Definisi limit (ε, δ)

formalisasi gagasan batas


Dalam kalkulus, definisi limit-(ε, δ) (dibaca "definisi limit epsilondelta) adalah formalisasi dari pengertian limit. Konsep tersebut karena Augustin-Louis Cauchy, yang tidak pernah memberi nilai definisi limit () dalam Cours d'Analyse, tetapi terkadang digunakan argumen dalam bukti. Ini pertama kali diberikan sebagai definisi formal oleh Bernard Bolzano pada tahun 1817, dan pernyataan modern yang pasti akhirnya diberikan oleh Karl Weierstrass.[1][2] Hal tersebut memberikan ketelitian pada gagasan informal berikut: ungkapan tergantung mendekati nilai , sebagai variabel mendekati nilai jika dapat dibuat sedekat , dengan mengambil nilai yang cukup dekat dengan nilai .

Apabila titik berada di satuan dari , berada di satuan dari

Sejarah

sunting

Meskipun orang Yunani memeriksa proses pembatasan, seperti metode Babilonia, mereka mungkin tidak memiliki konsep yang mirip dengan modern limit.[3] Ketentuan konsep limit muncul pada tahun 1600-an, ketika Pierre de Fermat berusaha menemukan kelerengan dari garis tangen pada suatu titik   dari fungsi seperti  . Menggunakan kuantitas taknol tetapi hampir nol,  , Fermat melakukan perhitungan berikut:

 

Kunci dari perhitungan di atas adalah sejak   taknol, salah satunya dapat membagi   dari  , tapi ketika   dekat dengan  ,   pada dasarnya adalah  .[4] Kuantitas seperti   disebut infinitesimal. Masalah dengan perhitungan ini adalah bahwa para matematikawan zaman itu tidak dapat secara tepat mendefinisikan kuantitas dengan sifat  ,[5] meskipun itu adalah praktik umum untuk 'mengabaikan' infinitesimal pangkat yang lebih tinggi dan ini tampaknya membuahkan hasil yang benar.

Masalah ini muncul kembali kemudian pada tahun 1600an di pusat perkembangan kalkulus, karena perhitungan seperti Fermat penting untuk perhitungan turunan. Isaac Newton kalkulus yang dikembangkan pertama kali melalui jumlah yang sangat kecil yang disebut fluks. Dia mengembangkannya dengan mengacu pada gagasan tentang "momen waktu yang sangat kecil..."[6] Namun, Newton kemudian menolak fluks demi teori rasio yang mendekati modern   definisi limit.[6] Selain itu, Newton menyadari bahwa limit rasio kuantitas lenyap adalah bukan rasio itu sendiri, saat ia menulis:

Rasio terakhirnya ... sebenarnya bukan rasio kauntitas terakhirnya, tetapi limit ... yang mana ini dapat didekatkan lebih dekat bahwa perbedaannya lebih kecil dari suatu kuantitas yang diberikan...

Sebagai tambahan, Newton terkadang menjelaskan limit dalam istilah yang serupa dengan definisi epsilon–delta.[7] Gottfried Wilhelm Leibniz mengembangkan sebuah infinitesimal oleh dirinya dan mencoba untuk memberikannya dengan sebuah dasar yang setepat-tepatnya, tetapi ini tetap disambut dengan gelisah oleh beberapa matematikawan dan para filsafat.[8]

Augustin-Louis Cauchy memberikan sebuah definisi limit dalam hal gagasan lebih primitif yang disebut sebuah kuantitas variabel. Dia tidak pernah memberikan epsilon–delta definisi limit (Grabiner 1981). Beberapa bukti Cauchy berisi indikasi metode epsilon–delta. Whether or not his foundational approach can be considered a harbinger of Weierstrass's is a subject of scholarly dispute. Grabiner feels that it is, while Schubring (2005) disagrees.[diragukan][1] Nakane concludes that Cauchy and Weierstrass gave the same name to different notions of limit.[9][sumber tepercaya?]

Eventually, Weierstrass and Bolzano are credited with providing a rigorous footing for calculus, in the form of the modern   definition of the limit.[1][10] The need for reference to an infinitesimal   was then removed,[11] and Fermat's computation turned into the computation of the following limit:

 

This is not to say that the limiting definition was free of problems as, although it removed the need for infinitesimals, it did require the construction of the real numbers by Richard Dedekind.[12] This is also not to say that infinitesimals have no place in modern mathematics, as later mathematicians were able to rigorously create infinitesimal quantities as part of the hyperreal number or surreal number systems. Moreover, it is possible to rigorously develop calculus with these quantities and they have other mathematical uses.[13]

Contoh yang bekerja

sunting

Contoh 1

sunting

Ini akan menunjukkan bahwa

 .

