Dalam geometri, model hiperboloid, juga dikenal sebagai model Minkowski, dinamai Hermann Minkowski adalah sebuah model pada geometri hiperbolik dimensi- yang dimana titik-titik tersebut diwakili oleh titik-titik dari lembaran depan dari dua lembaran hiperboloid dalam ruang Minkowski -dimensi dan bidang diwakili oleh titik potong dari bidang- dalam ruang Minkowski dengan . Fungsi jarak hiperbolik memasukkan sebuah ekspresi yang sederhana dalam model ini. Model hiperboloid dari ruang hiperbolik

Busur melingkar berwarna merah merupakan geodesik dalam model cakram Poincaré, diproyeksikan ke geodesik berwarna cokelat dari hiperboloid berwarna hijau.
Animasi sebagian {7,3} ubin hiperbolik hiperboloid diputar ke dalam perspektif Poincare.

-dimensi terkati erat dengan model Beltrami-Klein dan untuk model cakram Poincaré sebagai mereka adalah model projektif dalam arti bahwa grup isometri adalah sebuah subgrup dari grup projektif.

Bentuk kuadrat Minkowski

sunting

Jika   adalah sebuah vektor dalam ruang koordinasi  -dimensi  , bentuk kuadrat Minkowski didefinisikan menjadi

 

Vektor   seperti   membenetuk sebuah hiperboloid  -dimensi   terdiri dari dua komponen yang terhubung, atau lembaranː depan, lembaran  , dimana   dan belakang, lembaran  , dimana  . Titik-titik dari model hiperboloid  -dimensi adalah titik-titik dari lembaran depan  .

Bentuk bilinear Minkowski   merupakan polarisasi dari bentuk kuadrat Minkowski  .

 .

Secara eksplisit,

 .

Jarak hiperbolik antara dua titik   dan   dari   diberikan oleh rumus

 ,

dimana arcoshadalah fungsi invers dari hiperbolik cosinus.

Garis lurus

sunting

Sebuah garis lurus dalam ruang ke-  hiperbolik dimodelkan oleh sebuah geodesik pada hiperboloid. Sebuh geodesik pada hiperbolik (tidak kosong) titik potong pada hiperboloid dengan sebuah subruang linear dua dimensi (termasuk asal) dari ruang Minkowski  -dimensi. Jika kita ambil   dan   menjadi vektor basis dari subruang linear itu dengan

 
 
 

dan gunakan   sebagai sebuah parameter real untuk titik-titik pada geodesik, kemudian

 

akan menjadi titik pada geodesik.[1]

Lebih umum, sebuah "datar  -dimensi dalam ruang ke-  hiperbolik akan dimodel oleh (tidak kosong) titik potong dari hiperboloid dengan subruang linear  -dimensi (termasuk asal) dari ruang Minkowski.

Isometris

sunting

Grup ortogonal tak terdefinisi  , juga disebut grup Lorentz  -dimensi, merupakan grup Lie dari matriks real   yang mempertahankan bentuk bilinear Minkowski. Dalam sebuah bahasa yang berbeda, ini merupakan grup dari isometris linear dari ruang Minkowski. Secara khusus, grup ini mempertahankan hiperboloid  . Ingat bahwa grup ortogonal tak terdefinisi memiliki empat komponen yang terhubung, berkorespodensi untuk membalikan atau mempertahankan orientasi pada setiap subruang (disini 1 dimensi dan  -dimensi), dan membentuk empat grup Klein. Subgrup dari   yang mempertahankan tanda dari koordinat pertama merupakan grup Lorentz ortokron, dilambangkan  , dan memiliki dua komponen, berhubungan untuk mempertahankan atau membalikkan orientasi dari subruang spasial. Subgrup  -nya terdiri dari matriks dengan determinannya penghubung grup Lie dari dimensi   yang bertindak pada   oleh automorfism linear dan mempertahankan jarak hiperbolik. Aksi ini transitif dan stabilisator dari vektor   terdiri dari matriks dari bentuk

Dimana   milik kompak grup ortogonal spesial   (menggeneralisasikan grup rotasi SO(3) untuk  ). Dengan demikian ruang hiperbolik  -dimensi bisa diperlihatkan sebagai ruang homogen dan sebuah ruang simetris Riemannian dari peringkat 1,

 

Grup   merupakan grup penuh dari orientasi-mempertahankan isometris dari ruang hiperbolik  -dimensi.

