Sistem kristal

Dalam kristalografi, istilah sistem kristal, keluarga kristal dan sistem kisi masing-masing mengacu pada salah satu dari beberapa kelas grup ruang, kisi, grup titik atau kristal. Secara informal, dua kristal berada dalam sistem kristal yang sama jika memiliki simetri yang sama, walaupun terfapat banyak pengecualian untuk ini.

Sistem kristal, keluarga kristal dan sistem kisi serupa tapi sedikit berbeda, dan terdapat kebingungan luas di antara mereka: khususnya sistem kristal trigonal sering dikacaukan dengan sistem kisi rombohedral, dan istilah "sistem kristal" terkadang digunakan untuk mendefinisikan "sistem kisi" atau "keluarga kristal".

Grup ruang dan kristal dibagi menjadi tujuh sistem kristal sesuai dengan grup titik mereka, dan ke dalam tujuh sistem kisi sesuai dengan kisi Bravais mereka. Lima dari sistem kristal pada dasarnya sama dengan lima sistem kisi, namun sistem kristal heksagonal dan trigonal berbeda dari sistem kisi heksagonal dan rombohedral. Enam keluarga kristal dibentuk dengan menggabungkan sistem kristal heksagonal dan trigonal menjadi satu keluarga heksagonal, untuk menghilangkan kebingungan ini.

Ikhtisar

Kristal hanksit heksagonal, dengan tiga kali lipat simetri sumbu-c

Suatu sistem kisi adalah kelas kisi dengan seperangkat kisi yang sama grup titik, yang merupakan subkelompok dari kelas kristal aritmetika. Keempat kisi Bravais dikelompokkan menjadi tujuh sistem kisi: triklinik, monoklinik, ortorombik, tetragonal, rombohedral, heksagonal dan kubik.

Dalam sebuah sistem kristal, satu set grup titik dan grup ruang yang sesuai ditugaskan pada sistem kisi. Dari 32 grup titik yang ada dalam tiga dimensi, sebagian besar ditugaskan hanya pada satu sistem kisi, dimana sistem kristal dan kisi memiliki nama yang sama. Namun, lima grup titik ditugaskan ke dua sistem kisi, rombohedral dan heksagonal, karena keduanya menunjukkan simetri rotasi tiga kali lipat. Grup titik ini ditugaskan ke sistem kristal trigonal. Secara total ada tujuh sistem kristal: triklinik, monoklinik, ortorombik, tetragonal, trigonal, heksagonal dan kubik.

Suatu keluarga kristal ditentukan oleh kisi dan grup titik. Hal ini dibentuk dengan menggabungkan sistem kristal yang memiliki grup ruang yang ditugaskan ke sistem kisi-kisi yang umum. Dalam tiga dimensi, keluarga dan sistem kristal adalah identik, kecuali sistem kristal heksagonal dan trigonal, yang digabungkan menjadi satu keluarga kristal heksagonal. Secara total ada enam keluarga kristal: triklinik, monoklinik, ortorombik, tetragonal, heksagonal dan kubik.

Ruang dengan kurang dari tiga dimensi memiliki jumlah sistem kristal, keluarga kristal dan sistem kisi yang sama. Dalam ruang satu dimensi, ada satu sistem kristal. Di ruang dua dimensi, ada empat sistem kristal: miring, persegi empat, persegi dan heksagonal.

Hubungan antara keluarga kristal tiga dimensi, sistem kristal dan sistem kisi ditunjukkan pada tabel berikut:

Keluarga kristal	Sistem kristal	Simetri grup titik yang diperlukan	Grup titik	Grup ruang	Kisi Bravais	Sistem kisi
Triklinik		Tidak ada	2	2	1	Triklinik
Monoklinik		1 sumbu rotasi dua kali lipat atau 1 bidang pencerminan	3	13	2	Monoklinik
Ortorombik		3 sumbu rotasi dua kali lipat atau 1 sumbu rotasi dua kali lipat dan 2 bidang pencerminan.	3	59	4	Ortorombik
Tetragonal		1 sumbu rotasi empat kali lipat	7	68	2	Tetragonal
Heksagonal	Trigonal	1 sumbu rotasi tiga kali lipat	5	7	1	Rombohedral
	Trigonal	1 sumbu rotasi tiga kali lipat	5	18	1	Heksagonal
	Heksagonal	1 sumbu rotasi enam kali lipat	7	27	1	Heksagonal
Kubik		4 sumbu rotasi tiga kali lipat	5	36	3	Kubik
6	7	Total	32	230	14	7

Catatan: tidak ada sistem kisi "trigonal". Untuk menghindari kebingungan terminologi, istilah "kisi trigonal" tidak digunakan.

