Polinomial Hermite

Polinomial Hermite dalam matematika merupakan polinomial ortogonal klasik.

Polinomial Hermite muncul di:

• Pemrosesan sinyal sebagai wavelet Hermitian untuk analisis transformasi wavelet.
• Probabilitas, seperti deret Edgeworth, serta sehubungan dengan gerak Brown;
• Kombinatorik, sebagai contoh deret Appell, yang mematuhi kalkulus umbral;
• Analisis numerik sebagai kuadratur Gaussian;
• Fisika, di mana mereka memunculkan keadaan eigen dari osilator harmonik kuantum; dan mereka juga terjadi dalam beberapa kasus persamaan distribusi panas (heat equation)
• Teori sistem sehubungan dengan operasi nonlinier pada noise Gaussian.
• Teori matriks acak dalam ansambel Gaussian.

Biografi

Artikel utama: Charles Hermite

Charles Hermite (1822-1901) adalah matematikawan Perancis yang melakukan pekerjaan brilian di banyak cabang matematika. Namun, sendiri, ia menguasai memoar Lagrange tentang solusi persamaan numerik dan Disquisitiones Arithmeticae karya Gauss. Dia diterima di cole Polytechnique. Dia terpaksa pergi setelah satu tahun ketika diputuskan bahwa kaki kanannya yang cacat bawaan tidak akan memungkinkan dia untuk mengambil komisi di militer, membuatnya tidak sepadan dengan waktu Politeknik.

Hermite telah banyak berjasa, terutama dalam fungsi Abelian. Tidak hanya itu, Hermite kerap membantu banyak matematikawan muda lainnya, seperti kontribusinya dalam menunjukkan mengenai bilangan transendental yang menjadi solusi persamaan polinomial terbatas. Dirinya sering dikenal sebagai tokoh utama dalam pengembangan teori bentuk aljabar, teori aritmatika bentuk kuadrat, dan bahkan hingga fungsi elips dan Abelian.

Pada tahun 1848, Hermite menyiapkan dirinya untuk gelar sarjana sains dan disaat yang bersamaan mengajar di Cole Polytechnique, Paris. Dan pada tahun 1869, Hermite diangkat sebagai Profesor di Cole Normale, Paris, serta diangkat dalam posisi yang lebih tinggi lagi di tahun 1870.

Definisi

Persamaan Diferensial

Polinomial Hermite adalah solusi dari persamaan diferensial

$y''-2xy'=-2ny$

Penyelesaiannya diberikan secara unik dalam bentuk polinomial Hermite dalam bentuk

$y(x)=C_{1}H_{n}(x)$

dengan $C_{1}$ menunjukkan suatu konstanta setelah menerapkan kondisi batas bahwa $u$ harus dibatasi secara polinomial di tak hingga.

Persamaan diferensial lain yang solusinya dapat dituliskan dalam bentuk polinomial Hermite adalah :

$y''-x^{2}y=-(2n+1)u$

Solusi dari persamaan diferensial tersebut adalah

$y(x)=C_{1}(-1)^{n}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}H_{n}(x)$

Dalam beberapa sumber lain, $y$ dituliskan dengan variabel $u$, dan $n$ dituliskan dengan $\lambda$. Baik $y$ atau $u$, keduanya sama-sama merupakan fungsi $x$, dan $n$ atau $\lambda$ merupakan bilangan cacah.

Persamaan Rodrigues

Persamaan Rodrigues untuk Polinomial Hermite adalah :

$H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n}e^{-x^{2}}$

Berikut beberapa Polinomial Hermite pertama :

$H_{0}(x)=1$

$H_{1}(x)=2x$

$H_{2}(x)=4x^{2}-2$

$H_{3}(x)=8x^{3}-12x$

$H_{4}(x)=16x^{4}-48x^{2}+12$

$H_{5}(x)=32x^{5}-160x^{3}+120x$

$H_{6}(x)=64x^{6}-480x^{4}+720x^{2}-120$

$H_{7}(x)=128x^{7}-1344x^{5}+3360x^{3}-1680x$

Fungsi Pembangkit

Fungsi pembangkit untuk Polinomial Hermite adalah :

$G_{H}(x,t)=e^{2tx-t^{2}}$

Fungsi pembangkit tersebut dapat diuraikan menjadi

$e^{2tx-t^{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{s=0}^{{\frac {n}{2}}atau{\frac {n-1}{2}}}\left[{\frac {(-1)^{s}}{(n-2)!s!}}(2x)^{n-2s}t^{n}\right]=\sum _{n=0}^{\infty }t^{n}\left(\sum _{s=0}^{{\frac {n}{2}}atau{\frac {n-1}{2}}}\left[{\frac {(-1)^{s}}{(n-2)!s!}}(2x)^{n-2s}\right]\right)$

