Vektor satuan

Vektor satuan adalah suatu vektor yang ternormalisasi, yang berarti panjangnya bernilai 1. Umumnya dituliskan dalam menggunakan topi (bahasa Inggris: Hat), sehingga: ${\hat {u}}$ dibaca "u-topi" ('u-hat').

Suatu vektor ternormalisasi ${\hat {u}}$ dari suatu vektor u bernilai tidak nol, adalah suatu vektor yang berarah sama dengan u, yaitu:

$\mathbf {\hat {u}} ={\frac {\mathbf {u} }{\|\mathbf {u} \|}},$

di mana ||u|| adalah norma (atau panjang atau besar) dari u. Istilah vektor ternormalisasi kadang-kadang digunakan sebagai sinonim dari vektor satuan. Dalam gaya penulisan yang lain (tidak menggunakan huruf tebal) adalah dengan menggunakan panah di atas suatu variabel, yaitu

${\hat {u}}={\frac {\vec {u}}{\|{\vec {u}}\|}}={\frac {\vec {u}}{u}}.$

Di sini $\!{\vec {u}}$ adalah vektor yang dimaksud dan $\!u$ adalah besarnya.

Vektor

Artikel utama: Vektor (matematika)

Posisi vektor

${\vec {a}}=(a_{1},a_{2})={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}=a_{1}{\hat {i}}+a_{2}{\hat {j}}$

${\vec {a}}=(a_{1},a_{2},a_{3})={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}=a_{1}{\hat {i}}+a_{2}{\hat {j}}+a_{3}{\hat {k}}$

Panjang vektor

Berada di $R^{2}$

Panjang vektor a dalam posisi $(a_{1},a_{2})$ adalah $\left|{\vec {a}}\right|={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}}$

Panjang vektor b dalam posisi $(b_{1},b_{2})$ adalah $\left|{\vec {b}}\right|={\sqrt {b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}$

Panjang vektor c dalam posisi $(a_{1},a_{2})$ dan $(b_{1},b_{2})$ adalah $\left|{\vec {c}}\right|={\sqrt {(b_{1}-a_{1})^{2}+(b_{2}-a_{2})^{2}}}$

Berada di $R^{3}$

Panjang vektor a dalam posisi $(a_{1},a_{2},a_{3})$ adalah $\left|{\vec {a}}\right|={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}}$

Panjang vektor b dalam posisi $(b_{1},b_{2},b_{3})$ adalah $\left|{\vec {b}}\right|={\sqrt {b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}$

Panjang vektor c dalam posisi $(a_{1},a_{2},a_{3})$ dan $(b_{1},b_{2},b_{3})$ adalah $\left|{\vec {c}}\right|={\sqrt {(b_{1}-a_{1})^{2}+(b_{2}-a_{2})^{2}+(b_{3}-a_{3})^{2}}}$

Jumlah dan selisih kedua vektor

$\left|{\vec {a}}\pm {\vec {b}}\right|={\sqrt {|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}\pm 2{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\cdot cosC}}$

Vektor satuan

${\hat {a}}={\frac {\vec {a}}{\left|{\vec {a}}\right|}}$

Operasi aljabar pada vektor

• Penjumlahan dan pengurangan

terdiri dari 2 aturan jenis yaitu aturan segitiga dan jajar genjang

${\vec {c}}={\vec {a}}+{\vec {b}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{a_{1}+b_{1}}\\{a_{2}+b_{2}}\end{pmatrix}}$

${\vec {c}}={\vec {a}}-{\vec {b}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{a_{1}-b_{1}}\\{a_{2}-b_{2}}\end{pmatrix}}$

• Perkalian

1. skalar dengan vektor

Jika k skalar tak nol dan vektor ${\vec {a}}=a_{1}{\hat {i}}+a_{2}{\hat {j}}+a_{3}{\hat {k}}$ maka vektor $k{\vec {a}}=(ka_{1},ka_{2},ka_{3})$

1. titik dua vektor

Jika vektor ${\vec {a}}=a_{1}{\hat {i}}+a_{2}{\hat {j}}+a_{3}{\hat {k}}$ dan vektor ${\vec {b}}=b_{1}{\hat {i}}+b_{2}{\hat {j}}+b_{3}{\hat {k}}$ maka ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}$

1. titik dua vektor dengan membentuk sudut

Jika ${\vec {a}}$ dan ${\vec {b}}$ vektor tak nol dan sudut $\alpha$ diantara vektor ${\vec {a}}$ dan ${\vec {b}}$ maka perkalian skalar vektor ${\vec {a}}$ dan ${\vec {b}}$ adalah ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}$ = $\left|{\vec {a}}\right|\cdot \left|{\vec {b}}\right|cos\alpha$

