Titik de Longchamps

Dalam geometri, titik de Longchamps dari sebuah segitiga adalah sebuah titik pusat yang dibentuk sebagai cerminan dari titik tinggi segitiga yang melibatkan pusat lingkaran luar. Titik ini dinamai dari seorang matematikawan berkebangsaan Prancis yang bernama Gaston Albert Gohierre de Longchamps.

Titik de Longchamps L dari segitiga △ABC merupakan titik yang dibentuk sebagai cerminan dari titik tinggi (orthocenter) H yang melibatkan pusat luar lingkaran O, atau sebagai titik tinggi dari segitiga antikomplementer △A'B'C'

Definisi

Misalkan diketahui segitiga memiliki titik sudut $A$, $B$, dan $C$, yang berhadapan dengan masing-masing sisi $a$, $b$, dan $c$—notasi ini merupakan notasi yang standar dalam geometri. Dalam makalah de Longchamps di 1886, ia memperkenalkan titik tersebut. De Longchamps mulanya mendefinisikannya sebagai pusat lingkaran $\Delta$ yang ortogonal dengan tiga lingkaran$\Delta _{a}$, $\Delta _{b}$, and $\Delta _{c}$, dengan $\Delta _{a}$ berpusat di $A$ dengan jari-jari radius $a$ dan dua lingkaran lainnya didefinisikan secara simetris. Setelah itu, de Longchamps juga menunjukkan bahwa titik yang sama—saat ini dikenal dengan sebutan titik de Longchamps— dapat didefinisikan sebagai titik tinggi segitiga antikomplementer dari $ABC$, dan titik tersebut merupakan cerminan dari titik tinggi segitiga $ABC$ di sekitar pusat lingkaran luar.

Lingkaran Steiner dari segitiga adalah sepusat dengan lingkaran sembilan titik (nine-point circle). Lingkaran Steiner memiliki jari-jari ${\textstyle 3/2}$ kali jari-jari lingkaran luar segitiga. Dalam lingkaran Steiner beserta lingkaran luar, titik de Longchamps merupakan pusat homotetik.