Ingat bahwa

$H_{n}(x)=\sum _{s=0}^{{\frac {n}{2}}atau{\frac {n-1}{2}}}(-1)^{r}\left[{\frac {n!}{(n-2)!r!}}(2x)^{n-2r}\right]$

Sehingga diperoleh

$G_{H}(x,t)=e^{2tx-t^{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {H_{n}(x)}{n!}}t^{n}$

Sifat

Visualisasi

Plot beberapa Polinomial Hermite pertama $H_{n}(x)$ :

Plot Beberapa Polinomial Hermite Pertama

Plot bagian riil dari $H_{n}(x+iy)$:

Plot Bagian Riil dari $H_{n}(x+iy)$

Plot bagian imajiner dari $H_{n}(x+iy)$:

Plot Bagian Imajiner dari $H_{n}(x+iy)$

Ortogonalitas

Dalam matematika , ortogonalitas adalah generalisasi dari gagasan geometris tentang tegak lurus . Dengan ekstensi, ortogonalitas juga digunakan untuk merujuk pada pemisahan fitur khusus dari suatu sistem. Istilah ini juga memiliki arti khusus di bidang lain termasuk seni dan kimia.

$H_{n}(x)$ dan $He_{n}(x)$ adalah polinomial derajat ke-n untuk n = 0, 1, 2, 3,.... Polinomial ini ortogonal terhadap fungsi bobot / pemberat

$w(x)=e^{-x^{2}}$

Secara umum, berlaku ortogonalitas

$\int _{-\infty }^{\infty }H_{m}(x)H_{n}(x)e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}2^{n}n!\delta _{nm}$

di mana $\delta _{nm}$ adalah delta Kronecker

Dengan demikian polinomial probabilis ortogonal terhadap fungsi kerapatan probabilitas normal standar.

Sifat Rekursif

Sifat rekursif dari Polinomial Hermite adalah

$H_{n+1}(x)=2xH_{n}(x)-2nH_{n-1}(x)$

$H'_{n}(x)=2nH_{n-1}(x)$

Persamaan ini didapat dapat diturunkan menggunakan fungsi pembangkit.

Fenomena Kuantum

Operator Hamiltonian, operator mekanika kuantum umum untuk energi, mencakup operator energi kinetik, ${\hat {T}}$, dan operator energi potensial, ${\hat {V}}$

${\hat {H}}={\hat {T}}+{\hat {V}}$

Persamaan energi total pada osilator harmonis mencakup energi kinetik dan energi potensial harmonik. Sehingga persamaan Schrodinger independen waktu bisa ditulis sebagai berikut

Fungsi Gelombang $\psi _{n}(x)$ untuk n = 0 sampai n = 8

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)\psi =E\psi$

Untuk suatu osilator sederhana $V(x)$ diberikan oleh,

$V(x)={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}$

Sehingga persamaan Schrodinger menjadi

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\psi =E\psi$

Misal suatu variable $\epsilon$ yang didefinisikan sebagai berikut

$\epsilon ={\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x$

Sekarang kita tahu bahwa $\psi$ adalah fungsi $\epsilon$ di mana $\epsilon$ sendiri adalah fungsi $x$

Fungsi Densitas Probabilitas $\psi _{n}^{2}(x)$ untuk n = 0 sampai n = 7

${\frac {d\psi }{dx}}={\frac {d\psi }{d\epsilon }}{\frac {d\epsilon }{dx}}$

${\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}={\frac {d^{2}\psi }{d\epsilon ^{2}}}{\frac {d\epsilon }{dx}}{\frac {d\epsilon }{dx}}+{\frac {d\psi }{d\epsilon }}{\frac {d^{2}\epsilon }{dx^{2}}}$

${\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}={\frac {d^{2}\psi }{d\epsilon ^{2}}}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}\right)^{2}+{\frac {d\psi }{d\epsilon }}(0)$

${\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}={\frac {m\omega }{\hbar }}{\frac {d^{2}\psi }{d\epsilon ^{2}}}$

Substitusi kedalam persamaan differensial sebelumnya

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {m\omega }{\hbar }}{\frac {d^{2}\psi }{d\epsilon ^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\psi =E\psi$

$x^{2}$ dapat dinyatakan sebagai

$x^{2}={\frac {\epsilon ^{2}\hbar }{m\omega }}\rightarrow {\frac {d^{2}\psi }{d\epsilon ^{2}}}=\epsilon ^{2}\psi -{\frac {2E}{\hbar \omega }}\psi$