1. silang dua vektor

Jika vektor ${\vec {a}}=a_{1}{\hat {i}}+a_{2}{\hat {j}}+a_{3}{\hat {k}}$ dan vektor ${\vec {b}}=b_{1}{\hat {i}}+b_{2}{\hat {j}}+b_{3}{\hat {k}}$ maka ${\vec {a}}\times {\vec {b}}=(a_{2}b_{3}{\hat {i}}+a_{3}b_{1}{\hat {j}}+a_{1}b_{2}{\hat {k}})-(a_{2}b_{1}{\hat {k}}+a_{3}b_{2}{\hat {i}}+a_{1}b_{3}{\hat {j}})$

$\left[{\begin{array}{rrr|rr}{\hat {i}}&{\hat {j}}&{\hat {k}}&{\hat {i}}&{\hat {j}}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}&a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}&b_{1}&b_{2}\\\end{array}}\right]$

1. silang dua vektor dengan membentuk sudut

Jika ${\vec {a}}$ dan ${\vec {b}}$ vektor tak nol dan sudut $\alpha$ diantara vektor ${\vec {a}}$ dan ${\vec {b}}$ maka perkalian skalar vektor ${\vec {a}}$ dan ${\vec {b}}$ adalah ${\vec {a}}\times {\vec {b}}$ = $\left|{\vec {a}}\right|\times \left|{\vec {b}}\right|sin\alpha$

Sifat operasi aljabar pada vektor

1. ${\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {b}}+{\vec {a}}$
2. $({\vec {a}}+{\vec {b}})+{\vec {c}}={\vec {a}}+({\vec {b}}+{\vec {c}})$
3. ${\vec {a}}+0=0+{\vec {a}}$
4. $k({\vec {a}}+{\vec {b}})=k{\vec {a}}+k{\vec {b}}$
5. $(k+l){\vec {a}}=k{\vec {a}}+l{\vec {a}}$
6. ${\vec {a}}+(-{\vec {a}})=0$
7. ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\vec {b}}\cdot {\vec {a}}$
8. $({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}={\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}\cdot {\vec {c}})$
9. ${\vec {a}}\cdot 1=1\cdot {\vec {a}}$
10. $k({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})=k{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\vec {a}}\cdot k{\vec {b}}$
11. $(k\cdot l){\vec {a}}=k(l\cdot {\vec {a}})$
12. ${\vec {a}}\cdot {\vec {a}}=\left|{\vec {a}}\right|^{2}$
13. ${\vec {a}}\times {\vec {b}}\neq {\vec {b}}\times {\vec {a}}$
14. ${\vec {a}}\times {\vec {b}}=-({\vec {b}}\times {\vec {a}})$
15. $({\vec {a}}\times {\vec {b}})\times {\vec {c}}\neq {\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})$
16. ${\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}\times {\vec {c}})={\vec {b}}\cdot ({\vec {c}}\times {\vec {a}})={\vec {c}}\cdot ({\vec {a}}\times {\vec {b}})$
17. ${\vec {a}}\times ({\vec {b}}+{\vec {c}})={\vec {a}}\times {\vec {b}}+{\vec {a}}\times {\vec {c}}$
18. $k({\vec {a}}\times {\vec {b}})=k{\vec {a}}\times {\vec {b}}={\vec {a}}\times k{\vec {b}}$

Hubungan vektor dengan vektor lain

• Perkalian titik

Saling tegak lurus

Jika tegak lurus antara vektor ${\vec {a}}$ dengan vektor ${\vec {b}}$ maka

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=\left|{\vec {a}}\right|\cdot \left|{\vec {b}}\right|\cos {90}^{\circ }$

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=0$

Sejajar

Jika vektor ${\vec {a}}$ sejajar dengan vektor ${\vec {b}}$ maka

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=\left|{\vec {a}}\right|\cdot \left|{\vec {b}}\right|\cos {0}^{\circ }$

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=\left|{\vec {a}}\right|\cdot \left|{\vec {b}}\right|$

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=\left|{\vec {a}}\right|\cdot \left|{\vec {b}}\right|\cos {180}^{\circ }$

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=-\left|{\vec {a}}\right|\cdot \left|{\vec {b}}\right|$

• Perkalian silang

Saling tegak lurus

Jika tegak lurus antara vektor ${\vec {a}}$ dengan vektor ${\vec {b}}$ maka

${\vec {a}}\times {\vec {b}}=\left|{\vec {a}}\right|\cdot \left|{\vec {b}}\right|\sin {90}^{\circ }$