Dalam istilah yang lebih konkret,   bisa dipisahkan menjadi rotasi   (dibentuk dengan sebuah matriks rotasi Euklidean biasa dalam blok kanan bagian bawah) dan sebuah translasi hiperbolik  , yang mengambil bentuk

 

dimana   merupakan jarak yang ditranslasikan (sepanjang sumbu   dalam kasus ini), dan baris/kolom kedua bisa ditukarkan dengan pasangan yang berbeda untuk mengubah sebuah translasi sepanjang sebuah sumbu yang berbeda. Bentuk umum dari sebuah translasi dalam 3 dimensi sepanjang vektor   adalahː

 

dimana  .

Ini meluas secara alami untuk dimensi yang lebih, dan juga versi yang disederhanakan dari dorongan Lorentz ketika kalian menghilangkan istilah spesifik-relativitas.

Isometris yang spesial dalam  

sunting

Rotasi dan refleksi yang mempertahankan asalnya

sunting

Jika   adalah anggota dari O(n), maka matriks blok berikut

 

mewakili sebuah isometri yang menentukan titik  . Semua rotasi dan refleksi konjugasi ke salah satu dari isometri-isometri ini. Pemetaan dari   ke matriks merupakan grup homomorfism dari   ke  .

Translasi melewati sumbu- 

sunting

Untuk setiap bilangan real  , terdapat sebuah translasi

 

Translasi ini menggeser sumbu-  sebuah jarak dari   dalam arah   positif jika   atau sebuah jarak dari   dalam arah   negatif jika  . Translasi apapun dari jarak   konjugasi ke   dan  .

  bisa dihasilkan oleh himpunan  .

Kesimetrian dari horosphere berpusat pada sumbu-  positif

sunting

Misalkan   menjadi horosphere seperti yang titik-titik dari bentuk   ada di dalam darinya untuk   besar secara sembarang. Untuk setiap vektor   dalam  .

 

adalah hororotasi yang memetakan   ke diri sendiri. Setiap hororotasi konjugasi untuk seperti sebuah isometri. Untuk setiap   dalam  .

 

adalah rotasi atau refleksi yang mempertahankan   dan sebuah titik di atasnya (Titik potong   dengan sumbu- ). Hororotasi-hororotasi ini, rotasi-rotasi, dan refleksi-refleksi menghasilkan grup dari kesimetrian dari  . Grup ini isomorfik dengan grup Euklidean  .

Refleksi menukarkan dua titik tertentu

sunting

Untuk dua titik  , terdapat sebuah refleksi unik menukarkan mereka.

Misalkan  . Catatan bahwa  , dan demikian juga  .

Kemudian

 

adalah sebuah refleksi yang menukarkan   dan  . Ini ekuivalen dengan matriks berikut.

 .

Menggunakan metode ini untuk mencari refleksi-refleksi, salah satunya bisa mencari grup dari rotasi-rotasi dan refleksi-refleksi yang menentukan sebuah titik yang diberikan. Misalkan  . Jika  , lihat bagian atas. Jika tidak, misalkan   menjadi refleksi yang menukaran   dan  .Kemudian

 

adalah grup dari rotasi-rotasi dan refleksi-refleksi yang menentukan  . Ini adalah sebuah contoh dari subgrup konjugasi.

Salah satunya bisa juga menggunakan refleksi-refleksi untuk mencari translasi-translasi melalui sebuah garis diberikan dua titik pada garis. Misalkan  . Kmeudian misalkan   menjadi refleksi menukarkan   dan   (atau   jika mereka sama). Misalkan   menjadi refleksi menukarkan   dan  . Misalkan   menjadi sama dengan  .   adalah sebuah isometri yang memetakan asal ke   dan   ke  . Sekarang, untuk setiap bilangan real  ,   adalah sebuah translasi dari jarak   sepanjang garis melalui   dan  . Jika   positif, translasinya garis dalam arah  . Jika   negatif, translasinya garis dalam arah  . Secara khusus,   mentranslasikan   ke  .

Sejarah

sunting
  • Dalam beberapa makalah antara 1878-1885, Wilhelm Killing [2][3][4] digunakan sebagai perwakilan dia dikatikan dengan Karl Weierstrass untuk geometri Lobachevskian. Secara khusus, dia mendiskusikan bentuk kuadrat sebagai   ataudalam dimensi sembarang  , dimana   adalah pengukuran timbal balik dari lengkungan,   melambangkan geometri Euklidean,   geometri elips, dan   geometri hiperbolik. Untuk detalinya, lihat Sejarah dari transformasi Lorentz#Killing.
  • Menurut Jeremy Gray (1986),[5] Poincaré menggunakan model hiperboloid dalam catatan pribadinya dalam 1880 . Poincaré mempublikasikan hasilnya dalam 1881, di mana dia mendiskusikan invarian dari bentuk kuadrat  .[6] Gray menunjukkan dimana model hiperboloid tersirat dalam tulisan selanjutnya oleh Poincaré.[7] Untuk detailnya, lihat Sejarah dari transformasi Lorentz#Poincaré.
  • Juga Homersham Cox dalam 1882[8][9] digunakan koordinat Weierstrass (tanpa menggunakan nama ini) memuaskan hubungan   maupun  . Untuk detailnya, lihat Sejarah dari transformasi Lorentz#Cox
  • Paparan lebih lanjut dari model diberikan oleh Alfred Clebsch dan Ferdinand Lindemann dalam 1891 mendiskusikan hubungan   dan  .[10] Untuk detailnya, lihat Sejarah dari transformasi Lorentz#Lindemann.
  • Koordinat Weierstrass juga digunakan oleh Gérard (1892), Hausdorff (1899), Woods (1903), dan Liebmann (1905).

