Teorema Lagrange

Halaman disambiguasi

Dalam teori grup, teorema Lagrange mengatakan bahwa untuk suatu grup hingga berorde , orde dari setiap subgrup haruslah membagi . Teorema ini dinamai berdasarkan seorang matematikawan Prancis, Joseph-Louis de Lagrange.

Untuk membuktikan teorema Lagrange, dapat digunakan koset dari suatu subgrup. Akan ditunjukkan bahwa setiap koset suatu subgrup berukuran sama, sehingga haruslah setiap koset dari suatu subgrup   memiliki anggota sebanyak orde dari  . Hal ini dapat dilakukan dengan membangun suatu bijeksi   untuk sebarang   dengan  . Mudah ditunjukkan bahwa pemetaan tersebut merupakan bijeksi dengan invers  . Akibatnya, kita dapatkan setiap koset dari subgrup   berukuran sama. Berikutnya, karena koset-koset dari   mempartisi grup   atas akibat dari relasi ekuivalensi  , kita dapatkan banyaknya anggota dari   sama dengan banyaknya koset dari   dikali banyaknya anggota dari   (karena semua koset berukuran sama). Akibatnya, kita dapatkan   sehingga orde tiap subgrup haruslah membagi orde grupnya. Dengan demikian kita selesai.

Konvers dari Teorema Lagrange

sunting

Secara umum, konvers dari teorema Lagrange tidak berlaku. Yakni, jika   membagi orde dari  , belum tentu terdapat suatu subgrup dari   yang berorde  . Sebagai contoh, grup berayun (yakni grup dari permutasi genap)   yang berorde 12 tidak memiliki subgrup berorde 6.