Aksioma peluang

Aksioma peluang standar adalah fondasi dari teori peluang yang diperkenalkan oleh matematikawan Andrey Kolmogorov pada tahun 1933.^[1] Aksioma-aksioma ini tetap menjadi pokok dan memiliki kontribusi langsung pada matematika, ilmu fisika, dan kasus-kasus peluang dalam kehidupan nyata.^[2]

Terdapat beberapa pendekatan lainnya (yang ekuivalen) dalam memformalkan peluang. Para ahli Bayesian seringkali memotivasi aksioma Kolmogorov dengan menggunakan teorema Cox sebagai gantinya.^[3]^[4]

Aksioma Kolmogorov

Aksioma Kolmogorov dapat dirangkum sebagai berikut: Diberikan suatu ruang ukuran $\left(X,\,{\mathcal {F}},\,P\right)$ , dengan $P\!\left(A\right)$ menyatakan peluang terjadinya kejadian $A$ dan $P\!\left(X\right)=1$ , maka tripel $\left(X,\,{\mathcal {F}},\,P\right)$ adalah ruang peluang, dengan $X$ sebagai ruang sampel, ${\mathcal {F}}$ sebagai ruang kejadian, dan $P$ sebagai ukuran peluang.^[1]

Tak negatif

Peluang dari suatu kejadian adalah suatu bilangan riil tak negatif. $P\!\left(A\right)\geq 0\qquad \forall A\in {\mathcal {F}}$

Teori yang mengunakan nilai peluang negatif melonggarkan aksioma pertama.

Unitaritas

Peluang terjadinya suatu kejadian sederhana pada ruang sampel ialah 1. $P\!\left(X\right)=1$

Dengan menggabungkan aksioma pertama dan kedua, maka nilai peluang $P\!\left(A\right)$ pasti berhingga, berbeda dengan teori ukur secara umum.

Aditif-sigma

Setiap barisan himpunan terhitung $\langle A_{n}\rangle$ yang bersifat saling lepas (atau dengan kata lain, himpunan kejadian-kejadian yang saling lepas) akan memenuhi persamaan berikut. $P\!\left(A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup \ldots \right)=P\!\left(A_{1}\right)+P\!\left(A_{2}\right)+P\!\left(A_{3}\right)+\ldots$ Dengan menggunakan notasi Sigma dan notasi gabungan besar, maka $P\!\left(\bigcup _{n\,=\,1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n\,=\,1}^{\infty }P\!\left(A_{n}\right)$

Beberapa penulis hanya mensyaratkan ruang peluang aditif berhingga, yang dalam kasus tersebut, cukup diperlukan himpunan aljabar, daripada aljabar sigma.^[5]

Sifat-sifat peluang

Berdasarkan aksioma Kolmogorov di atas, maka dapat dibuktikan beberapa sifat peluang. Bukti^[6]^[7]^[8] dari sifat-sifat ini mengilustrasikan seberapa kuatnya aksioma ketiga, beserta interaksinya dengan dua aksioma pertama.

Diberikan suatu ruang peluang $\left(X,\,{\mathcal {F}},\,P\right)$ dan diambil sembarang $A,\,B\in {\mathcal {F}}$ . Beberapa sifat peluang antara lain:

Monoton

Jika $A\subseteq B$ , maka $P\!\left(A\right)\leq P\!\left(B\right)$

Bukti:

Perhatikan himpunan $A$ dan himpunan $B\setminus A$ . Berdasarkan aksioma aditif-sigma, maka ${\begin{array}{ccccl}A&\cap &\left(B\setminus A\right)&=&\varnothing \\A&\cup &\left(B\setminus A\right)&=&B\\\hline P\!\left(A\right)&+&P\!\left(B\setminus A\right)&=&P\!\left(B\right)\end{array}}$ Pada baris kedua, gabungan dari himpunan $A$ dan himpunan $B\setminus A$ adalah himpunan $B$ , sebab diketahui bahwa $A\subseteq B$ . Berdasarkan aksioma tak negatif, maka diperoleh ${\begin{aligned}P\!\left(B\setminus A\right)&\geq 0\\P\!\left(B\right)-P\!\left(A\right)&\geq 0\\P\!\left(B\right)&\geq P\!\left(A\right)\end{aligned}}$ sehingga terbukti bahwa $P\!\left(A\right)\leq P\!\left(B\right)$ apabila $A\subseteq B$ .

