Perpangkatan bilangan dua

Perpangkatan bilangan dua, (atau perpangkatan angka dua, perpangkatan nilai dua) adalah bilangan dengan basis adalah 2 dan $n$ adalah bilangan bulat.

Ilustrasi perpangkatan bilangan dua, dimulai dari $2^{0}$ sampai dengan $2^{10}$.

Ketika $n$ adalah bilangan bulat taknegatif ― dengan kata lain, bilangan cacah ― maka perpangkatan bilangan dua merupakan bilangan basis 2 yang dikali sebanyak $n$ kali.

${\underset {n}{\underbrace {2\times \cdots \times 2} }}=2^{n}$.

Tabel nilai

Tabel berikut merupakan nilai-nilai perpangkatan bilangan dua, untuk $n$ adalah bilangan bulat taknegatif, dimulai dari 0 sampai dengan 22.

Tabel perpangkatan bilangan dua

$n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$	$13$	$14$	$15$	$16$	$17$	$18$	$19$	$20$	$21$	$22$
$2^{n}$	$1$	$2$	$4$	$8$	$16$	$32$	$64$	$128$	$256$	$512$	$1024$	$2048$	$4096$	$8192$	$16384$	$32768$	$65536$	$131072$	$262144$	$524288$	$1048576$	$2097152$	$4194304$

Tabel berikut juga merupakan nilai-nilai bilangan dua yang pangkatnya adalah perpangkatan bilangan dua, untuk $n$ adalah bilangan bulat taknegatif, dimulai dari 0 sampai dengan 8.

Tabel bilangan dua yang pangkatnya adalah perpangkatan bilangan dua

$n$	$2^{2^{n}}$
$0$	$2$
$1$	$4$
$2$	$16$
$3$	$256$
$4$	$65536$
$5$	$4294967296$
$6$	$18446744073709551616$
$7$	$340282366920938463463374607431768211456$
$8$	$115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639936$

Dalam aljabar

Diagram segitiga Pascal

Segitiga Pascal

Artikel utama: Segitiga Pascal

Perpangkatan bilangan dua berkaitan dengan segitiga Pascal. Pada barisan pertama, jumlah bilangannya adalah $1$ yang sama saja dengan $2^{0}$. Lalu dilanjutkan pada barisan kedua, jumlah bilangannya adalah $1+1=2=2^{1}$. Ini terus berlanjut hingga memperoleh pola untuk $2^{n}$, yaitu:

$2^{n}={\binom {n}{0}}+{\binom {n}{1}}+\dots +{\binom {n}{n}}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}$.

Dalam teori bilangan

Sistem bilangan biner

Artikel utama: Sistem bilangan biner

Perpangkatan bilangan dua dapat dipakai dalam sistem bilangan biner, yakni sistem bilangan yang terdiri dari digit "0" dan "1". Contoh hubungan sistem bilangan biner dengan Perpangkatan bilangan dua dapat dilihat di tabel bawah ini.

$n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$\cdots$
$2^{n}$	$2^{0}$	$2^{1}$	$2^{2}$	$2^{3}$	$2^{4}$	$2^{5}$	$2^{6}$	$2^{7}$	$2^{8}$	$2^{9}$	$2^{10}$	$\cdots$
Bilangan biner	$1_{2}$	$10_{2}$	$100_{2}$	$1000_{2}$	$10000_{2}$	$100000_{2}$	$1000000_{2}$	$10000000_{2}$	$100000000_{2}$	$1000000000_{2}$	$10000000000_{2}$	$\cdots$

Seperti yang dilihat, jumlah digit dalam bilangan biner bergantung pada nilai $n$. Contohnya, $2^{1}$ dikonversikan menjadi $10$ dalam bilangan biner, dengan jumlah digit 0 adalah 1. $2^{2}$ dikonversikan menjadi $100$, dengan jumlah digit 0 adalah 2. Hal ini terus berlanjut untuk $n$ bilangan bulat taknegatif.

Bilangan Mersenne

Artikel utama: Bilangan prima Mersenne

Perpangkatan bilangan dua dapat diterapkan pada bilangan Mersenne, dengan bentuk $M_{n}\equiv 2^{n}-1$. Jika $n=p$ (dimana $p$ bilangan prima), maka bilangan tersebut merupakan bilangan prima Mersenne, yakni $M_{p}=2^{p}-1$.

Bilangan prima terbesar yang diketahui

Saat ini, bilangan prima terbesar yang diketahui ditemukan oleh Great Internet Mersenne Prime Search (atau diabreviasikan sebagai GIMPS) merupakan bilangan prima yang terdiri dari 24.862.048 digit, yakni $2^{82.589.933}-1$. Bilangan prima tersebut ditemukan pada September 2021.

Dalam teori himpunan

Pada gambar, terdapat tiga himpunan dengan anggota 1, 2, dan 3. Himpunan kuasanya adalah $\{\}$, $\{1\}$, $\{2\}$, $\{3\}$, $\{1,2\}$, $\{1,3\}$, $\{2,3\}$, $\{1,2,3\}$, yang berjumlahkan delapan anggota. Ini dtuliskan sebagai $2^{3}=8$.

Himpunan kuasa

Artikel utama: Himpunan kuasa

Perpangkatan bilangan dua berkaitan dengan himpunan kuasa $S$ (dinotasikan $\wp (S)$), yaitu himpunan yang anggotanya merupakan subhimpunan $S$ dengan banyak anggota himpunan kuasa $S$ sama dengan dua dipangkatkan dengan jumlah anggota $S$. Ini dituliskan secara matematis:

$\wp (S)=2^{n(S)}$.

Hipotesis kontinum

Artikel utama: Hipotesis kontinum

Dalam teori himpunan, hipotesis kontinum merupakan hipotesis yang dinyatakan dalam sebuah persamaan bilangan alef.

$2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}$.

Kaitan dengan masalah yang belum terpecahkan

Misalkan $x_{i}=1$

$i$	$\sum {\frac {1}{2^{2^{i}}}}$
$0$	$0,5$
$1$	$0,75$
$2$	$0,8125$
$3$	$0,81640625$
$\vdots$	$\vdots$

Barisan keirasionalan

Artikel utama: Barisan keirasionalan

Perpangkatan bilangan dua juga berkaitan dengan masalah yang belum terpecahkan. Contohnya, bilangan $2^{2^{n}}$membentuk barisan keirasionalan, lihat tabel bilangan dua yang pangkatnya adalah perpangkatan bilangan dua. Maka, untuk setiap barisan bilangan bulat positif $x_{i}$, deret

$\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{2^{i}}x_{i}}}$

konvergen menuju bilangan irasional. Karena $2^{2^{n}}$ merupakan barisan dengan pertumbuhan tercepat, deret tersebut merupakan barisan keirasionalan dengan pertumbuhan terlambat yang diketahui.

Lihat pula

• Perpangkatan bilangan 10
• Perpangkatan bilangan tiga

Catatan kaki dan rujukan