Kategori gelanggang

Dalam matematika, kategori gelanggang, dilambangkan dengan Gelanggang, adalah kategori yang objeknya adalah gelanggang (dengan identitas) dan yang morfisme adalah homomorfisme gelanggang (yang melestarikan identitas). Seperti banyak kategori dalam matematika, kategori gelanggang adalah besar, yang berarti bahwa kelas dari semua cincin adalah layak.

Sebagai kategori konkrit

Kategori Gelanggang adalah kategori beton yang berarti bahwa objek tersebut himpunan dengan struktur tambahan (penjumlahan dan perkalian) dan morfisme adalah fungsi yang mempertahankan struktur ini. Ada fungsi pelupa alami

U : Gelanggang → Himpunan

untuk kategori gelanggang ke kategori himpunan yang mengirimkan setiap gelanggang ke set yang mendasarinya (sehingga "melupakan" operasi penjumlahan dan perkalian). Funktor ini memiliki penyambung kiri

F : Himpunan → Gelanggang

which assigns to each set X the free ring generated by X.

Seseorang juga dapat melihat kategori gelanggang sebagai kategori konkret di atas Ab (kategori grup abelian) atau di atas Mon (kategori monoid). Secara khusus, ada fungsi pelupa

A : Gelanggang → Ab

M : Gelanggamg → Mon

yang masing-masing "melupakan" perkalian dan penjumlahan. Kedua fungsi ini meninggalkan adjoint. Adjoint kiri A adalah functor yang menetapkan ke setiap grup abelian X (dianggap sebagai Z- modul ) gelanggang tensor T ( X ). Adjoint kiri M adalah functor yang menetapkan ke setiap monoid X integral gelanggang monoid Z[X].

Limit dan kolimit

Kategori Gelanggang keduanya lengkap dan lengkap, yang berarti bahwa semua batas dan kolom kecil ada di Gelanggang. Seperti banyak kategori aljabar lainnya, functor pelupa U : Gelanggang → Himpunan membuat (dan mempertahankan) batas dan kolimit filter, tetapi tidak mempertahankan produk bersama atau penggabung. Fungsi pelupa untuk Ab dan Mon juga membuat dan mempertahankan batasan.

Morfisme

Artikel utama: gelanggang homomorfisme

Tidak seperti banyak kategori yang dipelajari dalam matematika, tidak selalu ada morfisme antara pasangan objek dalam Gelanggang. Ini adalah konsekuensi dari fakta bahwa homomorfisme cincin harus menjaga identitas. Misalnya, tidak ada morfisme dari gelanggang nol 0 ke gelanggang bukan nol. Suatu kondisi yang diperlukan untuk menjadi morfisme dari R ke S adalah bahwa karakteristik dari S membagi bahwa dari R .

Perhatikan bahwa meskipun beberapa hom-set kosong, kategori Gelanggan masih terhubung karena memiliki objek awal.

Sifat lainnya

• Satu-satunya objek injeksi dalam Gelanggang hingga isomorfisme adalah gelanggang nol (yaitu objek terminal).
• Jika tidak memiliki morfisme nol, kategori cincin tidak boleh menjadi kategori preadditif. (Namun, setiap gelanggang — dianggap sebagai kategori kecil dengan satu objek — adalah kategori pra-tambahan).
• Kategori cincin adalah kategori monoidal simetris dengan hasil kali tensor gelanggang ⊗_Z sebagai produk monoid dan Gelanggang bilangan bulat Z sebagai objek satuan. Ini mengikuti dari teorema Eckmann–Hilton, bahwa monoid di Gelanggang hanyalah sebuah gelanggang komutatif.

Referensi

• Adámek, Jiří; Horst Herrlich; George E. Strecker (1990). Abstract and Concrete Categories (PDF). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2015-04-21. Diakses tanggal 2020-11-15. 
• Mac Lane, Saunders; Garrett Birkhoff (1999). Algebra (edisi ke-(3rd ed.)). Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1646-2. 
• Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics 5 (edisi ke-(2nd ed.)). Springer. ISBN 0-387-98403-8.