Kelas konjugasi

Dalam matematika, terutama teori grup, dua elemen $a$ dan $b$ dari sebuah grup adalah konjugasi jika elemen $g$ dalam grup dirumuskan $b = g -1 ag$ . Ini adalah relasi kesetaraan yang kelas kesetaraan disebut kelas konjugasi.

Anggota kelas konjugasi yang sama tidak dapat dibedakan dengan hanya menggunakan struktur grup, dan karena itu berbagi banyak sifat. Studi tentang kelas konjugasi grup non-abelian sangat penting untuk mempelajari struktur mereka.^[1]^[2] Untuk grup abelian, setiap kelas konjugasi adalah himpunan yang berisi satu elemen ( himpunan tunggal).

Fungsi yang konstan untuk anggota kelas konjugasi yang sama disebut fungsi kelas.

Definisi

Maka $G$ menjadi sebuah grup. Dua elemen $a$ dan $b$ dari $G$ adalah mengkonjugasikan, jika ada elemen $g$ di $G$ sedemikian rupa sehingga $gag -1 = b$ . Seseorang juga mengatakan bahwa $b$ adalah konjugasi dari $a$ dan bahwa $a$ adalah konjugasi dari $b$ .

Dalam kasus grup $GL(n)$ dari matriks invers, hubungan konjugasi disebut kesamaan matriks.

Dapat dengan mudah ditunjukkan bahwa konjugasi adalah relasi ekivalen dan oleh karena itu memartisi G menjadi kelas ekivalen. (Ini berarti bahwa setiap elemen grup milik tepat satu kelas konjugasi, dan kelas Cl( a ) dan Cl( b ) sama jika dan hanya jika a dan b berkonjugasi, dan memutuskan sebaliknya.) Kelas ekivalen yang mengandung elemen a dalam G adalah

Cl(a) = {gag -1 | g \in G}

dan disebut kelas konjugasi dari $a$ . Bilangan kelas dari $G$ adalah jumlah kelas konjugasi berbeda (tidak ada yang setara). Semua elemen yang termasuk dalam kelas konjugasi yang sama memiliki urutan yang sama.

Kelas konjugasi dapat disebut dengan mendeskripsikannya, atau lebih singkat dengan singkatan seperti "6A", artinya "kelas konjugasi tertentu dari urutan 6 elemen", dan "6B" akan menjadi kelas konjugasi yang berbeda dari elemen urutan 6; kelas konjugasi 1A adalah kelas konjugasi identitas. Dalam beberapa kasus, kelas konjugasi dapat dijelaskan dengan cara yang seragam; misalnya, dalam grup simetris mereka dapat dijelaskan oleh struktur siklus.

Contoh

Gugus simetris S₃, terdiri dari 6 permutasi dari tiga elemen, memiliki tiga kelas konjugasi:

tidak ada perubahan (abc → abc)

transposisi dua (abc → acb, abc → bac, abc → cba)

permutasi siklik dari ketiganya (abc → bca, abc → cab)

Ketiga kelas ini juga sesuai dengan klasifikasi isometri dari segitiga sama sisi.

Tabel menampilkan

bab -1

untuk urutan

(a, b)

dengan

a, b \in S 4

(membandingkan daftar bernomor) . Setiap baris berisi semua elemen kelas konjugasi dari

a

, dan setiap kolom berisi semua elemen

S 4

.

Grup simetris S₄, terdiri dari 24 permutasi dari empat elemen, memiliki lima kelas konjugasi, terdaftar dengan struktur dan urutan siklusnya:

(1)₄ tidak ada perubahan (1 elemen: { (1, 2, 3, 4) }). Baris tunggal yang berisi kelas konjugasi ini ditampilkan sebagai deretan lingkaran hitam di tabel yang berdekatan.

(2) interchanging two (6 elements: { (1, 2, 4, 3), (1, 4, 3, 2), (1, 3, 2, 4), (4, 2, 3, 1), (3, 2, 1, 4), (2, 1, 3, 4) }). 6 baris yang berisi kelas konjugasi ini disorot dengan warna hijau di tabel yang berdekatan.