Diberikan  ,   diperlukan sehingga   menyiratkan  .

Karena sinus dibatasi di atas   dan di bawahnya oleh  ,

 

Demikianlah, jika   dipilih, maka   menyiratkan  , yang melengkapi buktinya.

Contoh 2

sunting

Pernyataan

 

akan dibuktikan untuk suatu bilangan real  .

Diberikan  ,   akan ditemukan sehingga   menyiratkan  .

Dimulai dengan memfaktorkan:

 .

Istilah   dibatasi oleh   jadi batas dari 1 dapat kita misalkan, dan kemudian sesuatu yang lebih kecil daripadanya dapat diambil untuk  .[14]

Jadi, ini dianggap bahwa  . Karena   berlaku pada umumnya untuk bilangan real   dan  , kita memiliki

 .

Dengan demikian,

 .

Dengan demikian, melalui pertidaksamaan segitiga,

 

Dengan demikian, jika kita menganggapnya lebih jauh bahwa

 

maka

 

Singkatnya,   adalah himpunannya.

Jadi, jika  , maka

 

Dengan demikian, kita memiliki sebuah   sehingga   menyiratkan  . Dengan demikian, kita telah menunjukkan bahwa

 

untuk suatu bilangan real  .

Contoh 3

sunting

Pernyataan

 

akan dibuktikan.

Ini mudah dibuktikan melalui pemahaman grafis limit, dan demikian berfungsi sebagai dasar-dasar yang kuat untuk induksi pembuktiannya. Menurut definisi formal di atas, sebuah pernyataan limit adalah benar jika dan hanya jika membatasi   ke satuan   dari   akan pasti membatasi   ke satuan   dari  . Dalam kasus yang spesifik, ini berarti bahwa pernyataan tersebut benar jika dan hanya jika membatasi   ke satuan   dari 5 akan pasti membatasi

 

ke satuan   dari 12. Kunci secara keseluruhan untuk membuktikan implikasi ini adalah untuk menunjukkan bagaimana   dan   harus berkaitan dengan satu sama lain sehingga implikasinya berlaku. Secara matematis, ini akan menunjukkan bahwa

 .

Dengan menyederhanakan, memfaktorkan, dan membagi 3 di ruas kanan implikasi menghasilkan

 ,

yang secara langsung memberikan nilai yang diperlukan jika

 

dipilih.

Dengan demikian, buktinya terselesaikan. Kunci mengenai bukti tersebut terletak dalam kemampuan salah satunya untuk memilih batas-batas di  , dam kemudian menyimpulkan batas-batas berpadanan di  , yang mana dalam kasus ini berkaitan dengan sebuah faktor dari 3, yang secara keseluruhan karena kemiringan dari 3 di garis

 .

Kekontinuan

sunting

Sebuah fungsi   dikatakan kontinu di   jika keduanya didefinisikan di   dan nilainya di   sama dengan limit dari   ketika   mendekati  :

 .

Definisi   untuk sebuah fungsi kontinu dapat diperoleh dari definisi limit dengan menggantikan   dengan  , untuk memastikan bahwa   didefinisikan di   dan sama dengan limitnya.

Sebuah fungsi   dikatakan kontinu di selang   jiak fungsi   kontinu di setiap titik   dari  .

Perbandingan dengan definisi infinitesimal

sunting

Keisler proved that a hyperreal definition of limit reduces the logical quantifier complexity by two quantifiers.[15] Namely,   converges to a limit L as   tends to a if and only if the value   is infinitely close to L for every infinitesimal e. (See Microcontinuity for a related definition of continuity, essentially due to Cauchy.)

Infinitesimal calculus textbooks based on Robinson's approach provide definitions of continuity, derivative, and integral at standard points in terms of infinitesimals. Once notions such as continuity have been thoroughly explained via the approach using microcontinuity, the epsilon–delta approach is presented as well. Karel Hrbáček argues that the definitions of continuity, derivative, and integration in Robinson-style non-standard analysis must be grounded in the εδ method, in order to cover also non-standard values of the input.[16] Błaszczyk et al. argue that microcontinuity is useful in developing a transparent definition of uniform continuity, and characterize the criticism by Hrbáček as a "dubious lament".[17] Hrbáček proposes an alternative non-standard analysis, which (unlike Robinson's) has many "levels" of infinitesimals, so that limits at one level can be defined in terms of infinitesimals at the next level.[18]

Keluarga definisi limit formal

sunting

Tidak ada definisi limit yang tunggal - adanya seluruh definisi keluarga. Ini dikarenakan kehadiran takhingga, dan konsep limit "dari sebelah kanan"" dan "dari sebelah kiri". Limit itu sendiri dapat menjadi sebuah nilai terhingga,  , atau  . Nilai yang mendekati oleh   juga dapat menjadi nilai terhingga,  , atau  , dan jika ini merupakan sebuah nilai terhingga, ini dapat mendekati dari kiri atau dari kanan. Biasanya, setiap kombinasinya diberikan definisi itu sendiri, seperti di bawah ini:

