Polinomial simetri elementer

Dalam matematika, khususnya dalam aljabar komutatif, polinomial simetris elementer adalah jenis blok penyusun dasar untuk polinomial simetris, dalam arti polinomial simetris dapat diekspresikan sebagai polinomial dalam polinomial simetris elementer. Artinya, semua polinomial simetris $P$ dari ekspresi penambahan dan perkalian konstanta dan polinomial simetris dasar. Polinomial simetris dasar derajat $d$ dalam variabel $n$ untuk bilangan bulat nonnegatif $d \leq n$ , dan dibentuk dengan menjumlahkan semua produk berbeda dari variabel berbeda $d$ .

Definisi

Polinomial simetris dasar dalam variabel $n$ $X 1, \dots, X n$ , ditulis sebagai $e k (X 1, \dots, X n)$ untuk $k = 0, 1, \dots, n$ , didefinisikan oleh

{\begin{aligned}e_{0}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})&=1,\\[10pt]e_{1}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})&=\sum _{1\leq j\leq n}X_{j},\\e_{2}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})&=\sum _{1\leq j<k\leq n}X_{j}X_{k},\\e_{3}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})&=\sum _{1\leq j<k<l\leq n}X_{j}X_{k}X_{l},\\\end{aligned}}

dan diakhiri dengan

e_{n}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})=X_{1}X_{2}\cdots X_{n}.

Maka, untuk $k \geq 0$ yaitu

e_{k}(X_{1},\ldots ,X_{n})=\sum _{1\leq j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{k}\leq n}X_{j_{1}}\dotsm X_{j_{k}},

maka $e k (X 1, \dots, X n) = 0$ jika $k > n$ .

Maka, bilangan bulat non-negatif $k$ kurang dari atau sama dengan $n$ , satu polinomial simetris dasar dengan derajat $k$ dalam variabel $n$ . Untuk membentuk satuan derajat $k$ , kita ambil jumlah dari semua hasil kali dari $k$ himpunan bagian dari $n$ . (Sebaliknya, jika seseorang melakukan operasi yang sama menggunakan variabel multihimpunan, yaitu variabel dengan pengulangan di polinomial simetris homogen kompleks.)

Partisi bilangan bulat (yaitu, urutan bilangan bulat positif tidak hingga) $λ = (λ 1, \dots, λ m)$ , satu mendefinisikan polinomial simetris $e λ (X 1, \dots, X n)$ , juga disebut polinomial simetris elementer, oleh

e_{\lambda }(X_{1},\dots ,X_{n})=e_{\lambda _{1}}(X_{1},\dots ,X_{n})\cdot e_{\lambda _{2}}(X_{1},\dots ,X_{n})\cdots e_{\lambda _{m}}(X_{1},\dots ,X_{n})

.

Terkadang notasi $σ k$ digunakan sebagai pengganti $e k$ .

Contoh

Berikut daftar polinomial simetris dasar $n$ untuk empat nilai positif pertama dari $n$ . (Dalam, $e 0 = 1$ juga salah satu polinomial.)

Untuk $n = 1$ :

e_{1}(X_{1})=X_{1}.

Untuk $n = 2$ :

{\begin{aligned}e_{1}(X_{1},X_{2})&=X_{1}+X_{2},\\e_{2}(X_{1},X_{2})&=X_{1}X_{2}.\,\\\end{aligned}}

Untuk $n = 3$ :

{\begin{aligned}e_{1}(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1}+X_{2}+X_{3},\\e_{2}(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1}X_{2}+X_{1}X_{3}+X_{2}X_{3},\\e_{3}(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1}X_{2}X_{3}.\,\\\end{aligned}}

Untuk $n = 4$ :

{\begin{aligned}e_{1}(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})&=X_{1}+X_{2}+X_{3}+X_{4},\\e_{2}(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})&=X_{1}X_{2}+X_{1}X_{3}+X_{1}X_{4}+X_{2}X_{3}+X_{2}X_{4}+X_{3}X_{4},\\e_{3}(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})&=X_{1}X_{2}X_{3}+X_{1}X_{2}X_{4}+X_{1}X_{3}X_{4}+X_{2}X_{3}X_{4},\\e_{4}(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})&=X_{1}X_{2}X_{3}X_{4}.\,\\\end{aligned}}

Sifat

Polinomial simetris dasar muncul sesaat memperluas faktorisasi linear dari polinomial monik: dari identitas

\prod _{j=1}^{n}(\lambda -X_{j})=\lambda ^{n}-e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})\lambda ^{n-1}+e_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n})\lambda ^{n-2}+\cdots +(-1)^{n}e_{n}(X_{1},\ldots ,X_{n}).

Artinya, mengganti nilai numerik dari variabel $X 1, X 2, \dots, X n$ , monik polinomial univariat (dengan variabel $λ$ ) nilai yang diganti $X 1, X 2, \dots, X n$ dan koefisien hingga adalah polinomial simetris elementer. Relasi antara akar dan koefisien polinomial ini disebut rumus Vieta.