${\vec {a}}\times {\vec {b}}=\left|{\vec {a}}\right|\cdot \left|{\vec {b}}\right|$

${\vec {a}}\times {\vec {b}}=\left|{\vec {a}}\right|\cdot \left|{\vec {b}}\right|\sin {270}^{\circ }$

${\vec {a}}\times {\vec {b}}=-\left|{\vec {a}}\right|\cdot \left|{\vec {b}}\right|$

Jika $\beta >{90}^{\circ }$ maka dua vektor tersebut searah

Jika $\beta <{90}^{\circ }$ maka vektor saling berlawanan arah

Sejajar

Jika vektor ${\vec {a}}$ sejajar dengan vektor ${\vec {b}}$ maka

${\vec {a}}\times {\vec {b}}=\left|{\vec {a}}\right|\cdot \left|{\vec {b}}\right|\sin {0}^{\circ }$

${\vec {a}}\times {\vec {b}}=0$

Sudut dua vektor

Jika vektor ${\vec {a}}$ dan vektor ${\vec {b}}$ sudut yang dapat dibentuk dari kedua vektor tersebut adalah $cos\alpha ={\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}{\left|{\vec {a}}\right|\cdot \left|{\vec {b}}\right|}}$

Panjang proyeksi dan proyeksi vektor

Panjang proyeksi vektor ${\vec {a}}$ pada vektor ${\vec {b}}$ adalah $\left|{\vec {c}}\right|={\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}{\left|{\vec {b}}\right|}}$

Proyeksi vektor ${\vec {a}}$ pada vektor ${\vec {b}}$ adalah ${\vec {c}}={\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}{\left|{\vec {b}}\right|^{2}}}\cdot {\vec {b}}$

Metode

segitiga

${\vec {R}}={\vec {a}}+{\vec {b}}$

jajar genjang

${\vec {R}}=|{\vec {a}}-{\vec {b}}|={\sqrt {|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}-2\cdot {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\cdot cosC}}$

Perbandingan

Aturan jajar genjang

Posisi vektor

${\vec {N}}={\frac {ms+nr}{m+n}}$

Berada di $R^{2}$

${\vec {N}}=({\frac {mx_{2}+nx_{1}}{m+n}},{\frac {my_{2}+ny_{1}}{m+n}})$

Berada di $R^{3}$

${\vec {N}}=({\frac {mx_{2}+nx_{1}}{m+n}},{\frac {my_{2}+ny_{1}}{m+n}},{\frac {mz_{2}+nz_{1}}{m+n}})$

Satu garis

• Perbandingan posisi dalam adalah m:n

Posisi vektor

${\vec {N}}={\frac {ms+nr}{m+n}}$

Berada di $R^{2}$

${\vec {N}}=({\frac {mx_{2}+nx_{1}}{m+n}},{\frac {my_{2}+ny_{1}}{m+n}})$

Berada di $R^{3}$

${\vec {N}}=({\frac {mx_{2}+nx_{1}}{m+n}},{\frac {my_{2}+ny_{1}}{m+n}},{\frac {mz_{2}+nz_{1}}{m+n}})$

• Perbandingan posisi luar adalah m:-n

Posisi vektor

${\vec {N}}={\frac {ms-nr}{m-n}}$

Berada di $R^{2}$

${\vec {N}}=({\frac {mx_{2}-nx_{1}}{m-n}},{\frac {my_{2}-ny_{1}}{m-n}})$

Berada di $R^{3}$

${\vec {N}}=({\frac {mx_{2}-nx_{1}}{m-n}},{\frac {my_{2}-ny_{1}}{m-n}},{\frac {mz_{2}-nz_{1}}{m-n}})$

Transformasi

Artikel utama: Matriks Transformasi

Transformasi terdiri dari 2 jenis yaitu:

• Transformasi isometri

Transformasi isometri adalah transformasi yang dapat mengubah bentuknya. Contohnya translasi (penggeseran), refleksi (perpindahan) dan rotasi (perputaran).

• Transformasi nonisometri

Transformasi nonisometri adalah transformasi yang tidak dapat mengubah bentuknya. Contohnya dilatasi (perubahan), stretching (regangan) dan shearing (gusuran).

