Barisan dan deret aritmetika

Dalam matematika, barisan dan deret aritmetika atau dikenal sebagai barisan dan deret hitung adalah barisan yang mempunyai pola tertentu, yakni selisih dua suku berturutan sama dan tetap. Dengan kata lain, setiap suku (kecuali suku pertama) pada barisan aritmetika diperoleh dari suku usebelumnya dengan menambah bilangan tetap. Misalnya,

$3$, $5$, $7$, $9$, $11$, $13$, $\dots$.

Barisan aritmetika ini dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut:

$a$, $a+b$, $a+2b$, $a+3b$, $\dots$.

Suku barisan aritmetika

Misal $a_{n}$ adalah suku barisan ke-$n$, maka

$\ a_{n}=a+(n-1)b$.

Bukti
Kita mulai mengurutkannya dari suku $a_{1}=a$. Kita teruskan untuk suku ke-2, 3, hingga $n$. ${\begin{aligned}a_{2}&=a+b\\a_{3}&=a+2b\\&\vdots \end{aligned}}$ Dengan memperhatikan pola, kita memperoleh $a_{n}=a+(n-1)b\quad \blacksquare$.

Lebih umumnya, suku barisan ke-$n$ dapat ditulis

$a_{n}=a_{m}+(n-m)b$

di mana $m<n$.

Beda

Beda, dalam suku barisan aritmetika, merupakan selisih dua suku. Misal $b$ adalah beda antar suku, maka secara matematis dapat ditulis

$b=a_{n}-a_{n-1}$.

Suku tengah

Suku tengah ialah suku yang berada di tengah-tengah barisan aritmetika jika banyaknya barisan suku berupa ganjil. Misal $a_{m}$ dan $a_{n}$ dengan $m<n$ mengapit sebanyak ganjil suku-suku lain pada suatu barisan aritmetika. Karena itu, $n-m$ maupun $n+m$ adalah bilangan genap. Suku yang terletak antara $a_{m}$ dan $a_{n}$ adalah

$a_{\frac {m+n}{2}}=a_{m}+\left({\frac {m+n}{2}}-m\right)b$

dengan

$b={\frac {a_{n}-a_{m}}{n-m}}$.

Kita dapat jabarkan lagi sehingga didapati

$a_{\frac {m+n}{2}}=a_{m}+\left({\frac {n-m}{2}}\right)\left({\frac {a_{n}-a_{m}}{n-m}}\right)={\frac {a_{m}+a_{n}}{2}}$.

Deret aritmetika

Deret aritmetika ialah jumlah suku barisan aritmetika, dan dapat kita rumuskan sebagai

$S_{n}={\frac {n}{2}}(a+a_{n})={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)b].$

Bukti deret suku

Ilustrasi dengan gambar bagaimana rumus deret aritmetika dapat dibuktikan. Misal $a_{n}$ adalah barisan suku aritmetika ke-$n$. $S_{n}=a+[a+b]+[a+2b]+\cdots +[a+(n-1)b]$ (1) Dengan menggunakan sifat komutatif, akan memperoleh $S_{n}=[a+(n-1)b]+[a+(n-2)b]+[a+(n-3)b]+\cdots +a$ (2) Persamaan (1) ditambah (2) menjadi: $2S_{n}=2a+(n-1)b+2a+(n-1)b+\cdots +2a+(n-1)b$ Karena $2a+(n-1)b$ sama banyaknya menjadi jumlah $n$, maka ${\begin{aligned}2S_{n}&=n[2a+(n-1)b]\\S_{n}&={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)b]\quad \blacksquare \end{aligned}}$ Demikian, kita membuktikannya.

Mirip dengan beda suku aritmetika, selisih antara deret suku memberikan suku ke-$n$.

$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}$.

Bukti selisih antar deret suku
Kita cukup menjabarkan $S_{n}$ dan $S_{n-1}$, ${\begin{aligned}S_{n}&=a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n-1}+a_{n}\\S_{n-1}&=a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n-1}\end{aligned}}$ lalu kurangi persamaan sehingga di dapati persamaan di atas. $S_{n}-S_{n-1}=a_{n}$. $\blacksquare$

Barisan aritmetika bertingkat

Pada kasus ini, barisan aritmetika bertingkat ini merupakan barisan aritmetika tingkat yang menghasilkan barisan aritmetika tingkat sebelumnya. Sebagai contohnya, barisan aritmetika tingkat dua dapat didefinisikan barisan aritmetika tingkat kedua yang menghasilkan barisan aritmetika tingkat pertama. Untuk tingkatan $n$, diperoleh

$u_{n}=a_{n}+{\frac {a_{n-1}(n-1)}{1!}}+{\frac {a_{n-2}(n-1)(n-2)}{2!}}+{\frac {a_{n-3}(n-1)(n-2)(n-3)}{3!}}+\cdots +{\frac {a_{1}(n-1)(n-2)(n-3)\cdots (2)(1)}{(n-1)!}}$,

di mana $u_{n}$ adalah tingkat ke-$n$ pada barisan aritmetika, $a_{n},a_{n-1},\dots ,a_{1}$ adalah suku pertama dari masing-masing barisan pertama, kedua, dan seterusnya. Hasil rumus di atas dapat kita pakai untuk rumusan barisan aritmetika bertingkat dengan uraian berikut.