Hiperboloid dieksplorasi sebagai sebuah ruang metrik oleh Alexander Macfarlane dalam makalahnya Papers in Space Analysis (1894). Dia mencatat bahwa titik-titik pada hiperboloid bisa ditulis sebagai

 

dimana   adalah ortogonal vektor basis ke sumbu hiperboloid. Sebagai contoh, dia memperoleh hukum hiperbolik dari cosinus melalui penggunaan dari Aljabar dari Fisikanya.[1]

H. Jansen membuat model hiperboloid sebagai fokus eksplisit dari makalahnya "Perwakilan dari geometri hiperboloid pada dua lembar hiperboloid" tahun 1909.[11] Dalam 1993 W.F. Reynolds menceritakan beberapa dari sejarah sebelumnya dari model dalam makalahnya dalam American Mathematical Monthly.[12]

Menjadi model biasa oleh abad keduabelas, ini diidentifikasikan dengan Geschwindigkeitsvectoren (vektor kecepatan) oleh Hermann Minkowski dalam kuliah Göttingen 'The Relataivity Principle' tahun 1907. Scott Walter, dalam makalah "The Non-Eucliean Style of Minkowskian Relativity"[13] mengingat kesadaran Minkowski, tetapi menelusuri garis keturunan dari model ke Hermann Helmholtz daripada Weierstrass dan Killing.

Dalam tahun-tahun sebelumnya dari relativitas, model hiperboloid digunakan oleh Vladimir Varićak untuk menjelaskan fisika tentang kecepatan. Dalam pidatonya ke persatuan matematika Jerman dalam 1912, dia merujuk koordinat Weierstrass.[14]

Lihat pula

sunting

Catatan dan referensi

sunting
  1. ^ a b Alexander Macfarlane (1894) Papers on Space Analysis, B. Westerman, New York, weblink from archive.org
  2. ^ Killing, W. (1878) [1877]. "Ueber zwei Raumformen mit constanter positiver Krümmung". Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. 86: 72–83. 
  3. ^ Killing, W. (1880) [1879]. "Die Rechnung in den Nicht-Euklidischen Raumformen". Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. 89: 265–287. 
  4. ^ Killing, W. (1885). Die nicht-euklidischen Raumformen. Leipzig. 
  5. ^ Linear differential equations and group theory from Riemann to Poincaré (pages 271,2)
  6. ^ Poincaré, H. (1881). "Sur les applications de la géométrie non-euclidienne à la théorie des formes quadratiques" (PDF). Association Française Pour l'Avancement des Sciences. 10: 132–138. 
  7. ^ See also Poincaré: On the fundamental hypotheses of geometry 1887 Collected works vol.11, 71-91 and referred to in the book of B.A. Rosenfeld A History of Non-Euclidean Geometry p.266 in English version (Springer 1988).
  8. ^ Cox, H. (1881). "Homogeneous coordinates in imaginary geometry and their application to systems of forces". The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics. 18 (70): 178–192. 
  9. ^ Cox, H. (1882) [1881]. "Homogeneous coordinates in imaginary geometry and their application to systems of forces (continued)". The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics. 18 (71): 193–215. 
  10. ^ Lindemann, F. (1891) [1890]. Vorlesungen über Geometrie von Clebsch II. Leipzig. hlm. 524. 
  11. ^ Abbildung hyperbolische Geometrie auf ein zweischaliges Hyperboloid Mitt. Math. Gesellsch Hamburg 4:409–440.
  12. ^ Reynolds, William F. (1993) "Hyperbolic geometry on a hyperboloid", American Mathematical Monthly 100:442–55, Jstor link
  13. ^ Walter, Scott A. (1999), "The non-Euclidean style of Minkowskian relativity", dalam J. Gray, The Symbolic Universe: Geometry and Physics 1890-1930, Oxford University Press, hlm. 91–127 
  14. ^ Varićak, V. (1912), "On the Non-Euclidean Interpretation of the Theory of Relativity", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 21: 103–127