Himpunan bebas (teori graf)

Dalam teori graf, himpunan bebas (bahasa Inggris: independent set) adalah serangkaian simpul (vertex) dalam graf, tidak ada dua yang berdekatan. Artinya, ada himpunan I dari simpul tersebut di mana untuk setiap dua simpul dalam I, tidak ada tepi yang menghubungkan keduanya. Hal ini Ekuivalen dengan pernyataan bahwa masing-masing sisi (edge) dalam grafik memiliki paling banyak satu titik akhir di I.

Sembilan verteks biru membentuk himpunan bebas maksimum, yaitu graf Petersen rampat GP(12,4)

Himpunan BEB maksimum

Contoh (2) Graf Kubikal yang memiliki enam himpunan bebas maksimum yang ditandai dengan simpul berwarna merah.

Untuk mendapatkan himpunan bebas maksimum, mana digunakan pendekatan dengan Teorema untuk setiapp graf G (V,E) dengan Minimum Vertex Cover dan Himpunan set maksimum sedemikian:

• Vertex cover (minimum) U Himpunan bebas = Himpunan hingga Simpul
• Vertex cover (minimum) ∩ Maksimum Himpunan bebas = ø

Pengembangan

Dengan keberadaan himpunan bebas, dapat dicari korelasi dan kombinasi lainnya dari Graf yang secara langsung akan mengungkapkan temuan-temuan lain pada graf, hal ini di tuangkan pada klaim dan sejumlah teorema

Klaim VC = V - IS

Keberadaan Himpunan Bebas merumuskan sejumlah aturan lain sehubungan dengan komposisi graf yang diformulasikan sedemikian: VC = V - IS

• VC = Vertex cover
• V = Himpunan vertex
• IS = Himpunan Bebas

Mengacu pada Graf pada contoh ke 3, jika didapati Himpunan Bebas = { 1,5,4,3} maka VC yang didapat berdasarkan aturan VC = C - IS adalah { 2,6}

Klaim IS U VC = V

Dengan diketahuinya Himpunan bebas maka akan diketahui pula Vertex Covernya dengan rumus: VC = V -IS Mengacu pada gambar graf ke tiga,ama jika didapati Himpunan bebas = { 1,5,4,3} maka vertex cover dihitung dari sisa jumlah vertex dikurangi Himpunan bebas sehingga didapat = {2,6}

CLIQUE

Clique adalah himpunan hingga Vertex CL ⊆ V di mana setiap pasang vertex U, V ∈ CL maka (U, V) ∈ E Dengan kondisi demikian, CLIQUE secara total merupakan kebalikan dari Himpinan Bebas (IS) dan CLIQUE (CL) membentuk graf komplet. Jadi jika CLIQUE pada graf diketahui, maka didapatkan himpunan bebasnya.

Langkah yang dilakukan untuk mendapatkan Himpunan bebas dari CLIQUE yaitu membuat graf komplemen G', di mana:

• G' = (V',E')
• V' = V
• E' = {(U,V) | (U,V) bukan bagian dari E}

Dari graf yang menjadi aksen dari graf sebelumnya dapat disimbulkan sebuah Teorema: IS ⊆ V, CL ⊆ V, IS = CL berdasarkan Teorema tersebut dapat dibuktikan:

• IS = U, V ∈ IS -> (U,V) bukan bagian dari E
• CL = U,V ∈ CL -> (U,V) ∈ E