• Jika berupa barisan linear (yakni ketika $n=2$), maka $u_{2}=a_{2}+a_{1}(n-1)$;
• Jika berupa barisan berpangkat dua (yakni ketika $n=3$), maka $u_{3}=a_{3}+a_{2}(n-1)+{\frac {a_{1}(n-1)(n-2)}{2}}$;

Hal tersebut berlanjut hingga seterusnya sehingga mendapat rumus umum di atas.

Bentuk rekursif

Pada barisan aritmetika tingkat kedua, kita misalkan $b_{i}$, $a_{i}$ adalah masing-masing suku pada barisan tingkat pertama dan kedua, dengan $i=1,\dots ,n$. Misalkan juga $c$ adalah bilangan tetap dari barisan tingkat kedua. Secara rekursif, suku $a_{n}$ dapat dirumuskan sebagai

$a_{n}=3a_{n-1}-3a_{n-2}+a_{n-3}$.

Bukti barisan aritmetika tingkat kedua

Karena $b_{1},\dots ,b_{n}$ adalah barisan tingkat kedua, maka $b_{n}=a_{n+1}-a_{n}$. Oleh karena itu, kita memperoleh$${\begin{matrix}a_{2}-a_{1}=b_{1}&\quad (1.1)&\quad b_{2}-b_{1}=k&\quad (2.1)\\a_{3}-a_{2}=b_{2}&\quad (1.2)&\quad b_{3}-b_{2}=k&\quad (2.2)\\a_{4}-a_{3}=b_{3}&\quad (1.3)&\quad b_{4}-b_{3}=k&\quad (2.3)\\a_{5}-a_{4}=b_{4}&\quad (1.4)&\quad b_{5}-b_{4}=k&\quad (2.4)\\a_{6}-a_{5}=b_{5}&\quad (1.5)&\quad b_{6}-b_{5}=k&\quad (2.5)\\a_{7}-a_{6}=b_{6}&\quad (1.6)&\quad b_{7}-b_{6}=k&\quad (2.6)\\\vdots &\quad \vdots &\quad \vdots &\quad \vdots \\a_{n}-a_{n-1}=b_{n}&\quad (1.n)&\quad b_{n}-b_{n+1}=k&\quad (2.n)\end{matrix}}$$Kita akan mengurangi masing-masing persamaan di atas, dimulai dari $(1.1)$ dengan $(1.2)$, $(1.2)$ dengan $(1.3)$, dan seterusnya. Dari kumpulan persamaan-persamaan di atas dapat diperoleh $${\begin{matrix}a_{3}-2a_{2}+a_{1}&=&b_{2}-b_{1}&=&k&(3.1)\\a_{4}-2a_{3}+a_{2}&=&b_{3}-b_{2}&=&k&(3.2)\\a_{5}-2a_{4}+a_{3}&=&b_{4}-b_{3}&=&k&(3.3)\\a_{6}-2a_{5}+a_{4}&=&b_{5}-b_{4}&=&k&(3.4)\\\vdots &&\vdots &&\vdots &\vdots \\\end{matrix}}$$Pada persamaan $(3.1)$ dengan $(3.2)$, kita memperoleh $a_{3}-2a_{2}+a_{1}=a_{4}-2a_{3}+a_{2}\iff a_{4}=3a_{3}-3a_{2}+a_{1}$ Hal yang serupa pada $(3.2)$ dengan $(3.3)$, $(3.4)$ dengan $(3.5)$, dst. Dengan mengikuti cara di atas, kita memperoleh $${\begin{matrix}a_{4}-2a_{3}+a_{2}=a_{5}-2a_{4}+a_{3}&\iff a_{5}=3a_{4}-3a_{3}+a_{2}\\a_{5}-2a_{4}+a_{3}=a_{6}-2a_{5}+a_{4}&\iff a_{6}=3a_{5}-3a_{4}+a_{3}\\a_{6}-2a_{5}+a_{4}=a_{7}-2a_{6}+a_{5}&\iff a_{7}=3a_{6}-3a_{5}+a_{4}\\\vdots &\vdots \end{matrix}}$$ Persamaan yang sudah ditulis membentuk pola bahwa $a_{n}=3a_{n-1}-3a_{n-2}+a_{n-3}$. $\blacksquare$