(3) permutasi siklik dari tiga (8 elemen: { (1, 3, 4, 2), (1, 4, 2, 3), (3, 2, 4, 1), (4, 2, 1, 3), (4, 1, 3, 2), (2, 4, 3, 1), (3, 1, 2, 4), (2, 3, 1, 4) }). 8 baris yang berisi kelas konjugasi ini ditampilkan dengan cetakan normal (tanpa huruf tebal atau sorotan warna) pada tabel yang berdekatan.

(4) permutasi siklik dari keempat (6 elemen: { (2, 3, 4, 1), (2, 4, 1, 3), (3, 1, 4, 2), (3, 4, 2, 1), (4, 1, 2, 3), (4, 3, 1, 2) }). 6 baris yang berisi kelas konjugasi ini disorot dengan warna oranye di tabel yang berdekatan.

(2)(2) mempertukarkan dua, dan juga dua lainnya (3 elemen: { (2, 1, 4, 3), (4, 3, 2, 1), (3, 4, 1, 2) }). 3 baris yang berisi kelas konjugasi ini ditampilkan dengan entri huruf tebal di tabel yang berdekatan.

rotasi kubus yang tepat, yang dapat dicirikan dengan permutasi diagonal tubuh, juga dijelaskan dengan konjugasi dalam S₄ .

Secara umum, jumlah kelas konjugasi dalam grup simetris S_n sama dengan jumlah partisi bilangan bulat dari n . Ini karena setiap kelas konjugasi sesuai dengan satu partisi dari {1, 2, ..., n} menjadi siklus, hingga permutasi elemen {1, 2, ..., n}.

Secara umum, grup Euklides dapat dipelajari dengan konjugasi isometri dalam ruang Euklides.

Sifat

Elemen identitas selalu merupakan satu-satunya elemen di kelasnya, yaitu $Cl(e) = {e}$
Jika $G$ adalah abelian, maka $gag -1 = a$ untuk $a$ dan $g$ pada $G$ ; begitu $Cl(a) = {a}$ untuk $a$ pada $G$ .
Jika dua elemen $a$ dan $b$ dari $G$ termasuk dalam kelas konjugasi yang sama (yaitu, jika keduanya konjugasi), maka mereka memiliki urutan yang sama. Secara lebih umum, setiap pernyataan tentang $a$ dapat diterjemahkan menjadi pernyataan tentang $b = gag -1$ , karena peta $φ(x) = gxg -1$ adalah automorfisme dari $G$ . Lihat sifat berikutnya sebagai contoh.
Jika $a$ dan $b$ terkonjugasi, begitu juga kekuatan $a k$ dan $b k$ . (Proof: if $a = gbg -1$ , kemudian $a k = (gbg -1)(gbg -1) \dots (gbg -1) = gb k g -1$ .) Jadi, mengambil kekuatan $k$ memberikan peta pada kelas konjugasi, dan seseorang dapat mempertimbangkan kelas konjugasi mana yang ada di preimage nya. Misalnya, dalam grup simetris, kuadrat dari elemen tipe (3)(2) (3-siklus dan 2-siklus) adalah elemen tipe (3), oleh karena itu salah satu kelas power-up dari (3) adalah kelas (3)(2) (di mana $a$ adalah kelas power-up dari $a k$ ).
Sebuah elemen $a$ dari $G$ terletak di pusat $Z(G)$ dari $G$ jika dan hanya jika kelas konjugasinya hanya memiliki satu elemen, $a$ itu sendiri. Secara lebih umum, jika $C G (a)$ menunjukkan centralizer dari $a$ pada $G$ , yaitu subgrup yang terdiri dari semua elemen $g$ seperti itu $ga = ag$ , lalu indeks $[G : C G (a)]$ sama dengan jumlah elemen dalam kelas konjugasi $a$ (menurut teorema penstabil orbit).
Take $\sigma \in S_{n}$ and let $m_{1},m_{2},...,m_{s}$ menjadi bilangan bulat berbeda yang muncul sebagai panjang siklus dalam jenis siklus $\sigma$ (including 1-cycles). Maka $k_{i}$ menjadi jumlah siklus panjang $m_{i}$ in $\sigma$ untuk $i=1,2,...,s$ (seperti $\sum \limits _{i=1}^{s}k_{i}m_{i}=n$ ). Kemudian jumlah konjugasi $\sigma$ adalah:^[1]