Definisikan

$K={\frac {2E}{\hbar \omega }}\rightarrow {\frac {d^{2}\psi }{d\epsilon ^{2}}}=(\epsilon ^{2}-K)\psi$

Ketika $\epsilon$ jauh lebih besar dari $K$,

${\frac {d^{2}\psi }{d\epsilon ^{2}}}\approx \epsilon ^{2}\psi$

$\psi (\epsilon )=Ae^{-{\frac {\epsilon ^{2}}{2}}}+Be^{\frac {\epsilon ^{2}}{2}}$

Supaya bisa ternormalisasi maka dipastikan $B=0$ supaya solusi $\psi (\epsilon )$ tidak terus bertambah besar secara eksponensial ketika $\epsilon$ menuju tak hingga,

$\psi (\epsilon )=Ae^{-{\frac {\epsilon ^{2}}{2}}}$

Tinjau suatu kasus di mana koefisien $e^{-{\frac {\epsilon ^{2}}{2}}}$ bukanlah konstanta melainkan sebuah fungsi dependen $\epsilon$,

$\psi (\epsilon )=f(\epsilon )e^{-{\frac {\epsilon ^{2}}{2}}}$

${\frac {d\psi }{d\epsilon }}={\frac {df}{d\epsilon }}e^{-{\frac {\epsilon ^{2}}{2}}}-\epsilon fe^{-{\frac {\epsilon ^{2}}{2}}}=\left({\frac {df}{d\epsilon }}-\epsilon f\right)e^{-{\frac {\epsilon ^{2}}{2}}}$

${\frac {d^{2}\psi }{d\epsilon ^{2}}}=\left({\frac {d^{2}\psi }{d\epsilon ^{2}}}-\left(f+\epsilon {\frac {df}{d\epsilon }}\right)\right)e^{-{\frac {\epsilon ^{2}}{2}}}-\epsilon \left({\frac {df}{d\epsilon }}-\epsilon f\right)e^{-{\frac {\epsilon ^{2}}{2}}}$

${\frac {d^{2}\psi }{d\epsilon ^{2}}}=\left({\frac {d^{2}f}{d\epsilon ^{2}}}-2\epsilon {\frac {df}{d\epsilon }}+(\epsilon ^{2}-1)f\right)e^{-{\frac {\epsilon ^{2}}{2}}}$

Substitusi kembali

${\frac {d^{2}\psi }{d\epsilon ^{2}}}=(\epsilon ^{2}-K)\psi$

Sehingga diperoleh

${\frac {d^{2}f}{d\epsilon ^{2}}}-2\epsilon {\frac {df}{d\epsilon }}+(K-1)f=0$

Persamaan differensial diatas tidak lain adalah bentuk lain persamaan differensial Hermite di mana solusinya adalah polinomial Hermite. Dengan membandingkan koefisien persamaan di atas dengan persamaan diferensial Hermite,

$K=2n+1$

$E=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\hbar \omega$

Persamaan di atas menunjukkan bahwa energi terkuantisasi atau hanya dapat memiliki nilai tertentu. Yang menarik adalah energy ground state yang tidak nol yang tidak intuitif jika dilihat dari perspektif fisika klasik.

$E_{0}={\frac {1}{2}}\hbar \omega$

Sedangkan solusi persamaan differensial diatas menjadi,

$f(\epsilon )=H_{n}(\epsilon )$

$\psi (\epsilon )=H_{n}(\epsilon )e^{-{\frac {\epsilon ^{2}}{2}}}$

Dari ortogonalitas polinomial Hermite,

$\psi _{n}(\epsilon )={\frac {1}{{\sqrt {2^{n}n!}}\pi ^{\frac {1}{4}}}}H_{n}(\epsilon )e^{-{\frac {\epsilon ^{2}}{2}}}$

$\psi$ sebagai fungsi $x$,

$\psi _{n}(x)=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{\frac {1}{4}}{\frac {1}{\sqrt {2^{n}n!}}}H_{n}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right)e^{-{\frac {m\omega }{2\hbar }}x^{2}}$

Referensi

• Mary L., Boas. (2006). Mathematical Methods in The Physical Sciences (Third Edition). United States: John Wiley & Sons, Inc.
• Griffiths, D. J., & Schroeter, D. F. (2018). Introduction to quantum mechanics. Cambridge university press.
• Weisstein, Eric W. "Hermite Polynomial." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/HermitePolynomial.html
• Wolfram Research (1988), HermiteH, Wolfram Language function, https://reference.wolfram.com/language/ref/HermiteH.html (updated 2022)
• The Harmonic-Oscillator Wavefunctions involve Hermite Polynomials. (2020, March 19). https://chem.libretexts.org/@go/page/210817