Pemetaan harmonik

Pemetaan (halus) φ:M→N antara manifold Riemannian M dan N disebut harmonik jika ia adalah titik kritis dari fungsional energi E(φ).

Fungsional E ini akan didefinisikan secara presisidi bawah - satu cara memahaminya adalah membayangkan bahwa M dibuat dari karet dan N dibuat dari pualam (bentuk mereka diberikan oleh masing-masing mereka metrik), dan bahwasannya pemetaan φ:M→N menentukan bagaimana kita "menerapkan" karet ke pualam: E(φ) kemudian mewakili jumlah total energi potensial elastik yang dihasilkan dari tegangan dalam karet. Dalam konteks ini, φ dianggap sebagai pemetaan harmonik jika karet, saat "dilepaskan" namun tetap terikat pada setiap titik kontak dengan pualam, secara alami menemukan posisi keseimbangannya tanpa bergeser atau berubah ke bentuk lain.

Pemetaan harmonik diperkenalkan pada tahun 1964 oleh J. Eells dan J.H. Sampson.

Definisi matematika

Diberikan M, N dan φ seperti di atas, nyatakan dengan g dan h metrik pada M dan N. Maka energi φ pada titik x dalam M didefinisikan sebagai e(φ)(x)=$\textstyle {\frac {1}{2}}$trace_gφ^*h.

Dalam koordinat lokal, sisi sebelah kanan dari persamaan ini terbaca $\textstyle {\frac {1}{2}}g^{ij}h_{\alpha \beta }{\frac {\partial \varphi ^{\alpha }}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial \varphi ^{\beta }}{\partial x^{j}}}$.

Jika M adalah kompak, definisikan energi total pemetaan φ sebagai E(φ)=$\textstyle \int$_Me(φ)dv_g (dimana dv_g menyatakan ukuran pada M yang diinduksi oleh metriknya).

Maka φ disebut pemetaan harmonik jika ia adalah titik kritis fungsional energi E. Definisi ini diperluas terhadap kasus dimana M tidak kompak dengan menanyakan pembatasan φ terhadap setiap domain kompak menjadi harmonik [1].