Nilai absolut

Dalam matematika, nilai absolut (juga dikenal dengan nilai mutlak atau modulus) dari suatu bilangan riil $x$ , ditulis sebagai $|x|$ , adalah nilai positif dari $x$ tanpa disertai tanda apapun. Dengan kata lain, $|x|=x$ jika $x$ adalah bilangan positif atau nol, dan $|x|=-x$ jika $x$ adalah bilangan negatif (sehingga $-x$ bernilai positif). Sebagai contoh, nilai mutlak dari $3$ adalah $|3|=3$ , dan nilai mutlak dari $-3$ juga adalah $|-3|=-(-3)=3$ . Nilai mutlak dapat dibayangkan sebagai jarak suatu bilangan dari bilangan $0$ .

Perumuman dari nilai mutlak pada bilangan riil muncul pada banyak objek matematika. Sebagai contoh, nilai mutlak juga didefinisikan pada bilangan kompleks, kuartenion, gelanggang terurut, lapangan, dan ruang vektor. Nilai mutlak juga berhubungan erat dengan definisi besaran, jarak, dan norma dalam banyak konteks di fisika dan matematika.

Terminologi dan penulisan

Pada tahun 1806, Jean-Robert Argand memperkenalkan istilah module, yang berarti satuan pengukuran dalam bahasa Prancis, khususnya untuk nilai mutlak bilangan kompleks,^[1]^[2] dan kata itu akhirnya diserap dalam bahasa Inggris pada tahun 1866 sebagai modulus.^[1] Istilah "nilai mutlak" sudah digunakan dalam konteks ini sejak 1806 di Prancis^[3] dan 1857 di Inggris.^[4] Penulisan $|x|$ , dengan simbol garis vertikal di kedua sisi, diperkenalkan oleh Karl Weierstrass tahun 1841.^[5]

Penulisan garis vertikal juga muncul dalam banyak konteks matematika lainnya: sebagai contoh, jika digunakan pada himpunan, simbol itu menandakan kardinalitasnya; sedangkan jika digunakan pada matriks, itu menandakan determinannya. Garis vertikal menandakan nilai mutlak hanya pada objek aljabar yang memiliki definisi nilai mutlak, seperti bilangan riil, bilangan kompleks, atau kuaternion. Penulisan yang mirip namun berbeda makna adalah penggunaan garis vertikal untuk norma Euklidean^[6] atau sup norm^[7] di $\mathbb {R} ^{n}$ , walau penulisan garis vertikal ganda ( $||\cdot ||_{2}$ dan $||\cdot ||_{\infty }$ ) lebih umum dan tidak ambigu.

Definisi dan sifat

Bilangan riil

Untuk setiap bilangan riil $x$ , nilai mutlak bilangan tersebut dinyatakan dengan $|x|$ ( $x$ diapit oleh garis vertikal) dan didefinisikan sebagai:^[8] $|x|={\begin{cases}x,&{\mbox{jika }}x\geq 0,\\-x,&{\mbox{jika }}x<0.\end{cases}}$

Dari definisi tersebut, nilai mutlak $x$ akan selalu bernilai positif atau nol, tetapi tidak pernah negatif. Jika $x$ bernilai negatif ( $x<0$ ) maka nilai mutlaknya pasti positif ( $|x|=-x>0$ ).

Dari sudut pandang geometri analitik, nilai mutlak dari sebuah bilangan riil adalah jarak bilangan tersebut dari bilangan 0 pada garis bilangan riil. Lebih umum lagi, nilai mutlak dari selisih dua bilangan riil adalah jarak antara dua bilangan tersebut. Definisi fungsi jarak dalam matematika dapat dianggap sebagai perumuman dari nilai mutlak (lihat bagian "Jarak" dibawah).

Definisi lain dari nilai mutlak adalah $|x|={\sqrt {x^{2}}}$ karena akar kuadrat dari sebuah bilangan positif bernilai unik (tunggal).