Kelas kristal

Sebanyak 7 sistem kristal terdiri dari 32 kelas kristal (sesuai dengan 32 grup titik kristalografis) seperti yang ditunjukkan pada tabel berikut:

Keluarga kristal	Sistem kristal	Grup titik / Kelas kristal	Schönflies	Hermann–Mauguin	Orbifold	Coxeter	Simetri titik	Orde	Grup abstrak
triklinik		triclinic-pedial	C₁	1	11	[ ]⁺	enansiomorfis polar	1	trivial $\mathbb {Z} _{1}$
triklinik		triklinik-pinakoidal	C_i	1	1x	[2,1⁺]	sentrosimetris	2	siklik $\mathbb {Z} _{2}$
monoklinik		monoklinik-sfenoidal	C₂	2	22	[2,2]⁺	enansiomorfis polar	2	siklik $\mathbb {Z} _{2}$
		monoklinik-domatik	C_s	m	*11	[ ]	polar	2	siklik $\mathbb {Z} _{2}$
		monoklinik-prismatik	C_2h	2/m	2*	[2,2⁺]	sentrosimetris	4	Klein four $\mathbb {V} =\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$
ortorombik		ortorombik-sfenoidal	D₂	222	222	[2,2]⁺	enansiomorfis	4	Klein four $\mathbb {V} =\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$
		ortorombik-piramidal	C_2v	mm2	*22	[2]	polar	4	Klein four $\mathbb {V} =\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$
		ortorombik-bipiramidal	D_2h	mmm	*222	[2,2]	sentrosimetris	8	$\mathbb {V} \times \mathbb {Z} _{2}$
tetragonal		tetragonal-piramidal	C₄	4	44	[4]⁺	enansiomorfis polar	4	siklik $\mathbb {Z} _{4}$
		tetragonal-disfenoidal	S₄	4	2x	[2⁺,2]	non-sentrosimetris	4	siklik $\mathbb {Z} _{4}$
		tetragonal-dipiramidal	C_4h	4/m	4*	[2,4⁺]	sentrosimetris	8	$\mathbb {Z} _{4}\times \mathbb {Z} _{2}$
		tetragonal-trapezoidal	D₄	422	422	[2,4]⁺	enansiomorfis	8	dihedral $\mathbb {D} _{8}=\mathbb {Z} _{4}\rtimes \mathbb {Z} _{2}$
		ditetragonal-piramidal	C_4v	4mm	*44	[4]	polar	8	dihedral $\mathbb {D} _{8}=\mathbb {Z} _{4}\rtimes \mathbb {Z} _{2}$
		tetragonal-skalenoidal	D_2d	42m or 4m2	2*2	[2⁺,4]	non-sentrosimetris	8	dihedral $\mathbb {D} _{8}=\mathbb {Z} _{4}\rtimes \mathbb {Z} _{2}$
		ditetragonal-dipiramidal	D_4h	4/mmm	*422	[2,4]	sentrosimetris	16	$\mathbb {D} _{8}\times \mathbb {Z} _{2}$
heksagonal	trigonal	trigonal-piramidal	C₃	3	33	[3]⁺	enansiomorfis polar	3	siklik $\mathbb {Z} _{3}$
		rombohedral	S₆ (C_3i)	3	3x	[2⁺,3⁺]	sentrosimetris	6	siklik $\mathbb {Z} _{6}=\mathbb {Z} _{3}\times \mathbb {Z} _{2}$
		trigonal-trapezoidal	D₃	32 or 321 or 312	322	[3,2]⁺	enansiomorfis	6	dihedral $\mathbb {D} _{6}=\mathbb {Z} _{3}\rtimes \mathbb {Z} _{2}$
		ditrigonal-piramidal	C_3v	3m or 3m1 or 31m	*33	[3]	polar	6	dihedral $\mathbb {D} _{6}=\mathbb {Z} _{3}\rtimes \mathbb {Z} _{2}$
		ditrigonal-skalahedral	D_3d	3m or 3m1 or 31m	2*3	[2⁺,6]	sentrosimetris	12	dihedral $\mathbb {D} _{12}=\mathbb {Z} _{6}\rtimes \mathbb {Z} _{2}$
	heksagonal	heksagonal-piramidal	C₆	6	66	[6]⁺	enansiomorfis polar	6	siklik $\mathbb {Z} _{6}=\mathbb {Z} _{3}\times \mathbb {Z} _{2}$
		trigonal-dipiramidal	C_3h	6	3*	[2,3⁺]	non-sentrosimetris	6	siklik $\mathbb {Z} _{6}=\mathbb {Z} _{3}\times \mathbb {Z} _{2}$
		heksagonal-dipiramidal	C_6h	6/m	6*	[2,6⁺]	sentrosimetris	12	$\mathbb {Z} _{6}\times \mathbb {Z} _{2}$
		heksagonal-trapezoidal	D₆	622	622	[2,6]⁺	enansiomorfis	12	dihedral $\mathbb {D} _{12}=\mathbb {Z} _{6}\rtimes \mathbb {Z} _{2}$
		diheksagonal-piramidal	C_6v	6mm	*66	[6]	polar	12	dihedral $\mathbb {D} _{12}=\mathbb {Z} _{6}\rtimes \mathbb {Z} _{2}$
		ditrigonal-dipiramidal	D_3h	6m2 or 62m	*322	[2,3]	non-sentrosimetris	12	dihedral $\mathbb {D} _{12}=\mathbb {Z} _{6}\rtimes \mathbb {Z} _{2}$
		diheksagonal-dipiramidal	D_6h	6/mmm	*622	[2,6]	sentrosimetris	24	$\mathbb {D} _{12}\times \mathbb {Z} _{2}$
kubik		tetrahedral	T	23	332	[3,3]⁺	enansiomorfis	12	alternating $\mathbb {A} _{4}$
		hekstetrahedral	T_d	43m	*332	[3,3]	non-sentrosimetris	24	simetris $\mathbb {S} _{4}$
		diploidal	T_h	m3	3*2	[3⁺,4]	sentrosimetris	24	$\mathbb {A} _{4}\times \mathbb {Z} _{2}$
		giroidal	O	432	432	[4,3]⁺	enansiomorfis	24	simetris $\mathbb {S} _{4}$
		heksoktahedral	O_h	m3m	*432	[4,3]	sentrosimetris	48	$\mathbb {S} _{4}\times \mathbb {Z} _{2}$

