Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz

Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz, atau dikenal juga sebagai pertidaksamaan Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz,^[1]^[2]^[3]^[4] adalah salah satu pertidaksamaan yang sangat penting dan seringkali dipakai dalam matematika.^[5]

Pertidaksamaan untuk penjumlahan diterbitkan oleh Augustin-Louis Cauchy (1821), sedangkan pertidaksamaan untuk integral pertama kali dibuktikan oleh Viktor Bunyakovsky (1859)^[2] dan Hermann Amandus Schwarz (1888). Bukti modern untuk versi integral diberikan oleh Schwarz.^[5]

Pernyataan pertidaksamaan

Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz mengatakan bahwa untuk semua vektor $\mathbf {u}$ dan $\mathbf {v}$ dari ruang hasil kali dalam berlaku benar bahwa

$\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle ^{2}\leq \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle \cdot \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle ,$

(Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz [yang ditulis hanya menggunakan hasil kali dalam])

dengan $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ adalah hasil kali dalam. Setiap hasil kali dalam menimbulkan norma, yang disebut sebagai norma terimbas dengan norma dari vektor $\mathbf {u}$ dinyatakan dan didefinisikan dengan: $\|\mathbf {u} \|:={\sqrt {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle }}$ sehingga norma dan hasil kali dalam tersebut berkaitan dengan mendefinisikan syarat bahwa $\|\mathbf {u} \|^{2}=\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle ,$ dengan $\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle$ selalu bernilai real non-negatif (bahkan jika hasil kali dalamnya bernilai kompleks). Dengan mengakarkuadratkan kedua ruas, pertidaksamaan di atas dapat dituliskan dalam bentuk yang lebih familiar:^[6]^[7]

$|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |\leq \|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|.$

(Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz [yang ditulis menggunakan norma dan hasil kali dalam])

Terlebih lagi, kedua ruas tersebut akan sama jika dan hanya jika $\mathbf {u}$ dan $\mathbf {v}$ adalah vektor yang tergantung linear.^[8]^[9]^[10]

Kasus istimewa

Lema Sadrayakan untuk bilangan real positif

Pertidaksamaan Sedrakyan, atau disebut pertidaksamaan Bergström, bentuk Engel, lema T2, atau lema Titu, mengatakan bahwa untuk bilangan real positif: ${\frac {\left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}\right)^{2}}{\sum _{i=1}^{n}v_{i}}}\leq \sum _{i=1}^{n}{\frac {u_{i}^{2}}{v_{i}}}\quad {\text{atau}}\quad {\frac {u_{1}^{2}}{v_{1}}}+{\frac {u_{2}^{2}}{v_{2}}}+\cdots +{\frac {u_{n}^{2}}{v_{n}}}\geq {\frac {\left(u_{1}+u_{2}+\cdots +u_{n}\right)^{2}}{v_{1}+v_{2}+\cdots +v_{n}}}.$ Pertidaksamaan ini merupakan akibat langsung dari pertidaksamaan Cauchy–Schwarz, yang diperoleh dengan menggunakan hasil kali bintik di $\mathbb {R} ^{n}$ dengan memasukkan $u_{i}'={\frac {u_{i}}{\sqrt {v_{i}}}}{\text{ dan }}v_{i}'={\sqrt {v_{i}}}.$ Bentuk ini sangat berguna saat pertidaksamaan tersebut melibatkan pecahan yang mempunyai pembilang berupa bilangan kuadrat.

Ruang Euklides dimensi- $n$

Dalam ruang Euklides $\mathbb {R} ^{n}$ dengan hasil kali dalam standar, yaitu hasil kali bintik, pertidaksamaan Cauchy–Schwarz ditulis sebagai $\left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}^{2}\right)$ Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz dapat dibuktikan dengan menggunakan gagasan aljabar elementer. Misalkan polinomial kuadrat di $x$ di bawah berikut adalah: $0\leq (u_{1}x+v_{1})^{2}+\cdots +(u_{n}x+v_{n})^{2}=\left(\sum u_{i}^{2}\right)x^{2}+2\left(\sum u_{i}v_{i}\right)x+\sum v_{i}^{2}.$ Pertidaksamaan tersebut setidaknya mempunyai satu buah solusi real untuk $x,$ sebab nilainya tak negatif. Karena itu, diskriminan dari polinomial lebih kecil daripada sama dengan nol, dalam artian, $\left(\sum _{i}u_{i}v_{i}\right)^{2}-\left(\sum _{i}{u_{i}^{2}}\right)\left(\sum _{i}{v_{i}^{2}}\right)\leq 0,$