Nilai mutlak memiliki empat sifat dasar berikut (dengan a dan b adalah bilangan riil), yang juga digunakan dalam memperumum definisi nilai mutlak ke objek-objek matematika lainnya:

$\|a\|\geq 0$	Non-negatif
$\|a\|=0\iff a=0$	Definit positif
$\|ab\|=\|a\|\,\|b\|$	Multiplikatif
$\|a+b\|\leq \|a\|+\|b\|$	Subadditivity, khususnya pertidaksamaan segitiga

Sifat nonnegatif, definit positif, dan multiplikatif terlihat jelas dari definisi. Untuk membuktikan sifat pertidaksamaan segitiga berlaku, perhatikan bahwa $s\cdot (a+b)=|a+b|\geq 0$ bernilai benar untuk $s=-1$ atau $s=1$ . Namun, karena $-1\cdot x\leq |x|$ dan $1\cdot x\leq |x|$ , mengakibatkan apapun nilai $s$ yang dipilih, akan berlaku $s\cdot x\leq |x|$ untuk setiap bilangan riil $x$ . Akibatnya, $|a+b|=s\cdot (a+b)=s\cdot a+s\cdot b\leq |a|+|b|$ , sesuai dengan yang diharapkan. (Untuk perumuman bukti ini di bilangan kompleks, lihat "Bukti pertidaksamaan segitiga untuk bilangan kompleks" dibawah.)

Berikut adalah beberapa sifat nilai mutlak lainnya yang berguna. Sifat-sifat berikut adalah konsekuensi langsung dari definisi atau tersirat dari empat sifat dasar diatas.

${\big \|}\,\|a\|\,{\big \|}=\|a\|$	Idempoten (Nilai mutlak dari nilai mutlak adalah nilai mutlak)
$\|-a\|=\|a\|$	Fungsi genap (simetri terhadap pencerminan sumbu-y)
$\|a-b\|=0\iff a=b$	Identity of indiscernibles (setara dengan sifat definit positif)
$\|a-b\|\leq \|a-c\|+\|c-b\|$	Pertidaksamaan segitiga (setara dengan subadditivity)
$\left\|{\frac {a}{b}}\right\|={\frac {\|a\|}{\|b\|}}\$ (jika $b\neq 0$ )	Berlakunya sifat permbagian (setara dengan multiplikatif)
$\|a-b\|\geq {\big \|}\,\|a\|-\|b\|\,{\big \|}$	Reverse triangle inequality (setara dengan subadditivity)

Dua sifat lain dari nilai mutlak terkait pertidaksamaan yang berguna adalah: ${\begin{aligned}|a|\leq b&\iff -b\leq a\leq b\\|a|\geq b&\iff a\leq -b\ {\text{ atau }}a\geq b\end{aligned}}$ Hubungan ini dapat digunakan untuk menyelesaikan pertidaksamaan yang melibatkan nilai mutlak. Sebagai contoh:

${\begin{aligned}|x-3|\leq 9&\iff -9\leq x-3\leq 9\\&\iff -6\leq x\leq 12.\end{aligned}}$

Bilangan kompleks

Nilai mutlak pada bilangan kompleks

z

adalah jarak

r

dari

z

ke titik nol. Dari gambar juga terlihat bahwa konjugat kompleks

{\bar {z}}

juga memiliki nilai mutlak yang sama.

Karena bilangan kompleks tidak terurut, definisi nilai mutlak yang digunakan untuk bilangan riil tidak dapat digunakan secara langsung untuk bilangan kompleks. Namun, intepretasi geometris nilai mutlak riil sebagai jarak bilangan dari bilangan 0 dapat diperumum. Nilai mutlak dari bilangan kompleks didefinisikan sebagai jarak Euklidean bilangan tersebut dengan titik asal di bidang kompleks. Hal ini dapat dihitung menggunakan teorema Pythagoras: untuk setiap bilangan kompleks $z=x+iy,$ dengan $x$ dan $y$ adalah bilangan riil, nilai mutlak atau modulus dari $z$ yang diwakili sebagai $|z|$ , didefinisikan sebagai $|z|={\sqrt {[\mathrm {Re} (z)]^{2}+[\mathrm {Im} (z)]^{2}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},$ dengan $\mathrm {Re} (z)=x$ dan $\mathrm {Im} (z)=y$ masing-masing menyatakan bagian riil dan imajiner dari $z$ . Ketika bagian imajiner bernilai nol, definisi ini sama dengan definisi nilai mutlak untuk bilangan riil $x$ . Jika bilangan kompleks $z$ dinyatakan dalam bentuk polar sebagai ${\textstyle z=re^{i\theta },}$ nilai mutlaknya adalah ${\textstyle |z|=r.}$