Translasi

Rumus translasi adalah: ${\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}$ = ${\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}$ + ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$

Refleksi

Rumus refleksi adalah:

tanpa titik pusat

${\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}$ = ${\begin{pmatrix}cos2\alpha &sin2\alpha \\sin2\alpha &-cos2\alpha \end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$

dengan titik pusat (a,b)

${\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}$ = ${\begin{pmatrix}cos2\alpha &sin2\alpha \\sin2\alpha &-cos2\alpha \end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}x-a\\y-b\end{pmatrix}}$ + ${\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}$

Rotasi

Rumus rotasi adalah:

tanpa titik pusat

${\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}$ = ${\begin{pmatrix}cos\alpha &-sin\alpha \\sin\alpha &cos\alpha \end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$

dengan titik pusat (a,b)

${\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}$ = ${\begin{pmatrix}cos\alpha &-sin\alpha \\sin\alpha &cos\alpha \end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}x-a\\y-b\end{pmatrix}}$ + ${\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}$

Dilatasi

Rumus dilatasi adalah:

tanpa titik pusat

${\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}$ = ${\begin{pmatrix}k&0\\0&k\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$

dengan titik pusat (a,b)

${\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}$ = ${\begin{pmatrix}k&0\\0&k\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}x-a\\y-b\end{pmatrix}}$ + ${\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}$

Stretching

Rumus stretching adalah:

sumbu x

tanpa titik pusat

${\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}$ = ${\begin{pmatrix}k&0\\0&1\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$

dengan titik pusat (a,b)

${\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}$ = ${\begin{pmatrix}k&0\\0&1\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}x-a\\y-b\end{pmatrix}}$ + ${\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}$

sumbu y

tanpa titik pusat

${\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}$ = ${\begin{pmatrix}1&0\\0&k\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$

dengan titik pusat (a,b)

${\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}$ = ${\begin{pmatrix}1&0\\0&k\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}x-a\\y-b\end{pmatrix}}$ + ${\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}$

Shearing

Rumus shearing adalah:

sumbu x

tanpa titik pusat

${\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}$ = ${\begin{pmatrix}1&k\\0&1\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$

dengan titik pusat (a,b)

${\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}$ = ${\begin{pmatrix}1&k\\0&1\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}x-a\\y-b\end{pmatrix}}$ + ${\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}$

sumbu y

tanpa titik pusat

${\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}$ = ${\begin{pmatrix}1&0\\k&1\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$

dengan titik pusat (a,b)

${\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}$ = ${\begin{pmatrix}1&0\\k&1\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}x-a\\y-b\end{pmatrix}}$ + ${\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}$

Rumus sederhana

Keterangan	Posisi	Hasil
Translasi
penggeseran (a,b)	$(x,y)$	$(x+a,y+b)$
Refleksi
sumbu x [0°]	$(x,y)$	$(x,-y)$
sumbu y [90°]	$(x,y)$	$(-x,y)$
y=x [45°]	$(x,y)$	$(y,x)$
y=-x [135°]	$(x,y)$	$(-y,-x)$
pusat (0,0) [0° dan 90°]	$(x,y)$	$(-x,-y)$
pusat (a,b) [0° dan 90°]	$(x,y)$	$(2a-x,2b-y)$
pusat (a,0) [0° dan 90°]	$(x,y)$	$(2a-x,y)$
pusat (0,b) [0° dan 90°]	$(x,y)$	$(x,2b-y)$
Rotasi
berpusat (0,0)
90°	$(x,y)$	$(-y,x)$
-90°	$(x,y)$	$(y,-x)$
180°	$(x,y)$	$(-x,-y)$
berpusat (a,b)
90°	$(x,y)$	$(-y+a+b,x-a+b)$
-90°	$(x,y)$	$(y-a+b,-x+a+b)$
180°	$(x,y)$	$(-x+2a,-y+2b)$
berpusat (0,0)
Dilatasi
skala k	$(x,y)$	$(k\cdot x,k\cdot y)$
Stretching
sumbu x dan skala k	$(x,y)$	$(k\cdot x,y)$
sumbu y dan skala k	$(x,y)$	$(x,k\cdot y)$
Shearing
sumbu x dan skala k	$(x,y)$	$(k\cdot x+y,y)$
sumbu y dan skala k	$(x,y)$	$(x,x+k\cdot y)$
berpusat (a,b)
Dilatasi
skala k	$(x,y)$	$(k\cdot x+(1-k)a,k\cdot y+(1-k)b)$
Stretching
sumbu x dan skala k	$(x,y)$	$(k\cdot x+(1-k)a,y)$
sumbu y dan skala k	$(x,y)$	$(x,k\cdot y+(1-k)b)$
Shearing
sumbu x dan skala k	$(x,y)$	$(x+k\cdot (y-b)),y)$
sumbu y dan skala k	$(x,y)$	$(x,y+k\cdot (x-a))$

Lihat pula

• Transformasi