Kita lakukan lagi pada barisan tingkat tiga. Misalkan $c_{i}$, $b_{i}$, $a_{i}$ adalah masing-masing suku pada barisan tingkat pertama, kedua, dan ketiga, dengan $i=1,\dots ,n$. Misalkan $k$ adalah bilangan tetap dari barisan tingkat ketiga. Suku $a_{n}$ dapat dirumuskan secara rekursif, yakni

$a_{n}=4a_{n-1}-6a_{n-2}+4a_{n-3}-a_{n-4}$.

Bukti barisan aritmetika tingkat ketiga

$${\begin{matrix}a_{2}-a_{1}=b_{1}&\quad (1.1)&\quad b_{2}-b_{1}=c_{1}&\quad (2.1)&c_{2}-c_{1}=k&\quad (3.1)\\a_{3}-a_{2}=b_{2}&\quad (1.2)&\quad b_{3}-b_{2}=c_{2}&\quad (2.2)&c_{3}-c_{2}=k&\quad (3.2)\\a_{4}-a_{3}=b_{3}&\quad (1.3)&\quad b_{4}-b_{3}=c_{3}&\quad (2.3)&c_{3}-c_{2}=k&\quad (3.2)\\a_{5}-a_{4}=b_{4}&\quad (1.4)&\quad b_{5}-b_{4}=c_{4}&\quad (2.4)&c_{3}-c_{2}=k&\quad (3.2)\\a_{6}-a_{5}=b_{5}&\quad (1.5)&\quad b_{6}-b_{5}=c_{5}&\quad (2.5)&c_{3}-c_{2}=k&\quad (3.2)\\a_{7}-a_{6}=b_{6}&\quad (1.6)&\quad b_{7}-b_{6}=c_{6}&\quad (2.6)&c_{3}-c_{2}=k&\quad (3.2)\\\vdots &\quad \vdots &\quad \vdots &\quad &\vdots &\quad \vdots \\a_{n}-a_{n-1}=b_{n}&\quad (1.n)&\quad b_{n}-b_{n+1}=c_{n}&\quad (2.n)&c_{n+1}-c_{n}=k&\quad (3.n)\end{matrix}}$$Dengan cara yang serupa (pada barisan tingkat dua), kita memperoleh $${\begin{matrix}b_{3}-2b_{2}+b_{1}=c_{2}-c_{1}=k&(4.1)\\b_{4}-2b_{3}+b_{2}=c_{3}-c_{2}=k&(4.2)\\b_{5}-2b_{3}+b_{3}=c_{3}-c_{2}=k&(4.3)\\b_{6}-2b_{5}+b_{4}=c_{4}-c_{3}=k&(4.4)\\\vdots &\vdots \end{matrix}}$$sehingga $${\begin{matrix}b_{4}&=3b_{3}-3b_{2}+b_{1}\\b_{5}&=3b_{4}-3b_{3}+b_{2}\\b_{6}&=3b_{5}-3b_{4}+b_{3}\\\vdots &\vdots \end{matrix}}$$dan didapati $b_{n}=3b_{n-1}-3b_{n-2}+b_{n-3}$. Karena $a_{n}-a_{n-1}=b_{n-1}$, maka didapati ${\begin{aligned}a_{n}-a_{n-1}&=3(a_{n-1}-a_{n-2})-3(a_{n-2}-a_{n-3})+(a_{n-3}-a_{n-4})\\a_{n}&=4a_{n-1}-6a_{n-2}+4a_{n-3}-a_{n-4}\quad \blacksquare \end{aligned}}$ Demikian, kita telah membuktikannya.

Ini akan terus berlanjut untuk barisan tingkat keempat, kelima, dst.

Lihat pula

• Barisan
• Deret (matematika)
• Barisan dan deret geometri

Referensi

• Sigler, Laurence E. (trans.) (2002). Fibonacci's Liber Abaci. Springer-Verlag. hlm. 259–260. ISBN 0-387-95419-8. 

Bacaan lebih lanjut

• Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 3B Untuk Kelas XII Semester 2 Program IPA. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-505-X.  (Indonesia)
• Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 3B Untuk Kelas XII Semester 2 Program IPS. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-568-8.  (Indonesia)

Pranala luar

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Arithmetic series", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Arithmetic progression". MathWorld. 
• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Arithmetic series". MathWorld.