Persamaan diferensial eksak

Persamaan diferensial eksak atau persamaan diferensial total adalah salah satu jenis persamaan diferensial biasa yang sering digunakan dalam ilmu fisika dan teknik.

Definisi

Dengan D=R² dan dua fungsi I dan J yang bersifat kontinu di D, maka persamaan diferensial biasa orde pertama berikut

$I(x,y)\,\mathrm {d} x+J(x,y)\,\mathrm {d} y=0,\,\!$

disebut persamaan diferensial eksak jika terdapat fungsi F yang dapat diturunkan secara terus menerus yang disebut fungsi potensial, sehingga

${\frac {\partial F}{\partial x}}=I$

dan

${\frac {\partial F}{\partial y}}=J.$

Tata nama "persamaan diferensial eksak" mengacu kepada turunan eksak suatu fungsi. Untuk fungsi $F(x_{0},x_{1},...,x_{n-1},x_{n})$, turunan eksak sehubungan dengan $x_{0}$ adalah

${\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} x_{0}}}={\frac {\partial F}{\partial x_{0}}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}{\frac {\mathrm {d} x_{i}}{\mathrm {d} x_{0}}}.$

Contoh

Fungsi $F:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ berupa

$F(x,y)={\frac {1}{2}}(x^{2}+y^{2})$

merupakan fungsi potensial untuk persamaan diferensial

$x\,\mathrm {d} x+y\,\mathrm {d} y=0.\,$

Penyelesaian

Jika terdapat persamaan diferensial eksak dengan definisi D=R² dengan fungsi potensial F, maka fungsi yang dapat diturunkan f dengan (x, f(x)) dalam D adalah penyelesaiannya jika dan hanya jika terdapat bilangan riil c sehingga

$F(x,f(x))=c.\,$

Untuk permasalahan nilai awal

$y(x_{0})=y_{0}\,$

Fungsi potensial dapat dicari dengan Cara

$F(x,y)=\int _{x_{0}}^{x}I(t,y_{0})\mathrm {d} t+\int _{y_{0}}^{y}J(x,t)\mathrm {d} t=\int _{x_{0}}^{x}I(t,y_{0})\mathrm {d} t+\int _{y_{0}}^{y}\left[J(x_{0},t)+\int _{x_{0}}^{x}{\frac {\partial I}{\partial t}}(u,t)\,\mathrm {d} u\,\right]\mathrm {d} t.$

yang menyelesaikan

$F(x,y)=c\,$

untuk y, di mana c adalah bilangan riil.

Referensi

• Boyce, William E.; DiPrima, Richard C. (1986). Elementary Differential Equations (4th ed.). New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-07894-8