Matriks stokastik
Dalam matematika, matriks stokastik adalah matriks persegi yang digunakan untuk peralihan yang terjadi pada rantai Markov. Matriks ini juga dikenal dengan sebutan matriks probabilitas, matriks transisi, matriks subtitusi, dan matriks Markov.[1] Setiap entri pada matriks stokastik berupa bilangan real tak negatif yang menyatakan suatu probabilitas.[1][2] Matriks ini dikembangkan oleh Andrey Markov pada awal abad ke-20, dan saat ini digunakan pada banyak bidang sains, termasuk teori probabilitas, statistika, matematika keuangan, dan aljabar linear, juga ilmu komputer dan genetika populasi.[1] Ada beberapa definisi berbeda dan tipe dari matriks stokastik:[1]
- Matriks stokastik kanan adalah matriks real persegi dengan jumlah dari setiap elemen pada baris sama dengan 1.
- Matriks stokastik kiri adalah matriks real persegi dengan jumlah dari setiap elemen pada kolom sama dengan 1.
- Matriks stokastik ganda adalah matriks persegi dengan elemen-elemen tak negatif dan jumlah dari setiap elemen pada baris maupun pada kolom sama dengan 1.
Dengan dasar yang sama, vektor stokastik (juga disebut vektor probabilitas) adalah vektor yang elemen-elemennya berupa bilangan real tak negatif dan totalnya sama dengan 1. Artikel ini menggunakan konvensi[1] matriks stokastik kanan dan vektor probabilitas berupa vektor baris, ketimbang matriks stokastik kiri dan vektor probabilitas berupa vektor kolom.
Sejarah
sunting
Matriks stokastik dikembangkan bersama dengan konsep rantai Markov oleh Andrey Markov, seorang matematikawan Rusia dan profesor di Universitas St. Petersburg, yang mempublikasikan topik ini pada tahun 1906.[1][3] Topik ini awalnya ditujukan untuk analisis linguistik dan subjek-subjek matematika lain seperti mengocok kartu, tapi rantai dan matriks Markov dengan cepat diterapkan pada bidang-bidang lain.[1][3][4]
Matriks stokastik dikembangkan lebih jauh oleh Andrey Kolmogorov, yang memperumumnya untuk proses Markov dengan waktu yang kontinu.[5] Pada tahun 1950-an, makalah yang menggunakan matriks stokastik muncul pada bidang ekonometrika[6] dan teori sirkuit.[7] Satu dekade kemudian, matriks stokastik muncul pada lebih banyak bidang, dari ilmu perilaku[8] ke geologi[9][10] sampai rencana tata ruang.[11] Dalam masa ini pula, aspek teoritis dikembangkan untuk memperluas fungsi dan kegunaan matriks stokastik dan rantai Markov.
Dari tahun 1970-an sampai saat ini, penggunaan matriks stokastik dapat ditemukan pada hampir semua bidang yang memerlukan analisis formal, dari teknik struktur[12] sampai diagnosis medis[13] sampai manajemen personalia.[14]
Definisi dan sifat-sifat
suntingMatriks stokastik mencirikan suatu rantai Markov Xt atas ruang probabilitas terhingga S dengan kardinalitas S. Misalkan peluang dari berpindah dari keadaan i ke keadaan j dalam satu tahap waktu adalah Pr(j|i) = Pi,j. Misalkan pula matriks stokastik dengan Pi,j menyatakan elemen baris ke-i dan kolom ke-j, yakni
![{\displaystyle \mathbf {P} =\left[{\begin{matrix}P_{1,1}&P_{1,2}&\dots &P_{1,j}&\dots &P_{1,S}\\P_{2,1}&P_{2,2}&\dots &P_{2,j}&\dots &P_{2,S}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\P_{i,1}&P_{i,2}&\dots &P_{i,j}&\dots &P_{i,S}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\P_{S,1}&P_{S,2}&\dots &P_{S,j}&\dots &P_{S,S}\\\end{matrix}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cf76833dbadf044014684ce37e90d2b8c188410)
Karena peluang berpindah dari keadaan i ke semua kemungkinan keadaan haruslah sama dengan 1, maka matriks adalah matriks stokastik kanan.[1]
Penjumlahan elemen-demi-elemen dari baris ke-i matriks dapat ditulis secara ringkas sebagai , dengan adalah vektor berdimensi-S dengan semua elemennya bernilai 1. Menggunakan persamaan ini, dapat ditunjukkan bahwa perkalian dua matriks stokastik dan juga berupa matriks stokastik: . Dinyatakan secara umum, sebagai matriks pangkat ke-k dari juga berupa matriks stokastik kanan. Matriks perpangkatan ini menyimpan informasi peralihan antar keadaan secara lebih umum. Matriks elemen-elemen berisi peluang peralihan dari satu keadaan ke keadaan lain dalam k tahap Sebagai contoh, peluang peralihan dari keadaan i ke keadaan j dalam dua tahap dapat terlihat dari elemen ke-(i, j) kuadrat :
Referensi
sunting- ^ a b c d e f g h Gagniuc, Paul A. (2017). Markov Chains: From Theory to Implementation and Experimentation. USA, NJ: John Wiley & Sons. hlm. 9–11. ISBN 978-1-119-38755-8.