Polinomial karakteristik dari matriks persegi adalah contoh rumus Vieta. Akar dari polinomial adalah nilai eigen dari matriks. Maka, mensubstitusikan nilai eigen ke polinomial simetris elementer, hingga tanda koefisien dari polinomial karakteristik, yaitu invarian. Secara khusus, jejak (jumlah elemen diagonal) adalah nilai dari $e 1$ , dan dengan jumlah nilai eigen. Maka, determinan adalah hingga tanda suku konstanta dari karakteristik polinomial; determinan adalah nilai $e n$ . Jadi determinan dari matriks persegi adalah hasil kali dari nilai eigen.

Himpunan polinomial simetris dasar dalam variabel $n$ menghasilkan gelanggang dari polinomial simetris dalam $n$ . Lebih khusus lagi, gelanggang polinomial simetris dengan koefisien bilangan bulat sama dengan gelanggang polinomial integral $ℤ [e 1 (X 1, \dots, X n), \dots, e n (X 1, \dots, X n)]$ . (Lihat di bawah untuk pernyataan dan bukti yang lebih umum.) Hal ini adalah salah satu dasar dari teori invarian. Untuk sistem lain dari polinomial simetris dengan properti serupa lihat jumlah pangkat polinomial simetris dan polinomial simetris homogen kompleks.

Teorema dasar dari polinomial simetris

Untuk sembarang komutatif gelanggang $A$ , gelanggang polinomial simetris dalam variabel $X 1, \dots, X n$ dengan koefisien $A$ dari $A [X 1, \dots, X n] S n$ . Gelanggang polinomial pada polinomial simetris elementer n $e k (X 1, \dots, X n)$ untuk $k = 1, \dots, n$ . (Note that $e 0$ tidak termasuk polinomial ini; karena $e 0 = 1$ , tidak dapat menjadi anggota himpunan sembarang elemen yang secara aljabar independen.)

Artinya polinomial simetris $P (X 1, \dots, X n) \in A [X 1, \dots, X n] S n$ representasi

P(X_{1},\ldots ,X_{n})=Q{\big (}e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n}),\ldots ,e_{n}(X_{1},\ldots ,X_{n}){\big )}

untuk beberapa polinomial $Q \in A [Y 1, \dots, Y n]$ . Cara lain untuk mengatakan hal yang sama adalah bahwa homomorfisme gelanggang dari $Y k$ ke $e k (X 1, \dots, X n)$ for $k = 1, \dots, n$ mendefinisikan isomorfisme antara $A [Y 1, \dots, Y n]$ and $A [X 1, \dots, X n] S n$ .

Sketsa bukti

Teorema dapat dibuktikan untuk polinomial homogen simetris dengan induksi matematika ganda sehubungan dengan jumlah variabel $n$ dan, untuk $n$ , sehubungan dengan derajat dari polinomial homogen. Kasus umum kemudian diikuti dengan pemisahan polinomial simetris arbitrer menjadi komponen homogen (simetris).

Dalam kasus $n = 1$ hasilnya jelas karena setiap polinom dalam satu variabel secara otomatis simetris.

Asumsikan teorema telah terbukti untuk semua polinomial untuk $m < n$ variabel dan semua polinomial simetris dalam variabel $n$ dengan derajat $< d$ . Setiap polinomial simetris homogen $P$ dalam $A [X 1, \dots, X n] S n$ dapat diuraikan sebagai jumlah dari polinomial simetris homogen

P(X_{1},\ldots ,X_{n})=P_{\text{lanari}}(X_{1},\ldots ,X_{n})+X_{1}\cdots X_{n}\cdot Q(X_{1},\ldots ,X_{n}).

Di sini "bagian lacunary" $P lanari$ didefinisikan sebagai jumlah dari semua monomial di $P$ himpunan bagian dari variabel $n$ ke $X 1, \dots, X n$ , yaitu, di mana setidaknya satu variabel $X j$ ditemukan.

Karena $P$ simetris, bagian lacunary ditentukan oleh suku-suku yang hanya berisi variabel $X 1, \dots, X n - 1$ , yaitu, tidak menggunakan $X n$ . Lebih tepatnya: Jika $A$ dan $B$ adalah dua polinomial simetris homogen di $X 1, \dots, X n$ memiliki derajat, dan jika koefisien dari $A$ sebelum setiap monomial yang hanya berisi variabel $X 1, \dots, X n - 1$ sama dengan koefisien yang sesuai dari $B$ , maka $A$ dan $B$ memiliki bagian lacunary yang sama. (Karenaarena setiap monomial yang dapat muncul di bagian lacunary harus kekurangan setidaknya satu variabel, dan dapat diubah dengan permutasi variabel menjadi monomial yang hanya berisi variabel $X 1, \dots, X n - 1$ .)

Lihat pula

Referensi

Macdonald, I. G. (1995). Symmetric Functions and Hall Polynomials (edisi ke-2nd). Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-850450-0.
Stanley, Richard P. (1999). Enumerative Combinatorics, Vol. 2. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-56069-1.