NotasiDefinisiContoh
               
               
               
              
              
              
              
              
             
             
              
              
              
             
             

Lihat pula

sunting

Referensi

sunting
  1. ^ a b c Grabiner, Judith V. (Maret 1983), "Siapa yang Memberi Anda Epsilon? Cauchy dan Origins of Rigorous Calculus" (PDF), The American Mathematical Monthly, 90 (3): 185–194, doi:10.2307/2975545, JSTOR 2975545, diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2009-05-04, diakses tanggal 2009-05-01 
  2. ^ Cauchy, A.-L. (1823), "Septième Leçon – Valeurs de quelques expressions qui se présentent sous les formes indéterminées   Relation qui existe entre le rapport aux différences finies et la fonction dérivée", Résumé des leçons données à l'école royale polytechnique sur le calcul infinitésimal, Paris, diarsipkan dari versi asli tanggal 2009-05-04, diakses tanggal 2009-05-01, p. 44.  . Accessed 2009-05-01.
  3. ^ Stillwell, John (1989). Matematika dan Sejarahnya . New York: Springer-Verlag. hlm. 38–39. ISBN 978-1-4899-0007-4. 
  4. ^ Stillwell, John (1989). Matematika dan Sejarahnya . New York: Springer-Verlag. hlm. 104. ISBN 978-1-4899-0007-4. 
  5. ^ Stillwell, John (1989). Matematika dan Sejarahnya . New York: Springer-Verlag. hlm. 106. ISBN 978-1-4899-0007-4. 
  6. ^ a b Buckley, Benjamin Lee (2012). Perdebatan kontinuitas: Dedekind, Cantor, du Bois-Reymond dan Peirce tentang kontinuitas dan infinitesimal. hlm. 31. ISBN 9780983700487. 
  7. ^ Pourciau, B. (2001), "Newton and the Notion of Limit", Historia Mathematica, 28 (1): 18–30, doi:10.1006/hmat.2000.2301 
  8. ^ Buckley, Benjamin Lee (2012). The continuity debate : Dedekind, Cantor, du Bois-Reymond and Peirce on continuity and infinitesimals. hlm. 32. ISBN 9780983700487. 
  9. ^ Nakane, Michiyo. Did Weierstrass's differential calculus have a limit-avoiding character? His definition of a limit in εδ style. BSHM Bull. 29 (2014), no. 1, 51–59.
  10. ^ Cauchy, A.-L. (1823), "Septième Leçon - Valeurs de quelques expressions qui se présentent sous les formes indéterminées   Relation qui existe entre le rapport aux différences finies et la fonction dérivée", Résumé des leçons données à l'école royale polytechnique sur le calcul infinitésimal, Paris, diarsipkan dari versi asli tanggal 2009-05-04, diakses tanggal 2009-05-01, p. 44.  .
  11. ^ Buckley, Benjamin Lee (2012). The continuity debate : Dedekind, Cantor, du Bois-Reymond and Peirce on continuity and infinitesimals. hlm. 33. ISBN 9780983700487. 
  12. ^ Buckley, Benjamin Lee (2012). The continuity debate : Dedekind, Cantor, du Bois-Reymond and Peirce on continuity and infinitesimals. hlm. 32–35. ISBN 9780983700487. 
  13. ^ Tao, Terence (2008). Structure and randomness : pages from year one of a mathematical blog. Providence, R.I.: American Mathematical Society. hlm. 95–110. ISBN 978-0-8218-4695-7. 
  14. ^ Spivak, Michael (2008). Kalkulus  (edisi ke-4th). Houston, Tex.: Publish or Perish. hlm. 95. ISBN 978-0914098911. 
  15. ^ Keisler, H. Jerome (2008), "Quantifiers in limits" (PDF), Andrzej Mostowski and foundational studies, IOS, Amsterdam, hlm. 151–170 
  16. ^ Hrbacek, K. (2007), "Stratified Analysis?", dalam Van Den Berg, I.; Neves, V., The Strength of Nonstandard Analysis, Springer 
  17. ^ Błaszczyk, Piotr; Katz, Mikhail; Sherry, David (2012), "Ten misconceptions from the history of analysis and their debunking", Foundations of Science, 18: 43–74, arXiv:1202.4153 , Bibcode:2012arXiv1202.4153B, doi:10.1007/s10699-012-9285-8 
  18. ^ Hrbacek, K. (2009). "Relative set theory: Internal view". Journal of Logic and Analysis. 1.