Karena sebarang bilangan kompleks $z$ dan konjugat kompleksnya ${\bar {z}}=x-iy$ memiliki nilai mutlak yang sama, yakni bilangan riil non-negatif $(x^{2}+y^{2})$ , nilai mutlak dari bilangan kompleks $z$ juga dapat dinyatakan sebagai akar kuadrat dari $z\cdot {\overline {z}},$ ditulis secara matematis: $|z|={\sqrt {z\cdot {\overline {z}}}}.$ Definisi tersebut memperumum definisi alternatif pada bilangan riil: $|x|={\sqrt {x\cdot x}}.$

Nilai mutlak bilangan kompleks juga memenuhi empat sifat dasar dari nilai mutlak bilangan riil diatas.

Fungsi nilai mutlak

Grafik dari fungsi nilai mutlak untuk bilangan riil.

Composition of absolute value with a cubic function in different orders

Fungsi nilai mutlak bilangan riil bersifat kontinu dimanapun. Fungsi ini juga terturunkan dimanapun kecuali di $x=0$ . Selain itu, fungsi monoton turun pada selang $(-\infty ,\,0]$ , dan monoton naik pada selang $[0,\,\infty )$ . Karena bilangan riil dan lawannya memiliki nilai mutlak yang sama, fungsi ini juga merupakan fungsi genap sehingga tidak memiliki invers. Fungsi nilai mutlak adalah fungsi konveks dan fungsi linear bagian-demi-bagian.

Fungsi nilai mutlak untuk bilangan riil dan kompleks bersifat idempoten.

Hubungan dengan fungsi tanda

Nilai dari fungsi nilai mutlak tidak bergantung pada tanda bilangan, sedangkan fungsi tanda menghasilkan tanda dari bilangan dan tidak bergantung pada nilai bilangan tersebut. Hubungan antara kedua fungsi ini adalah: $|x|=x\operatorname {sgn}(x),$ dan untuk $x\neq 0,$ $\operatorname {sgn}(x)={\frac {|x|}{x}}={\frac {x}{|x|}}.$ Turunan

Fungsi nilai mutlak memiliki turunan untuk semua $x\neq 0,$ dan tidak dapat diturunkan pada $x=0.$ ^[9]^[10] Turunannya untuk $x\neq 0$ adalah fungsi tangga yang didefinisikan sebagai berikut:

{\frac {d|x|}{dx}}={\frac {x}{|x|}}={\begin{cases}-1,&x<0,\\1,&x>0.\end{cases}}

Fungsi nilai mutlak adalah contoh fungsi kontinu yang memiliki titik minimum global, namun tidak memiliki turunan pada titik tersebut.

Fungsi nilai mutlak bilangan kompleks kontinu dimanapun, tetapi tidak terturunkan secara kompleks dimanapun, karena tidak memenuhi persamaan Cauchy–Riemann.^[9]

Turunan kedua dari $|x|$ terhadap $x$ bernilai 0 dimanapun kecuali di $x=0$ (karena tidak memiliki turunan).

Antiturunan

Antiturunan (integral tak tentu) dari fungsi nilai mutlak riil adalah

\int |x|dx={\frac {x|x|}{2}}+C,

dengan $C$ adalah sebarang konstanta integrasi. Akan tetapi, fungsi ini bukanlah integral kompleks tak tentu dari fungsi nilai mutlak, karena integral kompleks hanya terdefinisi untuk fungsi yang terturunkan secara kompleks (fungsi holomorfis); yang tidak dipenuhi oleh fungsi nilai mutlak kompleks.

