Pengurangan (teori model)

Dalam aljabar semesta dan teori model, pengurangan struktur aljabar diperoleh dengan menghilangkan suatu dari operasi dan relasi mengenai struktur tersebut. Kebalikan "pengurangan" adalah "pengembangan"

Definisi

Misalkan $A$ menjadi struktur aljabar (dalam arti aljabar semesta) atau sebuah struktur dalam arti teori model, disusun sebagai sebuah himpunan $X$ bersama dengan sebuah keluarga berindeks operasi dan relasi $\varphi _{i}$ pada himpunan tersebut, dengan himpunan indeks $I$. Maka pengurangan $A$ didefinisikan oleh sebuah himpunan bagian $J$ dari $I$ adalah struktur terdiri dari himpunan $X$ dan keluarga berindeks-$J$ mengenai operasi dan relasi yang operasi atau relasi ke-$j$ untuk $j\in J$ adalah operasi atau relasi ke-$j$ dari $A$. Yaitu, pengurangan ini adalah sturktu $A$ dengan penghilangan mengenai operasi-operasi tersebut dan relasi $\varphi _{i}$ yang mana $i$ tidak di dalam $J$.

Sebuah struktur $A$ adalah sebuah pengembangan dari $B$ ketika $B$ adalah sebuah pengurangan dari $A$. Yakni, pengurangan dan pengembangan adalah kebalikan bersama.

Contoh-contoh

Monoid $(\mathbb {Z} ,+,0)$ mengenai bilangan bulat terhadap penambahan adalah pengurangan dari grup $(\mathbb {Z} ,+,-,0)$ mengenai bilangan bulat terhadap penambahan dan negasi, diperoleh denngan menghilangkan negasi. Dengan membandingkannya, monoid $(\mathbb {N} ,+,0)$ mengenai bilangan asli terhadap penambahan bukanlah pengurangan suatu grup.

Sebaliknya grup $(\mathbb {Z} ,+,-,0)$ merupakan pengembangan dari monoid $(\mathbb {Z} ,+,0)$, memperluasnya dengan operasi negasi.

Referensi

• Burris, Stanley N.; H. P. Sankappanavar (1981). A Course in Universal Algebra. Springer. ISBN 3-540-90578-2. 
• Hodges, Wilfrid (1993). Model theory. Cambridge University Press. ISBN 0-521-30442-3.