Simetri titik dapat dipikirkan dengan cara berikut: perhatikan koordinat yang membentuk struktur, dan proyeksikan semuanya melalui satu titik, sehingga (x,y,z) menjadi (−x,−y,−z). Hal ini 'struktur terbalik' (terinversi). Jika struktur asli dan struktur terbalik identik, maka strukturnya adalah sentrosimetris. Jika tidak maka merupakan non-sentrosimetris. Meski demikian, walau untuk kasus non-sentrosimetris, struktur terbalik dalam beberapa kasus dapat diputar agar sesuai dengan struktur aslinya. Hal ini adalah kasus struktur akiral non-sentrosimetris. Jika struktur terbalik tidak dapat diputar agar sesuai dengan struktur aslinya, maka strukturnya adalah kiral (enansiomorfis) dan kelompok simetrisnya adalah enansiomorfis.^[1]

Arah (artinya garis tanpa tanda panah) disebut sebagai polar jika dua indra arahnya secara geometris atau fisik berbeda. Arah simetri polar kristal disebut sumbu polar.^[2] Grup yang mengandung sumbu polar disebut polar. Kristal polar memiliki sumbu "unik" (tidak ditemukan dalam arah yang lain) sehingga beberapa sifat geometris atau fisik akan berbeda pada dua ujung poros ini. Hal ni dapat mengembangkan polarisasi dielektrik, misalnya dalam kristal piroelektrik. Sumbu polar hanya bisa terjadi pada struktur non-sentrosimetris. Seharusnya juga tidak ada bidang cermin atau poros dua sisi yang tegak lurus terhadap sumbu polar, karena keduanya akan membuat kedua arah sumbu ekuivalen.

Struktur molekul biologis yang kiral (seperti struktur protein) hanya terdapat dalam 65 grup titik enansiomorfis (molekul biologis biasanya kiral).

Kisi Bravais

Kisi Bravais, dipelajari oleh Auguste Bravais (1850),^[3] adalah suatu susunan tak terbatas dari titik diskret dalam ruang tiga dimensi yang dihasilkan oleh satu himpunan operasi translasi diskrit yang dijelaskan melalui persamaan:

\mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}

dengan n_i adalah bilangan bulat a_i dikenal sebagai vektor primitif yang terletak pada arah yang berbeda dan membentang pada kisi.

