Dalam kombinatorika dan rancangan percobaan, persegi Latin adalah persegi berukuran n × n yang berisi n simbol berbeda, masing-masing hanya muncul sekali pada setiap kolom dan pada setiap baris. Contoh dari persegi Latin 3×3 adalah

Jendela kaca patri yang menampilkan persegi Latin berukuran 7×7.[1]
A B C
C A B
B C A

Istilah "persegi Latin" terinspirasi oleh makalah matematika oleh Leonhard Euler (1707–1783), yang menggunakan alfabet Latin sebagai simbol.[2] Sembarang himpunan simbol dapat digunakan untuk membuat persegi ini: pada contoh di atas, alfabet A, B, C dapat diganti dengan barisan bilangan bulat 1, 2, 3.

Sejarah

sunting

Matematikawan Korea Choi Seok-jeong pertama kali menerbitkan sebuah contoh persegi Latin berukuran 9×9, dalam upayanya membuat persegi ajaib pada tahun 1700; lebih awal 67 daripada Leonhard Euler.[3]

Bentuk tereduksi

sunting

Persegi Latin dikatakan tereduksi (juga ternormalkan atau dalam bentuk standar) jika urutan simbol pada baris pertama dan kolom pertama sama dengan urutan aslinya.[4] Sebagai contoh, persegi Latin pada contoh di atas tidak tereduksi karena kolom pertamanya adalah A, C, B, bukan A, B, C.

Semua persegi Latin dapat direduksi dengan mempermutasi (yakni, menyusun ulang) urutan kolom dan baris. Pada persegi di atas, menukar baris kedua dengan baris ketiga akan menghasilkan persegi Latin:

A B C
B C A
C A B

Persegi Latin ini tereduksi; urutan simbol pada baris pertama dan kolom pertamanya sama dengan urutan alfabet A, B, C.

Representasi larik ortogonal

sunting

Persegi Latin dapat disajikan dalam bentuk himpunan, disebut dengan larik ortogonal, dengan membuat tripel   untuk setiap elemen di persegi Latin. Pada tripel ini,   menyatakan urutan baris,   menyatakan urutan kolom, dan   menyatakan simbol pada baris ke-  dan kolom ke- . Sebagai contoh, representasi larik ortogonal dari persegi Latin

1 2 3
2 3 1
3 1 2

adalah {(1, 1, 1), (1, 2, 2), (1, 3, 3), (2, 1, 2), (2, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 3), (3, 2, 1), (3, 3, 2) }. Larik ortogonal umumnya ditulis dalam bentuk tabel, dengan setiap baris berisi nilai-nilai tripel, sebagai contoh:

r c s
1 1 1
1 2 2
1 3 3
2 1 2
2 2 3
2 3 1
3 1 3
3 2 1
3 3 2

Persegi Latin dapat didefinisikan dengan menggunakan larik ortogonal:

persegi Latin adalah himpunan dari   tripel  , dengan  , dan memenuhi: setiap pasangan berurut   bernilai unik, setiap pasangan   bernilai unik, dan setiap pasangan   bernilai unik.

Banyak persegi Latin

sunting

Tidak ada rumus sederhana untuk menghitung nilai  , yakni banyaknya persegi Latin berukuran   berisi simbol-simbol  . Nilai batas atas dan batas bawah terbaik untuk   memiliki jarak yang besar. Salah satu hasil[5] menyatakan bahwa Sebuah rumus eksplisit dan sederhana untuk banyak persegi Latin diterbitkan pada tahun 1992, namun sulit untuk dihitung karena banyak suku yang bertambah secara eksponensial. Rumus ini menyatakan banyaknya persegi Latin berukuran n × n adalah dengan Bn menyatakan himpunan semua matriks binear berukuran n × n,   menyatakan banyak elemen nol di matriks  , dan   adalah permanen dari matriks  .[6]

Catatan kaki

sunting
  1. ^ Busby, Mattha (27 June 2020). "Cambridge college to remove window commemorating eugenicist". The Guardian. Diakses tanggal 2020-06-28. 
  2. ^ Wallis, W. D.; George, J. C. (2011), Introduction to Combinatorics, CRC Press, hlm. 212, ISBN 978-1-4398-0623-4 
  3. ^ Colbourn, Charles J.; Dinitz, Jeffrey H. (2 November 2006). Handbook of Combinatorial Designs (dalam bahasa Inggris) (edisi ke-2nd). CRC Press. hlm. 12. ISBN 9781420010541. Diakses tanggal 28 March 2017. 
  4. ^ Dénes & Keedwell 1974, p. 128
  5. ^ van Lint & Wilson 1992, pp. 161-162
  6. ^ Jia-yu Shao; Wan-di Wei (1992). "A formula for the number of Latin squares". Discrete Mathematics. 110 (1–3): 293–296. doi:10.1016/0012-365x(92)90722-r . 

Referensi

sunting

Bacaan lebih lanjut

sunting

Pranala luar

sunting