Ruang kompleks bidang- $n$

Jika $\mathbf {u} ,\mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}$ dengan $\mathbf {u} =(u_{1},\dots ,u_{n})$ dan $\mathbf {v} =(v_{1},\dots ,v_{n})$ , dan $u_{1},\ldots ,u_{n}\in \mathbb {C}$ dan $v_{1},\ldots ,v_{n}\in \mathbb {C}$ ; serta jika hasil kali dalam di ruang vektor $\mathbb {C} ^{n}$ merupakan hasil kali dalam kompleks kanonis (yang didefinisikan dengan $\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle :=u_{1}{\overline {v_{1}}}+\cdots +u_{n}{\overline {v_{n}}},$ dengan notasi bar pada rumus tersebut melambangkan konjugasi sekawan), maka terdapat sebuah pertidaksamaan yang dapat dinyatakan lebih eksplisit sebagai berikut: $\left|\sum _{i=1}^{n}u_{i}{\bar {v}}_{i}\right|^{2}\leq \sum _{j=1}^{n}|u_{j}|^{2}\sum _{k=1}^{n}|v_{k}|^{2},$ atau dengan kata lain, $|u_{1}{\bar {v}}_{1}+\cdots +u_{n}{\bar {v}}_{n}|^{2}\leq (|u_{1}|^{2}+\cdots +|u_{n}|^{2})(|v_{1}|^{2}+\cdots +|v_{n}|^{2}).$

$L 2$

Untuk hasil kali dalam dari fungsi bernilai kompleks terintegralkan kuadrat, didapat pertidaksamaan berikut

\left|\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x){\overline {g(x)}}\,dx\right|^{2}\leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}|f(x)|^{2}\,dx\int _{\mathbb {R} ^{n}}|g(x)|^{2}\,dx.

Pertidaksamaan di atas ini dapat diperumum menjadi pertidaksamaan Hölder.

Lihat pula

Pertidaksamaan Bessel – Pertidaksamaan yang digunakan dalam banyak pengaturan berbeda, seperti aljabar linier, analisis, teori probabilitas, aljabar vektor, dan bidang lainnya. Ini dianggap sebagai salah satu pertidaksamaan yang paling penting
Pertidaksamaan Hölder – Pertidaksamaan yang digunakan dalam banyak pengaturan berbeda, seperti aljabar linier, analisis, teori probabilitas, aljabar vektor, dan bidang lainnya. Ini dianggap sebagai salah satu pertidaksamaan yang paling penting
Pertidaksamaan Jensen
Pertidaksamaan Kunita–Watanabe – Pertidaksamaan yang digunakan dalam banyak pengaturan berbeda, seperti aljabar linier, analisis, teori probabilitas, aljabar vektor, dan bidang lainnya. Ini dianggap sebagai salah satu pertidaksamaan yang paling penting
Pertidaksamaan Minkowski – Pertidaksamaan yang digunakan dalam banyak pengaturan berbeda, seperti aljabar linier, analisis, teori probabilitas, aljabar vektor, dan bidang lainnya. Ini dianggap sebagai salah satu pertidaksamaan yang paling penting
Pertidaksamaan Paley–Zygmund – Pertidaksamaan yang digunakan dalam banyak pengaturan berbeda, seperti aljabar linier, analisis, teori probabilitas, aljabar vektor, dan bidang lainnya. Ini dianggap sebagai salah satu pertidaksamaan yang paling penting

Kutipan

^ O'Connor, J.J.; Robertson, E.F. "Hermann Amandus Schwarz". University of St Andrews, Scotland.
^ ^a ^b Bityutskov, V. I. (2001) [1994], "Bunyakovskii inequality", dalam Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
^ Ćurgus, Branko. "Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz inequality". Department of Mathematics. Western Washington University.
^ Joyce, David E. "Cauchy's inequality" (PDF). Department of Mathematics and Computer Science. Clark University.
^ ^a ^b Steele, J. Michael (2004). The Cauchy–Schwarz Master Class: an Introduction to the Art of Mathematical Inequalities. The Mathematical Association of America. hlm. 1. ISBN 978-0521546775. ...tak perlu diragukan bahwa ini adalah salah satu pertidaksamaan yang paling sering dipakai dan paling penting dalam semua cabang matematika.
^ Strang, Gilbert (19 July 2005). "3.2". Linear Algebra and its Applications (edisi ke-4th). Stamford, CT: Cengage Learning. hlm. 154–155. ISBN 978-0030105678.
^ Hunter, John K.; Nachtergaele, Bruno (2001). Applied Analysis. World Scientific. ISBN 981-02-4191-7.
^ Bachmann, George; Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2012-12-06). Fourier and Wavelet Analysis. Springer Science & Business Media. hlm. 14. ISBN 9781461205050.
^ Hassani, Sadri (1999). Mathematical Physics: A Modern Introduction to Its Foundations. Springer. hlm. 29. ISBN 0-387-98579-4. Kesamaan berlaku jika dan hanya jika <c|c>=0 atau |c>=0. Berdasarkan definisi |c>, kita simpulkan bahwa |a> dan |b> harus sebanding.
^ Axler, Sheldon (2015). Linear Algebra Done Right, 3rd Ed. Springer International Publishing. hlm. 172. ISBN 978-3-319-11079-0. Pertidaksamaan akan menjadi kesamaan jika dan hanya jika salah astu dari u, v adalah kelipatan skalar dari yang lain.