Distribusi 14 kisi Bravais ke dalam sistem kisi dan keluarga kristal diberikan dalam tabel berikut.^[4]

Keluarga kristal	Sistem kisi	Schönflies	14 kisi Bravais
Keluarga kristal	Sistem kisi	Schönflies	Primitif	Berpusat-dasar	Berpusat-badan	Berpusat-muka
triklinik		C_i
monoklinik		C_2h
ortorombik		D_2h
tetragonal		D_4h
heksagonal	rombohedral	D_3d
heksagonal	heksagonal	D_6h
kubik		O_h

Sistem kristal dalam ruang empat dimensi

Sel satuan empat dimensi didefinisikan oleh empat sisi panjang (a, b, c, d) dan enam sudut interaksial (α, β, γ, δ, ε, ζ). Kondisi berikut untuk parameter kisi menentukan 23 sistem kristal:

Sistem kristal dalam ruang 4D
No.	Sistem kristal	Panjang tepi	Sudut interaksial
1	Heksaklinik	a ≠ b ≠ c ≠ d	α ≠ β ≠ γ ≠ δ ≠ ε ≠ ζ ≠ 90°
2	Triklinik	a ≠ b ≠ c ≠ d	α ≠ β ≠ γ ≠ 90° δ = ε = ζ = 90°
3	Diklinik	a ≠ b ≠ c ≠ d	α ≠ 90° β = γ = δ = ε = 90° ζ ≠ 90°
4	Monoklinik	a ≠ b ≠ c ≠ d	α ≠ 90° β = γ = δ = ε = ζ = 90°
5	Ortogonal	a ≠ b ≠ c ≠ d	α = β = γ = δ = ε = ζ = 90°
6	Tetragonal monoklinik	a ≠ b = c ≠ d	α ≠ 90° β = γ = δ = ε = ζ = 90°
7	Heksagonal monoklinik	a ≠ b = c ≠ d	α ≠ 90° β = γ = δ = ε = 90° ζ = 120°
8	Ditetragonal diklinik	a = d ≠ b = c	α = ζ = 90° β = ε ≠ 90° γ ≠ 90° δ = 180° − γ
9	Ditrigonal (diheksagonal) diklinik	a = d ≠ b = c	α = ζ = 120° β = ε ≠ 90° γ ≠ δ ≠ 90° cos δ = cos β − cos γ
10	Tetragonal ortogonal	a ≠ b = c ≠ d	α = β = γ = δ = ε = ζ = 90°
11	Heksagonal ortogonal	a ≠ b = c ≠ d	α = β = γ = δ = ε = 90°, ζ = 120°
12	Ditetragonal monoklinik	a = d ≠ b = c	α = γ = δ = ζ = 90° β = ε ≠ 90°
13	Ditrigonal (diheksagonal) monoklinik	a = d ≠ b = c	α = ζ = 120° β = ε ≠ 90° γ = δ ≠ 90° cos γ = −12cos β
14	Ditetragonal ortogonal	a = d ≠ b = c	α = β = γ = δ = ε = ζ = 90°
15	Heksagonal tetragonal	a = d ≠ b = c	α = β = γ = δ = ε = 90° ζ = 120°
16	Diheksagonal ortogonal	a = d ≠ b = c	α = ζ = 120° β = γ = δ = ε = 90°
17	Kubik ortogonal	a = b = c ≠ d	α = β = γ = δ = ε = ζ = 90°
18	Oktagonal	a = b = c = d	α = γ = ζ ≠ 90° β = ε = 90° δ = 180° − α
19	Dekagonal	a = b = c = d	α = γ = ζ ≠ β = δ = ε cos β = −12 − cos α
20	Dodekagonal	a = b = c = d	α = ζ = 90° β = ε = 120° γ = δ ≠ 90°
21	Diisoheksagonal ortogonal	a = b = c = d	α = ζ = 120° β = γ = δ = ε = 90°
22	Ikosagonal (ikosahedral)	a = b = c = d	α = β = γ = δ = ε = ζ cos α = −14
23	Hiperkubik	a = b = c = d	α = β = γ = δ = ε = ζ = 90°

Nama-nama tersebut diberikan menurut Whittaker.^[5] Mereka hampir sama seperti dalam Brown et al,^[6] dengan pengecualian untuk nama keluarga kristal 9, 13, dan 22. Nama untuk ketiga keluarga ini menurut Brown et al Diberikan dalam kurung.