- ^ Asmussen, S. R. (2003). "Markov Chains". Applied Probability and Queues. Stochastic Modelling and Applied Probability. 51. hlm. 3–8. doi:10.1007/0-387-21525-5_1. ISBN 978-0-387-00211-8.
- ^ a b Hayes, Brian (2013). "First links in the Markov chain". American Scientist. 101 (2): 92–96. doi:10.1511/2013.101.92.
- ^ Charles Miller Grinstead; James Laurie Snell (1997). Introduction to Probability. American Mathematical Soc. pp. 464–466. ISBN 978-0-8218-0749-1.
- ^ Kendall, D. G.; Batchelor, G. K.; Bingham, N. H.; Hayman, W. K.; Hyland, J. M. E.; Lorentz, G. G.; Moffatt, H. K.; Parry, W.; Razborov, A. A.; Robinson, C. A.; Whittle, P. (1990). "Andrei Nikolaevich Kolmogorov (1903–1987)". Bulletin of the London Mathematical Society. 22 (1): 33. doi:10.1112/blms/22.1.31.
- ^ Solow, Robert (1 January 1952). "On the Structure of Linear Models". Econometrica. 20 (1): 29–46. doi:10.2307/1907805. JSTOR 1907805.
- ^ Sittler, R. (1 December 1956). "Systems Analysis of Discrete Markov Processes". IRE Transactions on Circuit Theory. 3 (4): 257–266. doi:10.1109/TCT.1956.1086324. ISSN 0096-2007.
- ^ Evans, Selby (1 July 1967). "Vargus 7: Computed patterns from markov processes". Behavioral Science (dalam bahasa Inggris). 12 (4): 323–328. doi:10.1002/bs.3830120407. ISSN 1099-1743.
- ^ Gingerich, P. D. (1 January 1969). "Markov analysis of cyclic alluvial sediments". Journal of Sedimentary Research (dalam bahasa Inggris). 39 (1): 330–332. Bibcode:1969JSedR..39..330G. doi:10.1306/74d71c4e-2b21-11d7-8648000102c1865d. ISSN 1527-1404.
- ^ Krumbein, W. C.; Dacey, Michael F. (1 March 1969). "Markov chains and embedded Markov chains in geology". Journal of the International Association for Mathematical Geology (dalam bahasa Inggris). 1 (1): 79–96. doi:10.1007/BF02047072. ISSN 0020-5958.
- ^ Wolfe, Harry B. (1 May 1967). "Models for Conditioning Aging of Residential Structures". Journal of the American Institute of Planners. 33 (3): 192–196. doi:10.1080/01944366708977915. ISSN 0002-8991.
- ^ Krenk, S. (November 1989). "A Markov matrix for fatigue load simulation and rainflow range evaluation". Structural Safety (dalam bahasa Inggris). 6 (2–4): 247–258. doi:10.1016/0167-4730(89)90025-8.
- ^ Beck, J.Robert; Pauker, Stephen G. (1 December 1983). "The Markov Process in Medical Prognosis". Medical Decision Making (dalam bahasa Inggris). 3 (4): 419–458. doi:10.1177/0272989X8300300403. ISSN 0272-989X. PMID 6668990.
- ^ Gotz, Glenn A.; McCall, John J. (1 March 1983). "Sequential Analysis of the Stay/Leave Decision: U.S. Air Force Officers". Management Science. 29 (3): 335–351. doi:10.1287/mnsc.29.3.335. ISSN 0025-1909.