Referensi

Aldaz, J. M.; Barza, S.; Fujii, M.; Moslehian, M. S. (2015), "Advances in Operator Cauchy—Schwarz inequalities and their reverses", Annals of Functional Analysis, 6 (3): 275–295, doi:10.15352/afa/06-3-20
Bunyakovsky, Viktor (1859), "Sur quelques inegalités concernant les intégrales aux différences finies" (PDF), Mem. Acad. Sci. St. Petersbourg, 7 (1): 6
Cauchy, A.-L. (1821), "Sur les formules qui résultent de l'emploie du signe et sur > ou <, et sur les moyennes entre plusieurs quantités", Cours d'Analyse, 1er Partie: Analyse Algébrique 1821; OEuvres Ser.2 III 373-377
Dragomir, S. S. (2003), "A survey on Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz type discrete inequalities", Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, 4 (3): 142 pp, diarsipkan dari versi asli tanggal 2008-07-20
Grinshpan, A. Z. (2005), "General inequalities, consequences, and applications", Advances in Applied Mathematics, 34 (1): 71–100, doi:10.1016/j.aam.2004.05.001 
Templat:Halmos A Hilbert Space Problem Book 1982
Kadison, R. V. (1952), "A generalized Schwarz inequality and algebraic invariants for operator algebras", Annals of Mathematics, 56 (3): 494–503, doi:10.2307/1969657, JSTOR 1969657 .
Lohwater, Arthur (1982), Introduction to Inequalities, Online e-book in PDF format
Paulsen, V. (2003), Completely Bounded Maps and Operator Algebras, Cambridge University Press .
Schwarz, H. A. (1888), "Über ein Flächen kleinsten Flächeninhalts betreffendes Problem der Variationsrechnung" (PDF), Acta Societatis Scientiarum Fennicae, XV: 318
Solomentsev, E. D. (2001) [1994], "Cauchy inequality", dalam Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
Steele, J. M. (2004), The Cauchy–Schwarz Master Class, Cambridge University Press, ISBN 0-521-54677-X

[1] O'Connor, J.J.; Robertson, E.F. "Hermann Amandus Schwarz". University of St Andrews, Scotland.

[EncyclopediaOfMath-2] Bityutskov, V. I. (2001) [1994], "Bunyakovskii inequality", dalam Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4

[3] Ćurgus, Branko. "Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz inequality". Department of Mathematics. Western Washington University.

[4] Joyce, David E. "Cauchy's inequality" (PDF). Department of Mathematics and Computer Science. Clark University.

[Steele-5] Steele, J. Michael (2004). The Cauchy–Schwarz Master Class: an Introduction to the Art of Mathematical Inequalities. The Mathematical Association of America. hlm. 1. ISBN 978-0521546775. ...tak perlu diragukan bahwa ini adalah salah satu pertidaksamaan yang paling sering dipakai dan paling penting dalam semua cabang matematika.

[Strang5-6] Strang, Gilbert (19 July 2005). "3.2". Linear Algebra and its Applications (edisi ke-4th). Stamford, CT: Cengage Learning. hlm. 154–155. ISBN 978-0030105678.

[:0-7] Hunter, John K.; Nachtergaele, Bruno (2001). Applied Analysis. World Scientific. ISBN 981-02-4191-7.

[8] Bachmann, George; Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2012-12-06). Fourier and Wavelet Analysis. Springer Science & Business Media. hlm. 14. ISBN 9781461205050.

[9] Hassani, Sadri (1999). Mathematical Physics: A Modern Introduction to Its Foundations. Springer. hlm. 29. ISBN 0-387-98579-4. Kesamaan berlaku jika dan hanya jika <c|c>=0 atau |c>=0. Berdasarkan definisi |c>, kita simpulkan bahwa |a> dan |b> harus sebanding.

[10] Axler, Sheldon (2015). Linear Algebra Done Right, 3rd Ed. Springer International Publishing. hlm. 172. ISBN 978-3-319-11079-0. Pertidaksamaan akan menjadi kesamaan jika dan hanya jika salah astu dari u, v adalah kelipatan skalar dari yang lain.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]