Hubungan antara keluarga kristal empat dimensi, sistem kristal, dan sistem kisi ditunjukkan pada tabel berikut.^[5]^[6] Sistem enansiomorfis ditandai dengan tanda bintang. Jumlah pasangan enansiomorfis diberikan dalam tanda kurung. Disini istilah "enansiomorfis" memiliki arti yang berbeda daripada tabel untuk kelas kristal tiga dimensi. Yang terakhir berarti, bahwa kelompok titik enansiomorfis menggambarkan struktur kiral (enansiomorfis). Pada tabel saat ini, "enansiomorfis" berarti bahwa kelompok itu sendiri (dianggap sebagai objek geometris) adalah enansiomorfis, seperti pasangan enansiomorfis grup ruang tiga dimensi. P3₁ dan P3₂, P4₁22 dan P4₃22. Dimulai dari ruang empat dimensi, grup titik juga dapat enansiomorfis dalam pengertian ini.

Sistem kristal dalam ruang 4D
No. keluarga kristal	Keluarga kristal	Sistem kristal	No. sistem kristal	Grup titik	Grup ruang	Kisi Bravais	Sistem kisi
I	Heksaklinik		1	2	2	1	Heksaklinik P
II	Triklinik		2	3	13	2	Triklinik P, S
III	Diklinik		3	2	12	3	Diklinik P, S, D
IV	Monoklinik		4	4	207	6	Monoklinik P, S, S, I, D, F
V	Ortogonal	Non-aksial ortogonal	5	2	2	1	Ortogonal KU
		Non-aksial ortogonal	5	2	112	8	Ortogonal P, S, I, Z, D, F, G, U
		Aksial ortogonal	6	3	887	8	Ortogonal P, S, I, Z, D, F, G, U
VI	Tetragonal monoklinik		7	7	88	2	Tetragonal monoklinik P, I
VII	Heksagonal monoklinik	Trigonal monoklinik	8	5	9	1	Heksagonal monoklinik R
		Trigonal monoklinik	8	5	15	1	Heksagonal monoklinik P
		Heksagonal monoklinik	9	7	25	1	Heksagonal monoklinik P
VIII	Ditetragonal diklinik*		10	1 (+1)	1 (+1)	1 (+1)	Ditetragonal diklinik P*
IX	Ditrigonal diklinik*		11	2 (+2)	2 (+2)	1 (+1)	Ditrigonal diklinik P*
X	Tetragonal ortogonal	Invers tetragonal ortogonal	12	5	7	1	Tetragonal ortogonal KG
		Invers tetragonal ortogonal	12	5	351	5	Tetragonal ortogonal P, S, I, Z, G
		Proper tetragonal ortogonal	13	10	1312	5	Tetragonal ortogonal P, S, I, Z, G
XI	Heksagonal ortogonal	Trigonal ortogonal	14	10	81	2	Heksagonal ortogonal R, RS
		Trigonal ortogonal	14	10	150	2	Heksagonal ortogonal P, S
		Heksagonal ortogonal	15	12	240	2	Heksagonal ortogonal P, S
XII	Ditetragonal monoklinik*		16	1 (+1)	6 (+6)	3 (+3)	Ditetragonal monoklinik P, S, D*
XIII	Ditrigonal monoklinik*		17	2 (+2)	5 (+5)	2 (+2)	Ditrigonal monoklinik P, RR
XIV	Ditetragonal ortogonal	Kripto-ditetragonal ortogonal	18	5	10	1	Ditetragonal ortogonal D
		Kripto-ditetragonal ortogonal	18	5	165 (+2)	2	Ditetragonal ortogonal P, Z
		Ditetragonal ortogonal	19	6	127	2	Ditetragonal ortogonal P, Z
XV	Heksagonal tetragonal		20	22	108	1	Hexagonal tetragonal P
XVI	Diheksagonal ortogonal	Kripto-ditrigonal ortogonal*	21	4 (+4)	5 (+5)	1 (+1)	Diheksagonal ortogonal G*
		Kripto-ditrigonal ortogonal*	21	4 (+4)	5 (+5)	1	Diheksagonal ortogonal P
		Diheksagonal ortogonal	23	11	20
		Ditrigonal ortogonal	22	11	41
		Ditrigonal ortogonal	22	11	16	1	Diheksagonal ortogonal RR
XVII	Kubik ortogonal	Kubik ortogonal sederhana	24	5	9	1	Kubik ortogonal KU
		Kubik ortogonal sederhana	24	5	96	5	Kubik ortogonal P, I, Z, F, U
		Kubic ortogonal kompleks	25	11	366	5	Kubik ortogonal P, I, Z, F, U
XVIII	Oktagonal*		26	2 (+2)	3 (+3)	1 (+1)	Oktagonal P*
XIX	Dekagonal		27	4	5	1	Dekagonal P
XX	Dodekagonal*		28	2 (+2)	2 (+2)	1 (+1)	Dodekagonal P*
XXI	Diisoheksagonal ortogonal	Diisoheksagonal ortogonal sederhana	29	9 (+2)	19 (+5)	1	Diisoheksagonal ortogonal RR
		Diisoheksagonal ortogonal sederhana	29	9 (+2)	19 (+3)	1	Diisoheksagonal ortogonal P
		Diisoheksagonal ortogonal kompleks	30	13 (+8)	15 (+9)	1	Diisoheksagonal ortogonal P
XXII	Ikosagonal		31	7	20	2	Ikosagonal P, SN
XXIII	Hiperkubik	Oktagonal hiperkubik	32	21 (+8)	73 (+15)	1	Hiperkubik P
		Oktagonal hiperkubik	32	21 (+8)	107 (+28)	1	Hiperkubik Z
		Dodekagonal hiperkubik	33	16 (+12)	25 (+20)	1	Hiperkubik Z
Total	23 (+6)	33 (+7)		227 (+44)	4783 (+111)	64 (+10)	33 (+7)

