuhi hukum pembatalan.

Dalam nada yang berbeda, (subgrup dari) semigrup perkalian unsur dari gelanggang yang bukan pembagi nol (yang hanya merupakan himpunan dari semua unsur bukan nol jika cincin yang dimaksud adalah ranah, seperti bilangan bulat) memiliki sifat pembatalan. Perhatikan bahwa ini tetap valid.

Struktur aljabar takmembatalkan

sunting

Meskipun hukum pembatalan berlaku untuk penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian bilangan real dan bilangan kompleks (dengan pengecualian tunggal perkalian dengan nol dan pembagian nol dengan bilangan lain), ada sejumlah struktur aljabar di mana hukum pembatalan tidak sah.

Perkalian silang dari dua vektor tidak mematuhi hukum pembatalan. Jika  , maka ini tidak mengikuti bahwa   bahkan jika  .

Perkalian matriks juga tidak selalu mematuhi hukum pembatalan. Jika   dan  , maka salah satunya harus menunjukkan bahwa matriks   terbalikkan (yaitu memiliki  , dimana   berarti determinan) sebelum salah satunya dapat menyimpulkan  . Jika  , maka   mungkin tidak sama dengan  , karena matriks persamaan   tidak akan memiliki penyelesaian tunggal untuk matriks   takterbalikkan.

Perhatikan juga bahwa jika   dan   dan matriks   adalah terbalikkan (yaitu memiliki  ), itu belum tentu benar  . Pembatalan hanya bekerja untuk persamaan   dan   (asalkan matriks itu   adalah terbalikkan) dan bukan untuk persamaan   dan  .

Lihat pula

sunting

Referensi

sunting
  1. ^ Warner, Seth (1965). Modern Algebra Volume I. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, Inc. hlm. 50. 
  2. ^ Warner, Seth (1965). Modern Algebra Volume I. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, Inc. hlm. 48.