Peluang dari himpunan kosong

$P\!\left(\varnothing \right)=0$ Dalam banyak kasus, $\varnothing$ bukanlah satu-satunya kejadian dengan nilai peluang 0.

Bukti:

Salah satu sifat dari himpunan kosong adalah $\varnothing \subseteq A$ Berdasarkan aksioma aditif-sigma, maka ${\begin{array}{ccccl}A&\cap &\varnothing &=&\varnothing \\A&\cup &\varnothing &=&A\\\hline P\!\left(A\right)&+&P\!\left(\varnothing \right)&=&P\!\left(A\right)\end{array}}$ Dengan mengurangi kedua ruas pada persamaan di atas dengan $P\!\left(A\right)$ , maka terbukti bahwa $P\!\left(\varnothing \right)=0$

Peluang komplemen

$P\!\left(A'\right)=1-P\!\left(A\right)$ dengan $A'$ menyatakan komplemen dari himpunan $A$

Bukti:

Perhatikan himpunan $A$ dan $A'$ . Berdasarkan aksioma aditif-sigma, maka ${\begin{array}{ccccl}A&\cap &A'&=&\varnothing \\A&\cup &A'&=&X\\\hline P\!\left(A\right)&+&P\!\left(A'\right)&=&P\!\left(X\right)\end{array}}$ Berdasarkan aksioma Unitaritas, maka $P\!\left(X\right)=1$ , sehingga persamaan di atas dapat dituliskan sebagai ${\begin{aligned}P\!\left(A\right)+P\!\left(A'\right)&=1\\P\!\left(A'\right)&=1-P\!\left(A\right)\end{aligned}}$

Nilai numerik

$0\leq P\!\left(A\right)\leq 1$

Bukti:

Telah diperoleh sebelumnya bahwa peluang bersifat monoton. Akibatnya, ${\begin{aligned}\varnothing &\subseteq A\subseteq X\\P\!\left(\varnothing \right)&\leq P\!\left(A\right)\leq P\!\left(X\right)\\0&\leq P\!\left(A\right)\leq 1\end{aligned}}$

Aturan penjumlahan

$P\!\left(A\cup B\right)=P\!\left(A\right)+P\!\left(B\right)-P\!\left(A\cap B\right)$

Bukti:

Perhatikan himpunan $A\cap B$ dan $B\setminus A$ . Berdasarkan aksioma aditif-sigma, maka didapatkan ${\begin{array}{ccccl}\left(A\cap B\right)&\cap &\left(B\setminus A\right)&=&\varnothing \\\left(A\cap B\right)&\cup &\left(B\setminus A\right)&=&B\\\hline P\!\left(A\cap B\right)&+&P\!\left(B\setminus A\right)&=&P\!\left(B\right)\end{array}}$

Sekarang perhatikan himpunan $A$ dan himpunan $B\setminus A$ . Berdasarkan aksioma aditif-sigma, maka didapatkan ${\begin{array}{ccccl}A&\cap &\left(B\setminus A\right)&=&\varnothing \\A&\cup &\left(B\setminus A\right)&=&A\cup B\\\hline P\!\left(A\right)&+&P\!\left(B\setminus A\right)&=&P\!\left(A\cup B\right)\end{array}}$

Berdasarkan kedua persamaan di atas, maka diperoleh ${\begin{aligned}P\!\left(B\setminus A\right)+P\!\left(A\cap B\right)&=P\!\left(B\right)\\P\!\left(B\setminus A\right)&=P\!\left(B\right)-P\!\left(A\cap B\right)\\P\!\left(A\right)+P\!\left(B\setminus A\right)&=P\!\left(A\right)+P\!\left(B\right)-P\!\left(A\cap B\right)\\P\!\left(A\cup B\right)&=P\!\left(A\right)+P\!\left(B\right)-P\!\left(A\cap B\right)\end{aligned}}$

Rumus ini dapat diperluas untuk lebih dari dua himpunan, yang dikenal dengan prinsip inklusi-eksklusi.

