Kategori modul

Dalam aljabar, diberi gelanggang R, kategori modul kiri di atas R adalah kategori yang objek semuanya tersisa modul di atas R . Misalnya, jika R adalah ring integer s 'Z' , itu sama dengan kategori grup abelian. Kategori modul yang tepat didefinisikan dengan cara yang serupa.

Catatan: Beberapa penulis menggunakan istilah kategori modul untuk kategori modul. Istilah ini bisa ambigu karena bisa juga merujuk ke kategori dengan tindakan kategori-monoid.

Sifat

Kategori modul kiri dan kanan adalah kategori abelian. Kategori ini memiliki proyektif cukup dan injeksi cukup. Teorema embedding Mitchell menyatakan setiap kategori abelian muncul sebagai subkategori lengkap dari kategori modul.

Limit proyektif dan batas induktif ada dalam kategori modul kiri dan kanan.

Di atas gelanggang komutatif, bersama dengan hasil kali tensor modul ⊗, kategori modul adalah kategori monoidal simetris.

Kategori ruang vektor

kategori K-Vekt (beberapa penulis menggunakan Vekt_K) memiliki semua ruang vektor di atas bidang K sebagai objek, dan K - peta linier sebagai morfisme. Karena ruang vektor di atas K (sebagai bidang) sama dengan modul di atas gelanggang K, K-Vect adalah kasus khusus R-Mod, kategori kiri R - modul.

Banyak dari aljabar linier berkaitan dengan deskripsi K-Vekt. Misalnya, teorema dimensi untuk ruang vektor mengatakan bahwa kelas isomorfisme ada di K-Vect sesuai persis dengan bilangan kardinal, dan itu K-Vekt adalah ekuivalen dengan subkategori dari K-Vekt yang memiliki ruang vektor sebagai objeknya Kⁿ, dengan n adalah bilangan kardinal.

Generalisasi

Kategori berkas modul di atas ruang berdering juga memiliki cukup suntikan (meskipun tidak selalu cukup proyektif).

Lihat pula

• Teori-K aljabar (invarian penting dari kategori modul.)
• Kategori gelanggang
• Kategori turunan
• Spektrum modul
• Kategori ruang vektor bertingkat
• Kategori grup abelian
• Kategori representasi

Referensi

• Bourbaki, Algèbre; "Algèbre linéaire."
• Dummit, David; Foote, Richard. Abstract Algebra.
• Mac Lane, Saunders (September 1998). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics. 5 (edisi ke-second). Springer. ISBN 0-387-98403-8. Zbl 0906.18001. 

Pranala luar

• http://ncatlab.org/nlab/show/Mod