Jarak

Nilai mutlak berhubungan erat dengan konsep jarak. Seperti yang disampaikan di atas, nilai mutlak dari bilangan riil maupun kompleks adalah jarak dari bilangan tersebut ke titik nol; pada garis bilangan riil untuk bilangan riil, dan pada bidang kompleks untuk bilangan kompleks. Secara lebih umum, nilai mutlak dari selisih dua bilangan riil atau kompleks adalah jarak antara dua bilangan tersebut. Misalkan $a=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})$ dan $b=(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})$ adalah titik dalam ruang Euklides dimensi-n. Jarak Euklides diantara keduanya didefinisikan sebagai: ${\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}}}.$ Hal ini dapat dianggap sebagai perumuman, karena untuk bilangan riil $a_{1}$ dan $b_{1}$ (yang berada di ruang dimensi-1), menurut definisi alternatif dari nilai mutlak akan berlaku hubungan $|a_{1}-b_{1}|={\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}}}={\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{1}(a_{i}-b_{i})^{2}}},$ dan untuk bilangan kompleks $a=a_{1}+ia_{2}$ dan $b=b_{1}+ib_{2}$ (yang berada di ruang dimensi-2): ${\begin{aligned}|a-b|&=|(a_{1}+ia_{2})-(b_{1}+ib_{2})|\\&=|(a_{1}-b_{1})+i(a_{2}-b_{2})|\\&={\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}}}\\&={\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{2}(a_{i}-b_{i})^{2}}}.\end{aligned}}$ Keadaan di atas menunjukkan jarak "nilai mutlak", masing-masing pada bilangan riil dan kompleks, sesuai dengan definisi jarak Euklides standar; yang mereka "warisi" dengan memandang mereka sebagai ruang Euklides dimensi satu dan dimensi dua.

Sifat dari nilai mutlak dari selisih dua bilangan: non-negatif, identity of indiscernibles, simetri, dan pertidaksamaan segitiga pada bahasan sebelumnya, digunakan untuk mendefinisikan fungsi jarak yang lebih umum berikut: fungsi bernilai riil $d$ pada himpunan $X\times X$ disebut sebagai metrik (atau fungsi jarak) pada $X$ , jika fungsi tersebut memenuhi empat aksioma berikut:

$d(a,b)\geq 0$	Non-negatif
$d(a,b)=0\iff a=b$	Identity of indiscernibles
$d(a,b)=d(b,a)$	Simetri
$d(a,b)\leq d(a,c)+d(c,b)$	pertidaksamaan segitiga

Perumuman

Gelanggang terurut

Definisi nilai mutlak untuk suatu bilangan riil dapat diperumum untuk sebarang gelanggang terurut. Dalam kasus ini, jika $a$ adalah elemen dari gelanggang terurut $R$ , maka nilai mutlak dari $a$ , yang ditulis sebagai $|a|$ , didefinisikan sebagai:^[11]

|a|=\left\{{\begin{array}{rl}a,&{\text{jika }}a\geq 0\\-a,&{\text{jika }}a<0.\end{array}}\right.

dengan $-a$ adalah invers penjumlahan dari $a$ , 0 adalah identitas penjumlahan, dan $<$ dan $\geq$ masing-masing memiliki sifat yang sesuai dengan pengurutan yang ada di gelanggang tersebut.

Lapangan

Keempat sifat dasar dari nilai mutlak untuk bilangan riil dapat digeneralisasi untuk mendefinisikan konsep nilai mutlak pada sebarang lapangan. Misalkan $F$ lapangan. Suatu fungsi $v:F\rightarrow \mathbb {R}$ dikatakan nilai mutlak (disebut juga modulus, nilai, atau valuasi) jika $v$ memenuhi empat aksioma berikut:


$v(a)\geq 0$	Nonnegatif
$v(a)=0\iff a=\mathbf {0}$	Definit positif
$v(ab)=v(a)v(b)$	Multiplikatif
$v(a+b)\leq v(a)+v(b)$	Pertidaksamaan segitiga

Di sini, $\mathbf {0}$ menyatakan elemen identitas penjumlahan di lapangan $F$ . Aksioma positif definit dan sifat multiplikatif mengakibatkan $v(\mathbf {1} )=1$ , dengan $\mathbf {1}$ adalah elemen identitas perkalian di lapangan $F$ . Nilai mutlak pada bilangan riil dan bilangan kompleks yang didefinisikan di atas merupakan contoh dari nilai mutlak pada lapangan.

