Bilangan segitiga kuadrat

(Dialihkan dari Jumlah segitiga kuadrat)

Dalam teorema bilangan, jumlah pangkat tiga pertama adalah kuadrat dari bilangan segitiga ke-. Jumlah tersebut dirumuskan sebagaiDengan menggunakan notasi Sigma, persamaan tersebut dapat ditulis

Persegi yang panjang sisinya adalah bilangan segitiga dapat dipartisi menjadi persegi dan setengah persegi, yang luasnya bertambah menjadi jumlah bilangan pangkat tiga.[1]

Identitas tersebut terkadang disebut juga teorema Nicomachus, yang dinamai dari Nicomachus dari Geresa.

Sejarah

sunting

Dalam bagian akhir Bab 20, di buku Introduction to Arithmetic, Nicomachus menunjukkan bahwa jika ditulis daftar bilangan ganjil, yang pertama adalah  , maka jumlah kedua berikutnya adalah  , jumlah ketiga berikutnya adalah  , dan begitupula seterusnya. Nichomacus tidak menjelaskannya lebih lanjut, tetapi pernyataan tersebut dapat disimpulkan bahwa jumlah dari   pertama sama dengan jumlah dari bilangan ganjil   yang pertama, dalam artian bahwa bilangan ganjil yang berawal dari 1 sampai  . Rata-rata dari bilangan tersebut adalah  . dan terdapat   bilangan tersebut, sehingga jumlahnya adalah  .

Banyak matematikawan pada awalnya telah mempelajari dan memberikan bukti teorema Nicomachus. (Stroeker 1995) mengatakan bahwa "setiap siswa yang mempelajari teori bilangan ini, tentunya akan kagum dengan fakta ajaib ini". (Pengelley 2002) menemukan sumber untuk identitas yang tidak hanya dalam karya Nicomachus di Jordan pada abad pertama M. Sumber identitas tersebut juga ditemukan dalam karya Aryabhata di India pada abad kelima, dan karya Al-Karaji sekitar 1000 di Persia. (Bressoud 2004) menyebutkan beberapa karya matematika pada rumus ini ditambahkan oleh Al-Qabisi di Arab pada abad kesepuluh, Gersonides di Prancis sekitar tahun 1300, dan Nilakantha Somayaji di India sekitar 1500; ia menyalin kembali bukti visual Nilakantha.

Nilai numerik; pandangan geometris dan probabilistik

sunting
 
Semua 36 (= (1 + 2 + 3)2 = 13 + 23 + 33) persegi panjang, berisi 14 (= 12 + 22 + 32) persegi (merah), dalam persegi 3×3, di kisi (4×4).

Barisan bilangan segitiga kuadrat adalah:

0,1, 9, 36, 100, 225, 441, 784, 1296, 225, 3025, 4356, 084, 8281, .... (barisan A000537 pada OEIS).

Bilangan segitiga kuadrat tersebut dapat dipandang sebagai bilangan figurasi, suatu perumuman hiperpiramidal empat dimensi dari bilangan segitiga dan bilangan piramidal persegi.

(Stein 1971) mengamati bahwa bilangan segitiga kuadrat juga menghitung jumlah persegi panjang dengan sisi horizontal dan vertikal dibentuk dalam sebuah   kisi. Sebagai contoh, titik-titik dari   kisi (atau persegi yang terdiri dari tiga persegi kecil di samping) dapat membentuk 36 persegi panjang yang berbeda. Dengan cara yang serupa, jumlah bilangan kuadrat dalam kisi persegi tersebut dihitung dengan bilangan piramidal kuadrat.

Identitas tersebut juga mengatakan pandangan probabilistik sebagai berikut: Misalkan   menyatakan bilangan bulat yang dipilih secara independen dan seragam di sebarang bilangan di antara   dan  . Maka, probabilitas mengatakan bahwa   adalah bilangan bulat terbesar dari keempat bilangan yang sama dengan probabilitas yang mengatakan   setidaknya sebesar  , dan   setidaknya sebesar   Probabilitas masing-masing adalah ruas kiri dan ruas kanan pada identitas Nichomacus, yang dinormalisasi untuk membuat probabilitas dengan membagi kedua ruas oleh  .[butuh rujukan]

Pembuktian

sunting

Charles Wheatstone (1854) memberikan pembuktian yang sangat sederhana, dengan memperluas setiap bilangan kubik dalam penjumlahan menjadi suatu himpunan dari bilangan ganjil yang berurutan. Wheatstone memulainya dengan memberikan identitas Identitas tersebut berkaitan dengan bilangan segitiga   yang disederhankan sebagai: Dengan demikian, tinambah di atas akan membentuk   setelah semua bilangan segitiga membentuk nilai sebelumnya yang dimulai dari   sampai   . Dengan menerapkan sifat tersebut, bersama dengan identitas terkenal lainnya: maka akan menghasilkan bentuk berikut: 

(Row 1893) mendapatkan bukti lain dengan menjumlahkan bilangan-bilangan dalam suatu tabel perkalian persegi dengan dua cara berbeda. Jumlah dari baris ke-  adalah   dikalikan dengan bilangan segitiga, yang berarit bahwa jumlah dari semua baris adalah kuadrat dari bilangan segitiga. Cara lainnya adalah seseorang dapat menguraikan tabel menjadi barisan gnomon bersarang, yang masing-masing bilangan terdiri dari hasil kali yang lebih besar dari dua suku memberikan suatu nilai konstan. Jumlah dalam setiap gnomon adalah bilangan pangkat tiga, dan demikian bahwa jumlah seluruh tabel adalah jumlah bilangan pangkat tiga.

 
Gambaran visual yang mengatakan bahwa kuadrat dari bilangan segitiga sama dengan jumlah bilangan pangkat tiga.

Dalam literatur matematika yang baru-baru ini, (Edmonds 1957) memberikan bukti dari jumlah bilangan segitiga kuadrat dengan menggunakan penjumlahan bagian-demi-bagian. (Stein 1971) menggunakan pandangan perhitungan persegi panjang dari bilangan-bilangan tersebut agar membentuk bukti geometris dari identitas (lihat pula Benjamin, Quinn & Wurtz 2006 ); ia mengamati bahwa pandangan tersebut juga dapat dibuktikan dengan mudah (tetapi tidak informatif) memlalui induksi, dan menyatakan bahwa (Toeplitz 1963) memberikan "bukti Arab kuno yang menarik". (Kanim 2004) memberikan bukti visual murni, (Benjamin & Orrison 2002) memberikan dua bukti tambahan, dan (Nelsen 1993) memberikan tujuh bukti geometris.

Perumuman

sunting

Terdapat hasil yang mirip dengan teorema Nicomachus, dan hasil tersebut berlaku untuk semua jumlah pangkat: jumlah pangkat ganjil sama dengan polinomial dalam bilangan segitiga. Hasil pernyataan itu disebut polinomial Faulhaber, suatu polinomial dengan jumlah bilangan pangkat tiga yang merupakan contoh paling sederhana dan paling elegan. Namun, tidak ada kasus lain yang memiliki satu jumlah pangkat kuadrat dari yang lain.[2]

(Stroeker 1995) mempelajari syarat-syarat yang lebih umum, dengan jumlah barisan bilangan kubus berurutan membentuk suatu bilangan kuadrat. (Garrett & Hummel 2004) dan (Warnaar 2004) mempelajari polinomial dari rumus bilangan segitiga kuadrat, dengan deret pada polinomial bertambah menjadi kuadrat dari polinomial lain.

Referensi

sunting

Pranala luar

sunting