Relasi refleksif

relasi biner antara dua himpunan yang tiap elemen berelasi dengan dirinya sendiri

Dalam matematika, relasi biner pada himpunan X dikatakan refleksif jika relasi menghubungkan setiap anggota dari X ke dirinya sendiri. Contoh terkait relasi refleksif adalah relasi "sama dengan" (=) pada himpunan bilangan real, sebab setiap bilangan real akan sama dengan dirinya sendiri. Relasi refleksif dikatakan mempunyai sifat refleksif atau dikatakan mempunyai refleksivitas. Refleksivitas merupakan salah satu dari tiga sifat yang mendefinisikan relasi ekuivalensi.[1][2]

Definisi

sunting

Misalkan   menyatakan relasi biner pada himpunan  , yang merupakan subhimpunan dari  . Untuk sebarang   dan   di himpunan  ,   mengartikan bahwa pasangan terurut   merupakan pasangan dari relasi  , yang diberi notasi  . Notasi untuk "bukan  " berarti  . Relasi   disebut refleksif jika   untuk setiap  . Dengan kata lain, relasi   juga disebut refleksif jika  , dengan   menyatakan relasi identitas pada himpunan  , yaitu  .[3]

Klosur relasi (relation closure) dari   merupakan gabungan dari relasi dengan relasi identitas, yakni  , yang dapat didefinisikan sebagai relasi refleksif terkecil pada himpunan  . Relasi   dikatakan refleksif jika dan hanya jika ia sama dengan klosur refleksifnya.

Catatan

sunting
  1. ^ Levy (1979), hlm. 74..
  2. ^ Gunther (2011), hlm. 61..
  3. ^ Gunther (2011), hlm. 34.

Referensi

sunting
  • Levy, A. (1979), Basic Set Theory, Perspectives in Mathematical Logic, Springer-Vertag, ISBN 0-486-42079-5 
  • Gunther, Schmidt (2011), Relational Mathematics, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76268-7