Lihat pula

Referensi

^ Flack, Howard D. (2003). "Chiral and Achiral Crystal Structures". Helvetica Chimica Acta. 86 (4): 905–921. doi:10.1002/hlca.200390109.
^ Hahn (2002), hlm. 804
^ Aroyo, Mois I.; Müller, Ulrich; Wondratschek, Hans (2006). "Historical Introduction". International Tables for Crystallography. Springer. A1 (1.1): 2–5. doi:10.1107/97809553602060000537. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2013-07-04. Diakses tanggal 2008-04-21.
^ Berdasarkan daftar sel konvensional yang ditemukan di Hahn (2002), hlm. 744
^ ^a ^b Whittaker, E. J. W. (1985). An Atlas of Hyperstereograms of the Four-Dimensional Crystal Classes. Oxford & New York: Clarendon Press.
^ ^a ^b Brown, H.; Bülow, R.; Neubüser, J.; Wondratschek, H.; Zassenhaus, H. (1978). Crystallographic Groups of Four-Dimensional Space. New York: Wiley.

Bacaan lebih lanjut

Hahn, Theo, ed. (2002). International Tables for Crystallography, Volume A: Space Group Symmetry. A (edisi ke-5th). Berlin, New York: Springer-Verlag. doi:10.1107/97809553602060000100. ISBN 978-0-7923-6590-7.

Pranala luar

Overview of the 32 groups
Mineral galleries – Symmetry Diarsipkan 2005-06-24 di Wayback Machine.
all cubic crystal classes, forms and stereographic projections (interactive java applet) Diarsipkan 2009-02-13 di Wayback Machine.
Crystal system at the Online Dictionary of Crystallography
Crystal family at the Online Dictionary of Crystallography
Lattice system at the Online Dictionary of Crystallography
Conversion Primitive to Standard Conventional for VASP input files Diarsipkan 2021-11-26 di Wayback Machine.
Learning Crystallography

[1] Flack, Howard D. (2003). "Chiral and Achiral Crystal Structures". Helvetica Chimica Acta. 86 (4): 905–921. doi:10.1002/hlca.200390109.

[2] Hahn (2002), hlm. 804

[3] Aroyo, Mois I.; Müller, Ulrich; Wondratschek, Hans (2006). "Historical Introduction". International Tables for Crystallography. Springer. A1 (1.1): 2–5. doi:10.1107/97809553602060000537. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2013-07-04. Diakses tanggal 2008-04-21.

[4] Berdasarkan daftar sel konvensional yang ditemukan di Hahn (2002), hlm. 744

[Whittaker-5] Whittaker, E. J. W. (1985). An Atlas of Hyperstereograms of the Four-Dimensional Crystal Classes. Oxford & New York: Clarendon Press.

[Brown-6] Brown, H.; Bülow, R.; Neubüser, J.; Wondratschek, H.; Zassenhaus, H. (1978). Crystallographic Groups of Four-Dimensional Space. New York: Wiley.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]