Fungsi kuadrat

Di dalam aljabar, fungsi kuadrat, polinomial kuadratis, polinomial berderajat 2, atau sederhananya kuadratis, adalah fungsi polinomial yang memuat satu variabel atau lebih, di mana derajat tertinggi suku sama dengan dua. Misalnya, fungsi kuadrat dengan tiga variabel x, y, dan z secara eksklusif memuat suku-suku x², y², z², xy, xz, yz, x, y, z, dan sebuah konstanta:

$f(x,y,z)=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j,$

dengan paling sedikit satu dari koefisien a, b, c, d, e, atau f dari suku-suku berderajat dua tidak sama dengan nol.

Sebuah polinomial kuadratis dengan dua akar real (memotong sumbu x) dan dengan demikian tidak terdapat akar kompleks. Beberapa polinomial kuadratis lainnya memiliki minimum mereka di atas sumbu x, yaitu ketika tidak terdapat akar real dan terdapat dua akar kompleks.

Suatu fungsi kuadrat univariate (bervariabel tunggal) memiliki bentuk

$f(x)=ax^{2}+bx+c,\quad a\neq 0$

di dalam variabel tunggal x. Grafik fungsi kuadrat univariat adalah parabola yang sumbu simetrinya sejajar dengan sumbu-y, seperti ditunjukkan dalam ilustrasi di kanan.

Jika suatu fungsi kuadrat ditetapkan sama dengan nol, maka akan diperoleh suatu persamaan kuadrat. Penyelesaian untuk persamaan univariat (persamaan yang hanya bergantung pada satu variabel) disebut akar fungsi univariat, yaitu solusi nilai variabel yang memenuhi persamaan tersebut.

Misalnya, $f(x)=x^{2}-8x+15=0$ memiliki dua penyelesaian atau solusi, yaitu $x_{1}=3$ dan $x_{2}=5$ , karena $(3)^{2}-8(3)+15=0$ dan $(5)^{2}-8(5)+15=0$. Nilai $x_{1}=3$ dan $x_{2}=5$ biasa disebut sebagai akar-akar fungsi, atau akar-akar penyelesaian fungsi.

Kasus bivariat dalam suku-suku variabel x dan y memiliki bentuk

$f(x,y)=ax^{2}+by^{2}+cxy+dx+ey+f\,\!$

dengan paling sedikit satu dari a, b, c tidak sama dengan nol, dan suatu persamaan yang menetapkan fungsi ini sama dengan nol akan menghasilkan irisan kerucut (lingkaran atau elips, parabola, atau hiperbola).

Secara umum, bisa terdapat sejumlah besar variabel sembarang, di mana kasus yang menghasilkan permukaan disebut kuadrik, tetapi suku berderajat tertinggi haruslah 2, seperti x², xy, yz, dan dst.