Lihat juga

Referensi

^ ^a ^b Kolmogorov, Andrey (1950). Foundations of the theory of probability [Fondasi dari teori peluang] (dalam bahasa Inggris). New York, US: Chelsea Publishing Company.
^ Aldous, David. "What is the significance of the Kolmogorov axioms?" [Apa signifikannya aksioma Kolmogorov?]. David Aldous (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal November 19, 2019.
^ Cox, R. T. (1946). "Probability, Frequency and Reasonable Expectation" [Peluang, Frekuensi, dan Ekspektasi yang Masuk Akal]. American Journal of Physics (dalam bahasa Inggris). 14 (1): 1–10. Bibcode:1946AmJPh..14....1C. doi:10.1119/1.1990764.
^ Cox, R. T. (1961). The Algebra of Probable Inference (dalam bahasa Inggris). Baltimore, MD: Johns Hopkins University Press.
^ Hájek, Alan (August 28, 2019). "Interpretations of Probability" [Interpretasi peluang]. Stanford Encyclopedia of Philosophy (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal November 17, 2019.
^ Ross, Sheldon M. (2014). A first course in probability (dalam bahasa Inggris) (edisi ke-Ninth). Upper Saddle River, New Jersey. hlm. 27, 28. ISBN 978-0-321-79477-2. OCLC 827003384.
^ Gerard, David (December 9, 2017). "Proofs from axioms" (PDF) (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal November 20, 2019.
^ Jackson, Bill (2010). "Probability (Lecture Notes - Week 3)" (PDF). School of Mathematics, Queen Mary University of London (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal November 20, 2019.

Bacaan lanjutan

(Inggris) DeGroot, Morris H. (1975). Probability and Statistics. Reading: Addison-Wesley. hlm. 12–16. ISBN 0-201-01503-X.
(Inggris) McCord, James R.; Moroney, Richard M. (1964). "Axiomatic Probability" . Introduction to Probability Theory. New York: Macmillan. hlm. 13–28.

[:0-1] Kolmogorov, Andrey (1950). Foundations of the theory of probability [Fondasi dari teori peluang] (dalam bahasa Inggris). New York, US: Chelsea Publishing Company.

[2] Aldous, David. "What is the significance of the Kolmogorov axioms?" [Apa signifikannya aksioma Kolmogorov?]. David Aldous (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal November 19, 2019.

[3] Cox, R. T. (1946). "Probability, Frequency and Reasonable Expectation" [Peluang, Frekuensi, dan Ekspektasi yang Masuk Akal]. American Journal of Physics (dalam bahasa Inggris). 14 (1): 1–10. Bibcode:1946AmJPh..14....1C. doi:10.1119/1.1990764.

[4] Cox, R. T. (1961). The Algebra of Probable Inference (dalam bahasa Inggris). Baltimore, MD: Johns Hopkins University Press.

[5] Hájek, Alan (August 28, 2019). "Interpretations of Probability" [Interpretasi peluang]. Stanford Encyclopedia of Philosophy (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal November 17, 2019.

[:1-6] Ross, Sheldon M. (2014). A first course in probability (dalam bahasa Inggris) (edisi ke-Ninth). Upper Saddle River, New Jersey. hlm. 27, 28. ISBN 978-0-321-79477-2. OCLC 827003384.

[7] Gerard, David (December 9, 2017). "Proofs from axioms" (PDF) (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal November 20, 2019.

[8] Jackson, Bill (2010). "Probability (Lecture Notes - Week 3)" (PDF). School of Mathematics, Queen Mary University of London (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal November 20, 2019.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]