Homomorfisme aljabar

Pada matematika, homomorfisme aljabar adalah homomorfisme di antara dua aljabar asosiatif. Lebih tepatnya, jika A dan B adalah aljabar atas suatu lapangan (atau gelanggang komutatif) K, fungsi merupakan homomorfisme aljabar apabila untuk setiap k anggota K dan x, y anggota A,[1][2]

Dua kondisi pertama merupakan syarat agar F menjadi pemetaan linier-K (atau homomorfisme modul-K jika K adalah gelanggang komutatif), dan kondisi terakhir merupakan syarat agar fungsi F menjadi homomorfisme gelanggang (nonunit).

Jika invers dari F merupakan homomorfisme atau dengan kata lain F bijektif, maka fungsi F merupakan isomorfisme antara A dan B.

Homomorfisme aljabar unital

sunting

Misalkan A dan B adalah dua aljabar dengan unsur satuan. Homomorfisme aljabar F : AB disebut homomofisme unital jika F memetakan unsur satuan di A ke unsur satuan di B. Homomorfisme aljabar seringkali diasumsikan juga bersifat unital, sekalipun tidak secara eksplisit disebut unital.

Homomorfisme aljabar unital merupakan bagian dari homomorfisme gelanggang yang unital.

Contoh

sunting
  • Setiap gelanggang adalah aljabar-Z. Hal ini dikarenakan terdapat homomorfisme unik ZR. Konversnya juga berlaku, i.e. setiap aljabar-Z merupakan gelanggang.
  • Homomorfisme antar gelanggang komutatif dengan unsur satuan RS menginduksi struktur aljabar-R komutatif pada S. Sebaliknya, jika S merupakan aljabar-R komutatif, maka pemetaan rr ⋅ 1S merupakan homomorfisme antar gelanggang komutatif dengan unsur satuan. Dengan demikian, overcategory gelanggang-R komutatif adalah kategori aljabar-R komutatif.
  • Misalkan A adalah subaljabar dari B, maka untuk setiap unsur unit b, fungsi yang mengirim setiap elemen a di A ke b−1ab merupakan homomorfisme aljabar. (Jika A = B, homomorfisme ini disebut automorfisme dalam dari B ). Homomorfisme ini biasa disebut sebagai pemetaan konjugasi oleh b. Misalkan pula A adalah aljabar sederhana dan B merupakan central simple algebra, maka semua homomorfisme dari A ke B merupakan pemetaan konjugasi; ini merupakan bunyi dari teorema Skolem – Noether .

Lihat pula

sunting

Referensi

sunting
  1. ^ Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (edisi ke-3rd). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9. 
  2. ^ Lang, Serge (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 0-387-95385-X.