Matriks terbalikkan

Dalam aljabar linear, sebuah matriks persegi $\mathbf {A}$ berukuran $n\!\times \!n$ terbalikkan (invertible) atau tidak singular, jika terdapat matriks persegi $\mathbf {B}$ dengan ukuran yang sama dengan $\mathbf {A}$, dan memenuhi hubungan:

$\mathbf {AB} =\mathbf {BA} =\mathbf {I} _{n}\$

dengan $\mathbf {I} _{n}$ melambangkan matriks identitas berukuran $n\!\times \!n$, dan perkalian yang dilakukan merupakan perkalian matriks yang umum. Jika hubungan tersebut berlaku, maka matriks $\mathbf {B}$ disebut sebagai balikan atau invers (multiplikatif) dari matriks $\mathbf {A}$, dan diberi lambang $\mathbf {A} ^{-1}$.

Matriks persegi tidak dapat dibalik disebut dengan matriks singular. Matriks persegi bersifat singular jika dan hanya jika nilai determinannya 0. Matriks yang bukan matriks persegi (berukuran $m\!\times \!n$ dan $m\neq n$) tidak memiliki invers. Namun dalam beberapa kasus, matriks tersebut mungkin memiliki invers kiri atau invers kanan. Jika matriks $\mathbf {A}$ berukuran $m\!\times \!n$ dengan rank $n$ (nilai $n\leq m$), maka $\mathbf {A}$ memiliki invers kiri. Invers kiri ini adalah sebuah matriks $\mathbf {B}$ berukuran $n\!\times \!m$ yang memenuhi hubungan $\mathbf {B} \mathbf {A} =\mathbf {I} _{n}.$ Sedangkan jika rank matriks $\mathbf {A}$ adalah $m$ (nilai $m\leq n$), maka $\mathbf {A}$ memiliki invers kanan; yakni sebuah matriks $\mathbf {B}$ berukuran $n\!\times \!m$ yang memenuhi hubungan $\mathbf {A} \mathbf {B} =\mathbf {I} _{m}.$

Sifat

Teorema matriks terbalikkan

Sifat keterbalikkan sebuah matriks berhubungan erat dengan banyak sifat lain yang dimiliki matriks tersebut. Misalkan $\mathbf {A}$ adalah matriks persegi berukuran $n\!\times \!n$, dengan entri-entri adalah elemen dari suatu lapangan $K$ (misalnya, lapangan bilangan real $\mathbb {R}$). Semua pernyataan berikut ekuivalen, dalam artian antara matriks $\mathbf {A}$ memenuhi semua pernyataan, atau matriks $\mathbf {A}$ tidak memenuhi satupun pernyataan yang ada.