{\frac {n!}{(k_{1}!m_{1}^{k_{1}})(k_{2}!m_{2}^{k_{2}})...(k_{s}!m_{s}^{k_{s}})}}

Konjugasi sebagai grup aksi

Jika kita mendefinisikan

g . x = gxg -1

untuk dua elemen apa pun $g$ dan $x$ dalam $G$ , maka kita memiliki aksi grup dari $G$ pada $G$ . orbit dari tindakan ini adalah kelas konjugasi, dan penstabil dari elemen tertentu adalah pemusat elemen.^[3]

Demikian pula, kita bisa mendefinisikan aksi grup dari $G$ pada himpunan semua himpunan bagian dari $G$ , dengan menulis

g . S = gSg -1

,

atau pada himpunan subgrup dari $G$ .

Konjugasi subgrup dan himpunan bagian umum

Secara lebih umum, jika himpunan bagian S dari G ( S belum tentu merupakan subgrup), kami mendefinisikan subset T dari G menjadi konjugasi menjadi S jika terdapat beberapa g dalam G sedemikian rupa T = gSg⁻¹. Kami dapat mendefinisikan Cl(S) sebagai himpunan semua himpunan bagian T dari G sehingga T dikonjugasikan menjadi S .

Teorema yang sering digunakan adalah bahwa, dengan subset S dari G , indeks dari N( S ) (penormal dari S ) di G sama dengan urutan Cl(S):

|\operatorname {Cl} (S)|=[G:N(S)]

Ini mengikuti karena, jika g dan h ada di G , maka gSg⁻¹ = hSh⁻¹ jika dan hanya jika g⁻¹h ada di N (S), dengan kata lain, jika dan hanya jika g dan h berada dalam kohimpunan yang sama N(S).

Perhatikan bahwa rumus ini menggeneralisasi yang diberikan sebelumnya untuk jumlah elemen dalam kelas konjugasi (maka S = {a}).

Di atas sangat berguna ketika berbicara tentang subgrup G . Dengan demikian, subgrup dapat dibagi menjadi kelas konjugasi, dengan dua subgrup yang termasuk dalam kelas yang sama jika dan hanya jika. Subgrup konjugat adalah isomorfis, tetapi subgrup isomorfik tidak perlu konjugasi. Misalnya, sebuah grup abelian mungkin memiliki dua subgrup berbeda yang isomorfik, tetapi mereka tidak pernah konjugasi.

Interpretasi geometris

Kelas konjugasi dalam grup fundamental dari ruang topologi terhubung-jalan dapat dianggap sebagai kelas kesetaraan loop bebas di bawah homotopi bebas.

Kelas konjugasi dan representasi tak tersederhanakan dalam grup hingga

Dalam grup terbatas, jumlah (non-isomorfik) representasi tak tereduksi berbeda sama dengan jumlah kelas konjugasi.

Lihat pula

Catatan

^ ^a ^b Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (edisi ke-3rd). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9.
^ Lang, Serge (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 0-387-95385-X.
^ Grillet (2007), p. 56

Referensi

Grillet, Pierre Antoine (2007). Abstract algebra. Graduate texts in mathematics. 242 (edisi ke-2). Springer. ISBN 978-0-387-71567-4.

Pranala luar

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Conjugate elements", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4

[dummit-1] Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (edisi ke-3rd). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9.

[2] Lang, Serge (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 0-387-95385-X.

[Grillet-2007-p56-3] Grillet (2007), p. 56

[1]

[2]

[3]