Jika $v$ adalah nilai mutlak pada lapangan $F$ , fungsi $d:F\times F\rightarrow \mathbb {R}$ yang didefinisikan sebagai $d(a,b)=v(a-b)$ merupakan metrik. Berikut merupakan pernyataan-pernyataan yang ekuivalen mengenai fungsi $v$ dan $d$ :

$d$ memenuhi pertidaksamaan ultrametrik $d(x,y)\leq \max(d(x,y),d(y,z))$ untuk setiap $x,y,z\in F$ .
${\textstyle \left\{v\left(\sum _{k=1}^{n}\mathbf {1} \right):n\in \mathbb {N} \right\}}$ adalah subhimpunan terbatas dari $\mathbb {R}$ .
${\textstyle v\left(\sum _{k=1}^{n}\mathbf {1} \right)\leq 1}$ untuk sembarang bilangan asli $n$ .
$v(a)\leq 1\implies v(1+a)\leq 1$ untuk sembarang $a\in F$ .
$v(a+b)\leq \max(v(a),v(b))$ untuk setiap $a,b\in F$

Nilai mutlak yang memenuhi salah satu kondisi di atas, yang berarti juga memenuhi semua kondisi lainnya, disebut sebagai nilai mutlak non-Archimedes. Sebaliknya, nilai mutlak yang tidak memenuhi satupun kondisi disebut sebagai nilai mutlak Archimedes.^[12]

Ruang vektor

Sifat-sifat nilai mutlak untuk bilangan riil dapat dimodifikasi untuk mendefinisikan konsep nilai mutlak pada sembarang ruang vektor. Fungsi bernilai riil ${\textstyle \|\mathbf {x} \|}$ pada ruang vektor ${\textstyle V}$ atas lapangan ${\textstyle F}$ disebut nilai mutlak (tapi lebih umum disebut dengan norma), jika memenuhi aksioma-aksioma berikut:

Untuk setiap $k\in F$ , $\mathbf {u} ,\mathbf {v} \in F$ , berlaku


$\\|\mathbf {v} \\|\geq 0$	Nonnegatif
$\\|\mathbf {v} \\|=0\iff \mathbf {v} =0$	Definit positif
$\\|a\mathbf {v} \\|=\|a\|\\|\mathbf {v} \\|$	Homogenitas positif
$\\|\mathbf {v} +\mathbf {u} \\|\leq \\|\mathbf {v} \\|+\\|\mathbf {u} \\|$	Pertidaksamaan segitiga

Norma dari sebuah vektor juga disebut sebagai panjang atau magnitudo dari vektor tersebut.

Dalam kasus ruang Euklides $\mathbb {R} ^{n}$ , fungsi yang didefinisikan sebagai $\|(x_{1},x_{2},\dots x_{n})\|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}$ merupakan norma yang disebut norma Euklides. Jika himpunan bilangan riil $\mathbb {R}$ dipandang sebagai ruang vektor berdimensi satu $\mathbb {R} ^{1}$ , nilai mutlak dapat dipandang sebagai norma. Tidak hanya itu, nilai mutlak dapat dipandang sebagai norma "unik" pada ruang vektor $\mathbb {R} ^{1}$ , dalam artian sembarang norma pada $\|\cdot \|$ pada $\mathbb {R} ^{1}$ dapat dilihat sebagai $\|x\|=\|1\|\cdot |x|$ .

Nilai mutlak pada bilangan kompleks merupakan salah satu contoh norma pada ruang hasil kali dalam, yang identik dengan norma Euklides dengan meninjau bidang kompleks sebagai bidang Euklides $\mathbb {R} ^{2}.$

Aljabar komposisi

Setiap aljabar komposisi $A$ memiliki involusi $x\mapsto x^{*}$ , dengan $x^{*}$ adalah konjugasi dari $x$ . Hasil kali di dalam aljabar komposisi $A$ dari elemen $x$ dengan konjugatnya $x^{*}$ dituliskan sebagai $N(x)=xx^{*}$ dan disebut norma dari $x$ .

Himpunan bilangan riil $\mathbb {R}$ , bilangan kompleks $\mathbb {C}$ , dan kuarternion $\mathbb {H}$ adalah aljabar komposisi dengan norma yang diberikan bentuk definit kuadratik. Nilai mutlak di semua aljabar pembagian ini adalah akar kuadrat dari norma di aljabar komposisi.

Secara umum, norma dari aljabar komposisi dapat berupa bentuk kuadrat yang bukan definit dan memiliki vektor null. Akan tetapi, sebagaimana umumnya pada aljabar pembagian, jika elemen $x$ memiliki norm tidak nol, maka $x$ memiliki elemen invers terhadap perkalian, yaitu $x^{*}/N(x)$ .