• Matriks $\mathbf {A}$ terbalikkan. Dengan kata lain, matriks $\mathbf {A}$ memiliki sebuah invers (atau tidak singular).
• Ada sebuah matriks $\mathbf {B}$ berukuran $n\!\times \!n$ yang memenuhi $\mathbf {AB} =\mathbf {BA} =\mathbf {I} _{n}\$
• Matriks $\mathbf {A}$ dapat diubah menjadi matriks identitas $\mathbf {I} _{n}$ lewat serangkaian operasi baris elementer, atau lewat serangkaian operasi kolom elementer.
• Matriks $\mathbf {A}$ dapat dinyatakan sebagai perkalian (dengan jumlah terhingga) matriks-matriks elementer
• Matriks $\mathbf {A}$ memiliki $n$ posisi pivot. Posisi pivot adalah nilai 1 pertama sebuah baris pada matriks bentuk eselon baris tereduksi (reduced row echelon form).
• Persamaan $\mathbf {Ax} =\mathbf {0}$ hanya memiliki solusi trivial, yakni $\mathbf {x} =\mathbf {0}$
• Persamaan $\mathbf {Ax} =\mathbf {b}$ tepat memiliki satu solusi, untuk semua $\mathbf {b} \in K^{n}$
• Transformasi linear $\mathbf {x} \mapsto \mathbf {Ax}$ adalah sebuah bijeksi dari $K^{n}$ ke $K^{n}$
• Kernel dari $\mathbf {A}$ trivial; dengan kata lain hanya mengandung vektor nol sebagai elemennya, sehingga $\operatorname {Ker} (\mathbf {A} )=\{\mathbf {0} \}$
• Determinan dari $\mathbf {A}$ sama dengan 0.
• Bilangan 0 bukan nilai eigen dari matriks $\mathbf {A}$
• Rank $\mathbf {A}$ penuh; dengan kata lain, $\operatorname {Rank} \mathbf {A} =n$
• Kolom-kolom dari $\mathbf {A}$ saling bebas linear. Ini mengartikan tidak mungkin menyatakan sebuah kolom matriks $\mathbf {A}$ sebagai kombinasi penjumlahan kolom-kolom yang lain.
• Span dari kolom-kolom matriks $\mathbf {A}$ adalah $K^{n}$. Artinya, himpunan semua kombinasi linear dari kolom-kolom $\mathbf {A}$ akan sama dengan $K^{n}$
• Ruang kolom dari matriks $\mathbf {A}$ adalah $K^{n}$. Ruang kolom adalah ruang vektor yang dibentuk oleh kolom-kolom matriks $\mathbf {A}$
• Kolom-kolom matriks $\mathbf {A}$ membentuk sebuah basis bagi $K^{n}$
• Transpos dari $\mathbf {A}$, yakni matriks $\mathbf {A} ^{\text{T}}$ juga terbalikkan. Hal ini mengartikan baris-baris dari matriks $\mathbf {A}$ juga memenuhi sifat-sifat yang sama dengan kolom-kolom matriks.
• Matriks $\mathbf {A}$ memiliki invers kiri (yakni matriks $\mathbf {B}$ sehingga $\mathbf {BA} =\mathbf {I}$) dan invers kanan (yakni matriks $\mathbf {C}$ sehingga $\mathbf {AC} =\mathbf {I}$). Lebih lanjut, nilai kedua invers tersebut sama, $\mathbf {B} =\mathbf {C} =\mathbf {A} ^{-1}$

Hubungan dengan adjugat

Adjugat dari suatu matriks $\mathbf {A}$ dapat digunakan untuk mencari invers dari $\mathbf {A}$, dengan menggunakan hubungan:

Jika $\mathbf {A}$ memiliki invers, maka

$\mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}\operatorname {adj} (\mathbf {A} ).$

Sifat-sifat lain

Selain sifat-sifat pada bagian-bagian sebelumnya, matriks $\mathbf {A}$ berukuran $n\times n$ yang terbalikkan juga memiliki beberapa sifat berikut:

• $(\mathbf {A} ^{-1})^{-1}=\mathbf {A}$;
• $(k\mathbf {A} )^{-1}=k^{-1}\mathbf {A} ^{-1}$ untuk sembarang skalar $k$ yang tidak sama dengan 0;
• $(\mathbf {A} ^{\text{T}})^{-1}=(\mathbf {A} ^{-1})^{\text{T}}$;
• $\det(\mathbf {A} ^{-1})={\frac {1}{\det(\mathbf {A} ^{-1})}}$;
• Untuk sembarang matriks $\mathbf {B}$ yang dapat dibalik dan yang berukuran sama dengan $\mathbf {A}$, akan berlaku $(\mathbf {AB} )^{-1}=\mathbf {B} ^{-1}\mathbf {A} ^{-1}$. Hal ini dapat diperumum untuk kasus matriks-matriks $\mathbf {A} _{1},\,\dots ,\,\mathbf {A} _{k}$ berukuran $n\times n$ dan dapat dibalik, yang akan memiliki hubungan $$(\mathbf {A} _{1}\mathbf {A} _{2}\dotsi \mathbf {A} _{k-1}\mathbf {A} _{k})^{-1}=\mathbf {A} _{k}^{-1}\mathbf {A} _{k-1}^{-1}\dotsi \mathbf {A} _{2}^{-1}\mathbf {A} _{1}^{-1}$$
• Jika $\mathbf {A}$ memiliki kolom-kolom yang saling ortonormal, maka $(\mathbf {Ax} )^{+}=\mathbf {x} ^{+}\mathbf {A} ^{-1}$; dengan $^{+}$ menyatakan invers Moore–Penrose dan $\mathbf {x}$ adalah vektor;

Pranala luar

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Inversion of a matrix", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas di Google books
• The Matrix Cookbook