Bilangan prima Wolstenholme

Dalam teori bilangan, bilangan prima Wolstenholme (bahasa Inggris: Wolstenholme prime) merupakan jenis bilangan prima spesial yang memenuhi teorema Wolstenholme yang lebih kuat. Teorema Wolstenholme melibatkan relasi kekongruenan yang dipenuhi oleh semua bilangan prima yang lebih besar daripada 3. Bilangan prima Wolstenholme dinamai dari seorang matematikawan yang bernama Joseph Wolstenholme, yang pertama kali menjelaskan teorema ini pada abad ke-19.

Bilangan prima Wolstenholme
Dinamai dariJoseph Wolstenholme
Tahun terbitan1995[1]
PenulisMcIntosh, R. J.
Jumlah suku pada barisan yang diketahui2
Jumlah suku pada barisan yang didugaTak berhingga banyaknya
Merupakan subbarisan dariBilangan prima tak beraturan
Suku pertama16843, 2124679
Suku terbesar yang diketahui2124679
OEIS
  • A088164
  • Wolstenholme primes: primes p such that binomial(2p-1,p-1) == 1 (mod p^4)

Bilangan prima ini menjadi banyak perhatian karena memiliki kaitannya dengan Teorema Terakhir Fermat. Selain itu, bilangan prima Wolstenholme juga berkaitan dengan jenis kelas bilangan spesial lainnya, yang dikaji dengan harapan dapat memperumum suatu bukti kebenaran teorema untuk semua bilangan bulat positif yang lebih besar daripada dua.

Dua bilangan prima Wolstenholme yang diketahui hanyalah 16843 dan 2124679 (barisan A088164 pada OEIS). Tiada bilangan prima Wolstenholme yang lebih kecil daripada 109.[2]

Definisi

sunting

Bilangan prima Wolstenholme dapat didefinisikan sebagai bilangan prima   yang memenuhi kekongruenan:  Disini, ekspresi di ruas kiri melambangkan koefisien binomial.[3] Sebagai perbandingan, teorema Wolstenholme menyatakan bahwa untuk setiap bilangan prima  , maka berlaku kekongruenan:  

Bilangan prima Wolstenholme didefinisikan sebagai bilangan prima   yang membagi pembilang dari bilangan Bernoulli  .[4] Karena itu, bilangan prima Wolstenholme membentuk subhimpunan dari bilangan prima tak beraturan. Bilangan prima Wolstenholme merupakan bilangan prima   sehingga   merupakan pasangan tak beraturan.[5]

Bilangan prima Wolstenholme adalah bilangan prima   sehingga   Ini berarti, pembilang dari bilangan harmonik   yang dinyatakan dalam suku terkecil dapat dibagi oleh  .[6]

Pencarian dan status saat ini

sunting
Masalah yang belum terpecahkan dalam matematika:

Adakah bilangan prima Wolstenholme selain 16843 dan 2124679?

Pencarian bilangan prima Wolstenholme dimulai sekitar tahun 1960-an, dan kemudian berlanjut hingga hasil saat ini diterbitkan pada tahun 2007. Bilangan prima Wolstenholme yang pertama, 16843, ditemukan pada tahun 1964, walaupun pada kala itu tidak dilaporkan secara langsung.[7] Penemuan tersebut kemudian dikonfirmasi sekitar tahun 1970-an. Hal ini hanya menyisakan contoh bilangan prima yang diketahui selama hampir 20 tahun, hingga diumumkan penemuan adanya bilangan prima Wolstenholme yang kedua, 2124679, pada tahun 1993.[8] Hingga mencapai 1.2×107, tiada bilangan prima Wolstenholme ditemukan.[9] Pencarian tersebut kemudian diperluas hingga mencapai 2×108 oleh McIntosh 1995, dan Trevisan & Weber 2001 dapat mencari bilangan tersebut hingga mencapai 2,5×108.[10] Hingga pada tahun 2007, hasil laporan mengatakan bahwa hanya ada dua bilangan prima yang lebih kecil daripada 109.[11]

Catatan kaki

sunting
  1. ^ Bilangan prima Wolstenholme pertama kali dijelaskan oleh McIntosh 1995, hlm. 385.
  2. ^ (Inggris) Weisstein, Eric W., "Wolstenholme prime", MathWorld 
  3. ^ Cook, J. D., Binomial coefficients, diakses tanggal 21 Desember 2010 
  4. ^ Clarke & Jones 2004, hlm. 553; McIntosh 1995, hlm. 387; Zhao 2008, hlm. 25.
  5. ^ Johnson 1975, hlm. 114; Buhler et al. 1993, hlm. 152.
  6. ^ Zhao 2007, hlm. 18.
  7. ^ Selfridge and Pollack menerbitkan bilangan prima Wolstenholme pertama di Selfridge & Pollack 1964, hlm. 97. Lihat McIntosh & Roettger 2007, hlm. 2092).
  8. ^ Ribenboim 2004, hlm. 23.
  9. ^ Zhao 2007, hlm. 25.
  10. ^ McIntosh 1995, hlm. 387; Trevisan & Weber 2001, hlm. 283–284.
  11. ^ McIntosh & Roettger 2007, hlm. 2092.

Referensi

sunting
  • Selfridge, J. L.; Pollack, B. W. (1964), "Fermat's last theorem is true for any exponent up to 25,000", Notices of the American Mathematical Society, 11: 97 

Bacaan lebih lanjut

sunting