Pusat kongruensi Yff

sebuah titik khusus yang dikaitkan dengan sebuah segitiga

Dalam geometri, pusat kongruensi Yff (bahasa Inggris: Yff center of congruence) merupakan sebuah titik khusus yang dikaitkan dengan sebuah segitiga. Titik khusus tersebut merupakan sebuah titik pusat di segitiga. Peter Yff memulai kajian pusat segitiga ini pada tahun 1987.[1]

Penyama kaki

sunting
 
Segitiga pusat Yff dari  

Penyama kaki (bahasa Inggris: isocelizer) sudut   dalam segitiga   merupakan suatu garis yang memotong titik   dan  , dengan   terletak di   dan   terletak di  , sehingga segitiga   adalah segitiga sama kaki. Penyama kaki sudut   merupakan garis yang tegak lurus dengan garis bagi sudut  . Penyama kaki ini ditemukan oleh Peter Yff pada tahun 1963.[2]

Segitiga pusat Yff

sunting

Misalkan   menyatakan sebarang segitiga. Misalkan pula   menyatakan penyama kaki sudut  ,   menyatakan penyama kaki sudut  , dan   menyatakan penyama kaki sudut  . Misalkan   menyatakan segitiga yang dibentuk oleh tiga penyama kaki. Empat segitiga  ,  ,  , dan   selalu sebangun

Terdapat sebuah himpunan tunggal dari tiga penyama kaki  ,  ,   sehingga empat segitiga  ,  ,  , dan   adalah kongruen. Dalam kasus istimewa ini, segitiga   yang dibentuk oleh tiga penyama kaki disebut segitiga pusat Yff dari segitiga  .[3]

Lingkaran luar dari segitiga pusat Yff disebut lingkaran pusat Yff dari segitiga.

Pusat kongruensi Yff

sunting
 
Animasi memperlihatkan penyusutan secara kontinu, yang berawal dari segitiga pusat Yff hingga ke pusat kongruensi Yff. Animasi tersebut juga memperlihatkan segitiga pusat Yff yang diperluas secara kontinu sampai ketiga segitiga luar mereduksi ke titik di sisi segitiga.

Misalkan   menyatakan sebarang segitiga. Misalkan  ,  ,   menyatakan penyama kaki dari sudut  ,  ,   sehingga segitiga   yang dibentuk olehnya adalah segitiga pusat Yff dari segitiga  . Ketiga penyama kaki  ,  ,   sejajar dan digeser secara kontinu, sehingga akan mengakibatkan ketiga segitiga  ,  ,   selalu kongruen dengan satu sama lain, sampai segitiga   dibentuk oleh perpotongan dari penyama kaki yang mereduksi ke sebuah titik. Titik di segitiga   yang direduksi disebut pusat kongruensi Yff segitiga  .

Sifat-sifat

sunting
 
Sebarang segitiga   merupakan segitiga yang dibentuk oleh garis, dan garis tersebut secara eksternal bersinggungan dengan tiga lingkaran singgung luar dari segitiga pusat Yff dari  .
  • Pusat kongruensi Yff mempunyai koordinat trilinear, yaitu [4]  
  • Sebarang segitiga   merupakan segitiga yang dibentuk oleh garis, dan garis tersebut secara eksternal bersinggungan dengan tiga lingkaran singgung luar dari segitiga pusat Yff dari  .
  • Misalkan   menyatakan lingkaran dalam dari  . Misalkan   menyatakan sebuah titik di sisi   sehingga  ,   menyatakan sebuah titik yang berada di sisi   sehingga  , dan   menyatakan sebuah titik yang berada di sisi   sehingga  . Maka garis  ,  , dan   setumpu di pusat kongruensi Yff. Dengan adanya fakta ini, akan memberikan konstruksi geometris untuk menemukan pusat kongruensi Yff.[5]
  • Terdapat sebuah komputer yang membantu pencarian sifat-sifat dari segitiga pusat Yff, dan pencarian tersebut memberikan beberapa hasil yang menarik. Hasil tersebut mempunyai kaitan dengan sifat-sifat dari segitiga pusat Yff.[6]

Perumuman

sunting
 
Perumuman pusat kongruensi Yff.

Konstruksi geometris untuk menemukan pusat kongruensi Yff memiliki perumuman yang menarik. Perumuman itu dimulai dengan sebarang titik   dalam bidang segitiga  . Kemudian, ambil titik   di sisi  ,   di  , dan   di sisi  , sehingga  ,  , dan  . Dengan demikian, perumuman tersebut menegaskan bahwa garis  ,  ,   setumpu.[7]

Lihat pula

sunting

Referensi

sunting
  1. ^ Kimberling, Clark. "Yff Center of Congruence". Diakses tanggal 30 May 2012. 
  2. ^ Weisstein, Eric W. "Isoscelizer". MathWorld--A Wolfram Web Resource. Diakses tanggal 30 May 2012. 
  3. ^ Weisstein, Eric W. "Yff central triangle". MathWorld--A Wolfram Web Resource. Diakses tanggal 30 May 2012. 
  4. ^ Kimberling, Clark. "Yff Center of Congruence". Diakses tanggal 30 May 2012. 
  5. ^ Kimberling, Clark. "X(174) = Yff Center of Congruence". Diakses tanggal 2 June 2012. 
  6. ^ Dekov, Deko (2007). "Yff Center of Congruence". Journal of Computer-Generated Euclidean Geometry. 37: 1–5. Diakses tanggal 30 May 2012. 
  7. ^ Kimberling, Clark. "X(174) = Yff Center of Congruence". Diakses tanggal 2 June 2012.