Referensi

^ ^a ^b Oxford English Dictionary, Draft Revision, June 2008
^ Nahin, O'Connor and Robertson, and functions.Wolfram.com.; for the French sense, see Littré, 1877
^ Lazare Nicolas M. Carnot, Mémoire sur la relation qui existe entre les distances respectives de cinq point quelconques pris dans l'espace, p. 105 at Google Books
^ James Mill Peirce, A Text-book of Analytic Geometry at Google Books. The oldest citation in the 2nd edition of the Oxford English Dictionary is from 1907. The term "absolute value" is also used in contrast to "relative value".
^ Nicholas J. Higham, Handbook of writing for the mathematical sciences, SIAM. ISBN 0-89871-420-6, p. 25
^ Spivak, Michael (1965). Calculus on manifolds : a modern approach to classical theorems of advanced calculus. New York. ISBN 0-8053-9021-9. OCLC 187146.
^ Munkres, James R. (1991). Analysis on manifolds. Redwood City, Calif.: Addison-Wesley Pub. Co., Advanced Book Program. ISBN 978-1-4294-8504-3. OCLC 170966279.
^ Mendelson, Elliott (2007-09-17). Schaum's Outline of Beginning Calculus (dalam bahasa Inggris). McGraw Hill Professional. ISBN 978-0-07-159453-0.
^ ^a ^b "Weisstein, Eric W. Absolute Value. From MathWorld – A Wolfram Web Resource".
^ Bartle and Sherbert, p. 163
^ Mac Lane, p. 264.
^ Schechter, Eric (1996-10-24). Handbook of Analysis and Its Foundations (dalam bahasa Inggris). Academic Press. hlm. 260–261. ISBN 978-0-08-053299-8.

Daftar pustaka

Bartle; Sherbert; Introduction to real analysis (4th ed.), John Wiley & Sons, 2011 ISBN 978-0-471-43331-6.
Nahin, Paul J.; An Imaginary Tale; Princeton University Press; (hardcover, 1998). ISBN 0-691-02795-1.
Mac Lane, Saunders, Garrett Birkhoff, Algebra, American Mathematical Soc., 1999. ISBN 978-0-8218-1646-2.
Mendelson, Elliott, Schaum's Outline of Beginning Calculus, McGraw-Hill Professional, 2008. ISBN 978-0-07-148754-2.
O'Connor, J.J. and Robertson, E.F.; "Jean Robert Argand".
Schechter, Eric; Handbook of Analysis and Its Foundations, pp 259–263, "Absolute Values", Academic Press (1997) ISBN 0-12-622760-8.

[oed-1] Oxford English Dictionary, Draft Revision, June 2008

[2] Nahin, O'Connor and Robertson, and functions.Wolfram.com.; for the French sense, see Littré, 1877

[3] Lazare Nicolas M. Carnot, Mémoire sur la relation qui existe entre les distances respectives de cinq point quelconques pris dans l'espace, p. 105 at Google Books

[4] James Mill Peirce, A Text-book of Analytic Geometry at Google Books. The oldest citation in the 2nd edition of the Oxford English Dictionary is from 1907. The term "absolute value" is also used in contrast to "relative value".

[5] Nicholas J. Higham, Handbook of writing for the mathematical sciences, SIAM. ISBN 0-89871-420-6, p. 25

[6] Spivak, Michael (1965). Calculus on manifolds : a modern approach to classical theorems of advanced calculus. New York. ISBN 0-8053-9021-9. OCLC 187146.

[7] Munkres, James R. (1991). Analysis on manifolds. Redwood City, Calif.: Addison-Wesley Pub. Co., Advanced Book Program. ISBN 978-1-4294-8504-3. OCLC 170966279.

[8] Mendelson, Elliott (2007-09-17). Schaum's Outline of Beginning Calculus (dalam bahasa Inggris). McGraw Hill Professional. ISBN 978-0-07-159453-0.

[MathWorld-9] "Weisstein, Eric W. Absolute Value. From MathWorld – A Wolfram Web Resource".

[BS163-10] Bartle and Sherbert, p. 163

[11] Mac Lane, p. 264.

[12] Schechter, Eric (1996-10-24). Handbook of Analysis and Its Foundations (dalam bahasa Inggris). Academic Press. hlm. 260–261. ISBN 978-0-08-053299-8.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]